Scarica Esercizi Geometria: Copie statua, Rette, Piani, Sottoinsiemi, Equazioni, Coni, Coniche, Su e più Esercizi in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
1 (Due punti). Uno scultore vuole fare una copia in scala ridotta di una statua riproducente una figura umana alta 3 metri. Se per la copia viene usato lo stesso marmo usato nella statua originale, e l’altezza della copia è 1 metro, di quanto sarà più piccolo il peso della copia rispetto al peso dell’originale? A. Di 3 volte B. Di 9 volte. C. Di 27 volte. D. Non si può dire senza conoscere il peso specifico del marmo.
2 (Due punti). Dati nello spazio una retta r e un punto P fuori di essa, quanti piani perpendicolari ad r si possono far passare per P? F 0 6 F Uno^ F 0 6 F Due fra loro perpendicolari F 0 6 F Infiniti^ F 0 6 F Tre, a due a due perpendicolari fra loro
3 (Tre punti). Sia S l’insieme costituito dalle lettere del tuo nome e cognome. Trova tre sottoinsiemi A, B e C di S, in modo che le tre intersezioni A F 0C 7 B, B F 0C 7 C e A F 0C 7 C siano tutte insiemi non vuoti, e che l’unione A^ F 0C 8 B^ F 0C 8 C sia uguale ad S e l’intersezione A F 0C 7 B F 0C 7 C sia vuota. Mostra poi questi insiemi in un diagramma di Venn.
Prendiamo ad esempio “roberto tortora”. Qui S = {a, b, e, o, r, t}. Si possono scegliere, fra i tanti possibili, A = {a, e, o}, B = {a, b, r}, C = {b, o, t}. Si ottiene: A F 0C 7 B = {a} B F 0C 7 C = {b} A F 0C 7 C = {o} A F 0C 7 B F 0C 7 C = F 0C 6
a e r A o b B
C t
Il disegno rappresenta un diagramma di Venn con gli insiemi A, B e C raffigurati come cerchi. Le varie zone sono individuate dalle lettere minuscole in esse inserite.
4 (Tre punti). Dato il punto P di coordinate (–1, 2), scrivi l’equazione di una retta r che passa per P e che attraversa anche il quarto quadrante, e trova un punto del quarto quadrante che appartiene a questa retta.
Ci sono infinite soluzioni. Ad esempio, possiamo scegliere per r la retta di equazione y = – x + 1, passante per P e parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Il punto A(2, –1) appartiene ad r e sta nel quarto quadrante.
5 (Quattro punti). Data la retta r di equazione x + 2 y – 4 = 0, trova il punto A di intersezione di r con l’asse x delle ascisse. Dato poi il punto B (–1, 1), disegna la retta s per B parallela all’asse y delle ordinate. Infine, detto C il punto d’incontro delle due rette r ed s , calcola l’area del triangolo ABC.
R.: A(4, 0). La retta s ha equazione x = –1, e risulta C(–1, 5/2). Nel triangolo ABC, se si sceglie come base BC, si trova che la base misura 3/2 e l’altezza 5. L’area è dunque 15/4.
6 (Quattro punti). Spiega come si ottengono le tre specie di coniche, ellisse, iperbole e parabola, a partire da un cono indefinito e da un piano secante. Spiega poi che cosa sono e quanti sono i vertici di un’ellisse, di un’iperbole e di una parabola.
Un piano secante che non passa per il vertice del cono incontra la sua superficie in: un’ellisse, se forma con l’asse del cono un angolo maggiore dell’angolo tra l’asse e la retta generatrice del cono; in particolare se forma un angolo retto, cioè se il piano secante è perpendicolare all’asse del cono, si ottiene una circonferenza; una parabola, se forma con l’asse del cono un angolo uguale all’angolo tra l’asse e la retta generatrice del cono; un’iperbole, se forma con l’asse del cono un angolo minore dell’angolo tra l’asse e la retta generatrice del cono; L’ellisse ha quattro vertici, che sono i punti dell’ellisse che appartengono ai due assi; l’iperbole ha due vertici, punti di incontro dell’iperbole con il suo asse traverso; la parabola un vertice, punto d’incontro della parabola con il suo asse.
7 (Quattro punti). Una torre ha la forma di un cilindro sormontato da una cupola semisferica. Calcola l’altezza complessiva della torre, la sua superficie totale e il suo volume, sapendo che il raggio di base r del cilindro è 6 metri, e l’altezza h del cilindro è 28 metri.
L’altezza della torre è la somma dell’altezza del cilindro e del raggio della semisfera, dunque 28 + 6 = 34 metri. La superficie totale S della torre è la somma della superficie laterale S 1 del cilindro e della metà della superficie S 2 di una sfera di raggio 6 metri. Si ha S^1 = 2π rh^ = 336 π m^2 ; S 2 = 4π r^2 m^2 , ovvero ½ S 2 = 2π r^2 = 72π m^2 ; e infine S = S 1 + ½ S 2 = 336 π + 72π = 408π m^2.
Il volume V della torre è la somma del volume V 1 del cilindro e della metà del volume V 2 di una sfera di raggio 6 metri. Si ha V 1 = π r^2 h = 1008π m 3 ; V 2 = 4/3π r^3
