Si chiama conica ogni curva cartesiana C del tipo C : a 11 x^2 + 2a 12 xy + a 22 y^2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0 (generica equazione di secondo grado in x, y). Alla conica C si associano le matrici simmetriche

A =

a 11 a 12 ... a 22

e B =

a 11 a 12 a 13 ... a 22 a 23 ... ... a 33

(A è la matrice della forma quadratica costituita dai monomi di 2 ◦^ grado dell’equazione di C) e la conica C è detta degenere se det B = 0, non degenere se det B 9 = 0.

Classificazione di C det A < 0 det A > 0 det A = 0

det B 9 = 0 (non degenere) iperbole^ ellisse

reale^ se tr A det B < 0 immaginaria se tr A det B > 0

parabola

det B = 0 (degenere)

2 rette incidenti 1 punto

2 rette parallele (ev. coincidenti) oppure 0 punti

Una conica degenere può sempre essere studiata (e disegnata) risolvendone l’equazione rispetto ad una delle due variabili, oppure scomponendo il polinomio della sua equazione mediante raccoglimento a fattor comune.

ESERCIZIO 1. Tra le seguenti coniche, riconoscere quelle non degeneri e classificarle:

(i) C : 15x^2 − 20 xy + 15y^2 − 28 = 0 (ii) C : 4x^2 + 6xy − 4 y^2 − 25 = 0 (iii) C : 4x^2 − 4 xy + y^2 + 8x − 4 y + 3 = 0 (iv) C : x^2 − 4 xy + 4y^2 − 12 x − 6 y = 0 (v) C : 4xy + 2x − 6 y − 3 = 0.

ESERCIZIO 2. Classificare la conica C : x^2 +4xy − 2 y^2 −4 = 0 e determinare la retta tangente a C nel suo punto P 0 = (− 2 , 0).

ESERCIZIO 3. Al variare del parametro t ∈ R, classificare la seguente conica:

Ct : x^2 + (1 − t) y^2 + 2tx − 2 (1 − t) y + 2 − t = 0.

Esistono valori di t per cui Ct è una parabola? Esistono valori di t per cui Ct è una circonferenza?

ESERCIZIO* 4. Disegnare le seguenti coniche degeneri:

(i) C : 2x^2 − xy − 3 y^2 − 3 x + 7y − 2 = 0 (ii) C : 3x^2 + 3y^2 − 2 xy − 2 x + 6y + 3 = 0

(iii) C : x^2 + y^2 − 2 xy + x − y = 0.

ESERCIZIO* 5. Si considerino le coniche non degeneri dell’Esercizio 1. Per ciascuna di esse: (i) indicare un riferimento cartesiano in cui C assume forma canonica, scrivere le equazioni del cambio di riferimento e specificare la forma canonica ottenuta; (ii) disegnare C.

Risultati esercizio 1.

(i) C è un’ellisse reale. (ii) C è un’iperbole. (iii) C è degenere (risulta C : (2x − y + 3) (2x − y + 1) = 0, coppia di rette parallele). (iv) C è una parabola. (v) C è degenere (risulta C : (2x − 3) (2y + 1) = 0, coppia di rette incidenti).

Risultati esercizio 2. C è un’iperbole. Posto F (x, y) = x^2 + 4xy − 2 y^2 − 4 , la retta cercata è la retta per P 0 ortogonale a ∇F (P 0 ), cioè x + 2y + 2 = 0.

Risultati esercizio 3.

Se t > 1 , allora Ct è un’iperbole.
Se t = 1, allora Ct è degenere e la sua equazione diventa (x + 1)^2 = 0, quindi Ct è una coppia di rette coincidenti (la retta x + 1 = 0 contata due volte).
Se − 1 < t < 1 , allora Ct è un’ellisse immaginaria.
Se t = − 1 , allora Ct è degenere e si riduce ad un solo punto.
Se t < − 1 , allora Ct è un’ellisse reale.

Non esistono valori di t per cui Ct è sia una parabola. L’equazione di Ct diventa quella di una circonferenza se e solo se 1 − t = 1, cioè t = 0 (che ricade nel caso già classificato di ellisse reale).

Risultati esercizio 4.

(i) Risolviamo l’equazione di C rispetto ad una delle sue variabili, ad esempio x. Si ha C : 2 x^2 − (y + 3) x − 3 y^2 + 7y − 2 = 0 con

∆ = (y + 3)^2 + 8

3 y^2 − 7 y + 2

= 25y^2 − 50 y + 25 = 25 (y − 1)^2

e quindi si ottiene

x =

y + 3 ±

t 25 (y − 1)^2 4

y + 3 ± 5 |y − 1 | 4

y + 3 ± 5 (y − 1) 4 (dove il valore assoluto può essere tolto grazie al segno ± antistante). Dunque l’equazione di C equivale a

2

x −

y + 3 − 5 (y − 1) 4

x −

y + 3 + 5 (y − 1) 4

cioè

4 x − y − 3 + 5 (y − 1) = 0 oppure 4 x − y − 3 − 5 (y − 1) = 0, ossia C è l’unione delle due rette incidenti x + y − 2 = 0 e 2 x − 3 y + 1 = 0.