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Fondamenti matematica 2, Appunti di Geometria

Università degli Studi Suor Orsola Benincasa (UNISOB)Geometria
Prof. Luigi D'Onofrio

appunti delle prime 5 lezioni di geometria, utilizzati per studiare per la prima prova intercorso. definizioni, formule, non ci sono disegni e dimostrazioni.

Tipologia: Appunti

2021/2022

Caricato il 10/11/2022

alelu19
alelu19 🇮🇹

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Enti primitivi della geometria
Punti si indicano con lettere MAIUSCOLE
Rette si indicano con lettere minuscole
Piani si indicano con lettere greche
Postulati
In geometria ci sono proprietà alle quali affidiamo lo stesso ruolo degli enti primitivi. (non sono
dimostrabili, sono tipo delle regole)
Teoremi
Enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire da postulati o altri teoremi (deduzioni)
Che cos’è una dimostrazione?
Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere
(ipotesi) fa giungere ad altre affermazioni (tesi)
Come si enuncia un teorema?
Se (ipotesi)..allora (tesi)
Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti.
Ma vale anche il CONTRARIO
Possiamo invertire ipotesi e tesi
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele
In questo caso le due affermazioni sono equivalenti
quando un punto A appartiene a una retta p?
se A sta su p
oppure p passa per A
• tre o più punti si dicono ALLINEATI se appartengono alla stessa retta
POSTULATI DI APPARTENENZA
• Ad una retta appartengono almeno due punti distinti
• Ad un piano appartengono almeno tre punti distinti
• Due punti distinti appartengono ad UNA E UNA SOLA retta
• tre punti distinti NON ALLINEATI appartengono ad uno e un solo piano
• considerata una retta su un piano, vi è almeno un punto del piano che NON appartiene alla retta
• se una retta passa per due punti di un piano, allora la retta appartiene al piano
• per due punti passa una ed una sola retta
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Enti primitivi della geometria Punti si indicano con lettere MAIUSCOLE Rette si indicano con lettere minuscole Piani si indicano con lettere greche Postulati In geometria ci sono proprietà alle quali affidiamo lo stesso ruolo degli enti primitivi. (non sono dimostrabili, sono tipo delle regole) Teoremi Enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire da postulati o altri teoremi (deduzioni) Che cos’è una dimostrazione? Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi) fa giungere ad altre affermazioni (tesi) Come si enuncia un teorema? Se (ipotesi)..allora (tesi) Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti. Ma vale anche il CONTRARIO Possiamo invertire ipotesi e tesi Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele In questo caso le due affermazioni sono equivalenti quando un punto A appartiene a una retta p? se A sta su p oppure p passa per A

  • tre o più punti si dicono ALLINEATI se appartengono alla stessa retta POSTULATI DI APPARTENENZA
  • Ad una retta appartengono almeno due punti distinti
  • Ad un piano appartengono almeno tre punti distinti
  • Due punti distinti appartengono ad UNA E UNA SOLA retta
  • tre punti distinti NON ALLINEATI appartengono ad uno e un solo piano
  • considerata una retta su un piano, vi è almeno un punto del piano che NON appartiene alla retta
  • se una retta passa per due punti di un piano, allora la retta appartiene al piano
  • per due punti passa una ed una sola retta
  • per due punti passano infinite parabole
  • due rette distinte hanno AL PIÙ un punto in comune (significa che hanno o 0 punti in comune o solo 1, non di più) Definizione: due rette che hanno un solo punto in comune si dicono INCIDENTI. Sulla retta si stabilisce un verso di percorrenza (posso dire che A precede B, e che B segue A) POSTULATI DI ORDINE
  1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, sono sempre confrontabili (A precede B o B precede A)
  2. PROPRIETÀ TRANSITIVA : se A precede B e B precede C, allora A precede C.
  3. preso un punto A su una retta, vi è almeno un punto che precede A e un punto che segue A. ciò significa che la retta è illimitata.
  4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, vi è ALMENO un punto A tale che A segue B e precede C. ( LA RETTA È UN INSIEME DENSO ) Conseguenze dei postulati Per un punto del piano passano infinite rette. (Fascio di rette con centro il punto P) Enti Fondamentali (definizioni a partire dagli enti primitivi e dai postulati) Semirette Data una retta orientata ed un suo punto O, chiamiamo semirette
  • l’insieme formato da O e tutti i punti che seguono O
  • l’insieme formato da O e tutti i punti che lo precedono Segmenti Data una retta orientata e due suoi punti distinti A e B con A che precede B, chiameremo segmento AB l’insieme dei punti della retta che seguono A e precedono B A e B sono gli estremi del segmento Tutti i punti che seguono A e precedono B si chiamano punti interni del segmento Data una retta r e due punti A e B della retta, con A che precede B, questi due punti dividono la retta in 3 parti

La retta verticale è indicata con la y ed è detta asse delle ordinate Gli assi dividono il piano in 4 angoli retti, detti quadranti Ogni punto è individuato da una coppia ordinata di numeri reali, dette coordinate del punto Segni dei quadranti Primo quadrante sia ascissa che ordinata positive Secondo quadrante ascissa negativa ordinata positiva Terzo quadrante sia ascissa che ordinata negative Quarto quadrante ascissa positiva ordinata negativa C'è una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA PUNTI E PIANO-> ad ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri. In geometria tutte le grandezze devono essere positive Coefficiente angolare e pendenza Indicato con la lettera m, il coefficiente angolare fornisce informazioni sulla pendenza della retta rispetto all’asse x Esempio della slide Al variare di m notiamo come varia l’angolo Alfa Se alfa è acuto, m assume valori sempre più grandi man mano che l’angolo si avvicina all’angolo rettò Se alfa è retto, non esiste un corrispondente valore di m in quanto l’asse y non ha equazione esprimibile nella forma y=mx Se alfa è ottuso, m è negativo ed assume valori sempre più piccoli man mani che alfa si avvicina all’angolo retto Calcolo del coefficiente angolare Nella forma implicita ax+by+c=0 m si trova m= -a/b Nella forma esplicita y= mx+ q Se ho due punti a(xa,ya) e b (xb,yb) M= yb-ya/ xb-xa Se m=1 -> y=x equazione della bisettrice del I e III quadrante Se m= -1 y= -x equazione della bisettrice del II e IV quadrante

Se m=0 y=0 la retta coincide con l’asse delle x Due rette si dicono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare Due rette si dicono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a

- LEZIONE 14/10/ CONGRUENZE TRA FIGURE PIANE In geometria la parola uguale non esiste, non si utilizza quasi mai ecco perché in geometria parliamo di congruenza. Movimento rigido: un movimento si dice rigido se possiamo spostare una figura senza deformarla Due movimenti rigidi sono traslazione e rotazione La rotazione può avvenire

  • centrata in un punto
  • rispetto ad un asse Quella rispetto ad un asse -> ogni punto di questo segmento fa un angolo di 180 gradi Definizione Due figure si dicono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto l'una all'altra attraverso un movimento rigido Proprietà della congruenza La congruenza è riflessiva, ogni figura è congruente a se stessa La congruenza è simmetrica. Se A è congruente a B, B è congruente ad A La congruenza è transitiva, se A è congruente a B e B è congruente a C allora A è congruente a C Una relazione che è simmetrica, riflessiva e transitiva si chiama Relazione di equivalenza La congruenza è una relazione di equivalenza Postulato: sono congruenti tra loro Due rette Due semirette

4 quadrilatero 5 pentagono 6 esagono Confronto tra segmenti Se hanno un vertice in comune abbiamo tre possibilità AB > CD AB= CD (ed è lo stesso segmento) AB< CD Se invece non hanno un vertice in comune, applico il postulato del trasporto di segmenti Avrò O che AB> CD O che AB<CD O che AB è congruente a CD Perché? Perché ho avuto bisogno del postulato del trasporto di segmenti, cioè ho avuto bisogno di fare un movimento rigido Dati due segmenti adiacenti AB e BC posso definire che la loro somma è il segmento AC Esempio Come faccio a fare la somma se non sono consecutivi AB + CD sarà congruente ad. AD (vedi quaderno 14/10) DEFINIZIONE Si chiama multiplo di un segmento AB secondo il numero naturale n>1, un altro segmento congruente alla somma di n segmenti congruenti ad AB PUNTO MEDIO Dato un segmento AB il punto medio è il punto che chiamiamo M, che divide il segmento AB in due segmenti congruenti Unicità del punto medio (proprietà) Esiste sempre il punto medio di un segmento ed esso è unico LEZIONE 21 ottobre

La BISETTRICE di un angolo è la semiretta uscente dal vertice, che divide l'angolo in due angoli congruenti UNICITÀ DELLA BISETTRICE TEOREMA Per un qualsiasi angolo esiste ed è unica la bisettrice Definizione Un angolo che sia:  Metà di un angolo piatto è un angolo retto  Minore di un angolo retto è un angolo acuto  Maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è ottuso Due angoli si dicono  Supplementari se la loro somma è un angolo piatto, 180 gradi  Complementari se la loro somma è un angolo retto  Esplementari se la loro somma è un angolo giro TEOREMASe due angoli alfa e beta sono complementari di uno stesso angolo gamma (o di angoli congruenti tra di loro) allora Alfa è congruente a beta Di questo teorema si deve fare la dimostrazione DEFINIZIONE ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE Due angoli si dicono OPPOSTI AL VERTICE se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro angolo Teorema degli angoli opposti al vertice (va dimostrato) Se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti (Con questo teorema si dimostra anche che angoli supplementari di uno stesso angolo sono congruenti) Criteri di congruenza tra triangoli PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA TRA TRIANGOLI due triangoli che hanno due lati congruenti e l'angolo compreso congruente, sono congruenti tra loro. Primo criterio di congruenza IN FORMA DI TEOREMA SE due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso congruenti, ALLORA i due triangoli sono congruenti SECONDO CRITERIO

INVERSO)

Solo definizione Avendo due rette attraversate da una trasversale se accade una delle seguenti proprietà:

  1. Due angoli alterni interni sono congruenti
  2. Due angoli alterni esterni sono congruenti
  3. Due angoli corrispondenti sono congruenti
  4. Due angoli coniugati interni sono supplementari
  5. Due angoli coniugati esterni sono supplementari Allora le due rette sono parallele COROLLARIO A QUESTO TEOREMA Due rette che siano perpendicolari ad una stessa retta sono parallele (Perché se sono perpendicolari formano un angolo di 90gradi e sono verificate tutte e 5 le proprietà) Teorema esistenza della retta parallela Dato un punto P e una retta r con P che non giace su r, esiste sempre una retta che passi per P ed è parallela a r. Postulato di Euclide (V postulato di Euclide) DATA UNA RETTA R ED UN PUNTO P NON APPARTENENTE A R NON ESISTE PIÙ DI UNA RETTA PARALLELA AD R PASSANTE PER P TEOREMA ESISTENZA ED UNICITÀ DELLE RETTE PARALLELE Data una retta r ed un punto P non appartenente a r, esiste una e una sola retta parallela a r e passante per P Teorema INVERSO SUL PARALLELISMO Il teorema DIRETTO valeva anche senza il postulato di Euclide mentre quello inverso no. Ha bisogno per forza del quinto postulato di Euclide Vediamo qual è il teorema inverso sul parallelismo SE DUE RETTE SONO PARALLELE, ALLORA
  6. Angoli alterni interni sono congruenti
  7. Angoli alterni esterni sono congruenti
  8. Angoli corrispondenti sono congruenti
  9. Angoli coniugati interni sono supplementari
  10. Angoli coniugati esterni sono supplementari Classificazione dei triangoli in base agli angoli un triangolo si dice acutangolo se tutti i tre angoli interni sono acuti (quindi minori di 90°) un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto TEOREMA La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto. Questo teorema

vale solo dopo aver enunciato il quinto postulato di Euclide Definizione ALTEZZA RELATIVA A UN LATO Si definisce altezza relativa a un lato di un triangolo il segmento che congiunge un vertice con il lato (o il prolungamento del lato) opposto all'angolo e tale da essere perpendicolare al lato stesso Ad esempio l'altezza di un triangolo ottusangolo non è detto che sia interna al triangolo PROPRIETÀ DELLE ALTEZZE

  1. Ogni triangolo ha tre altezze, ciascuna condotta da uno dei tre vertici
  2. Nei triangoli acutangoli tutte le altezze sono interne
  3. Nei triangoli ottusangoli, le altezze relative agli angoli acuti sono esterne mentre quella relativa all'angolo ottuso è interna
  4. Nei triangoli rettangoli le altezze relative agli angoli acuti sono i cateti del triangolo
  5. In un triangolo equilatero le tre altezze sono congruenti
  6. In un triangolo isoscele l'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti Mediana relativa a un lato La mediana relativa ad un lato del triangolo è il segmento condotto dal vertice opposto che divide il lato in due segmenti congruenti Proprietà della mediana
  7. Ogni triangolo ha tre mediane
  8. Ogni mediana è sempre interna al triangolo
  9. Le tre mediane si incontrano in un unico punto che si chiama baricentro Bisettrice La bisettrice di un angolo interno di un triangolo è il segmento che congiunge il vertice dell'angolo al lato opposto ad esso, che divide l'angolo in due angoli congruenti. Proprietà della bisettrice
  10. Ogni triangolo ha tre bisettrici
  11. In un triangolo qualsiasi, le bisettrici degli angoli interni sono interne al triangolo 3 teoremi (hanno la dimostrazione) Primo teorema In un triangolo isoscele la mediana condotta dal vertice opposto alla base è anche altezza e bisettrice Secondo teorema In un triangolo isoscele, la bisettrice condotta dal vertice opposto alla base è anche mediana e altezza