formulario algebra lineare e geometria, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica formulario algebra lineare e geometria e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity!

RUFFINI

FORMULARIO ALGEBRA

Sistemi lineari risoluzione

1. Scrivere la matrice (A,B) con coefficienti delle incognite e la colonna dei termini noti

2. Calcolare il rango ma ridurre solo per riga

• R.C. N1 se p(A)=p(A,B) il sistema è possibile
• R.C. N2 incognite libere n-p - > sistema indeterminato ∞

𝒏 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒈𝒏𝒊𝒕𝒆−𝒑

3. Risolviamo il sistema ridotto con i metodi della sostituzione o altri

- Se il sistema è quadrato

1. Determinante: Teorema di Cramer una e una sola soluzione  detA=

➢ Se detA=0 sistema impossibile o indeterminato

2. soluzione: {

1

det 𝐵 1

det 𝐴

𝑛

det 𝐵𝑛

det 𝐴

• Moltiplicazione tra due matrici → prodotto riga per colonna tra A nxm e B mxp

11

12

13

21

22

23

11

12

13

21

31

22

23

23

33

11

11

12

21

13

31

𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑖 𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎 1°𝑟𝑖𝑔𝑎 𝑒 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒 è 𝑙𝑎 1°𝑟𝑖𝑔𝑎

[… ] 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑖 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑎 𝑖𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑒 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒

• matrice trasposta è la matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne
• si dice simmetrica se una matrice coincide con la sua trasposta

il determinante

Ordine 3 : il determinante si

calcola con la regola di Sarrus che

consiste nel sommare il prodotto

degli elementi delle tre diagonali

di andata meno il prodotto degli

elementi delle tre diagonali di

ritorno

Ricorda : il determinante è zero, se

si ha una colonna (o una riga)

nulla; se la prima riga è la metà (o

multiplo) della seconda oppure

quando ci sono due colonne

uguali.

Ordine >4 : si usa il teorema di

Laplace.

𝑖

Proprietà dei determinanti

1. Se scambio due righe o due colonne, il determinante cambia di segno: 𝑑𝑒𝑡𝐵 =

2. Se ho due righe (o colonne) uguali, o una riga (colonna) nulla, il determinante è

zero.

3. Se un’intera riga di A è somma di due addendi, il determinante di A è uguale

alla somma dei determinanti delle due matrici ottenute da A sostituendo la

riga in questione con ciascuno dei due addendi.

4. Se B è la matrice ottenuta da A moltiplicando una riga o colonna per 𝑘 si ha:

dove 𝑘 è il massimo comune divisore tra gli elementi delle due righe (o colonne).

5. Se A è una matrice quadrata, il determinante coincide con il determinante

della sua trasposta:

𝑇

6. Se A è una matrice quadrata triangolare superiore (o inferiore), il

determinante di A è il prodotto degli elementi della sua diagonale principale,

cioè: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎 11 ∙ 𝑎 22 ∙ … ∙ 𝑎𝑛𝑛.

7. Se si effettua una trasformazione su una riga del tipo 𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 + 𝜆 ∙ 𝑅𝑗 (in

modo analogo per le colonne) con 𝜆 ∈ ℝ , allora il determinante non cambia.

POLINOMIO CARATTERISTICO → Autovalori

det|𝑀(𝑓) −𝑇𝐼| = |

11

12

13

21

22

23

31

32

33

= 0 𝑒 𝑖𝑙 det 𝑠𝑖 𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 

1

𝑟

Una volta fissati gli autovalori

Autospazi → V = Kerf

Calcolare il nucleo col sistema lineare e omogeneo

{[𝑀(𝑓 ) = (

)] ∗ (

Dimensione kerf e Imf → incognite libere

Se  contato una volta dimV = 1

DimV (dominio) 𝑅

𝑛

= 𝑛 → n – p (matrice -  in diag princ) = dimV → 0 < dimV 

𝑖

 m

Autovettori → le basi dei singoli Autospazi

1

1

= ( 1 , 2 , − 1 ) → se gli r autovettori in 𝑅

𝑛

sono r<n non è una base e non è Semplice

La Semplicità

Semplice se 𝑑𝑖𝑚𝑉  1

𝑟

|se è semplice la matrice quadrata è diagonalizzabile se in più 𝑃

− 1

3. Determinare se A è diagonalizzabile

4. Studio della semplicità e → deve essere semplice

5. Matrice diagonale  D

1

2

3

) → nella diagonale principale la molteplicità algebrica

6. Matrice diagonalizzante di A  P

1

2

3

)→ ha come colonne gli autovettori che formano una base 𝐵

𝑈

1

2

3

7. La matrice inversa di P  𝑷

−𝟏

P è diagonalizzabile  detP  0 ed è 𝑃

− 1

1

𝐷𝑒𝑡𝑃

𝑇

cioè:

𝑖𝑗

𝑖+𝑗

∗ det (

− 1

11

21

31

12

22

32

13

23

33

8. A è diagonalizzabile se come seconda condizione  𝑷

−𝟏

4. Matrice inversa

teorema 𝐴 è 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒  𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 → 𝑠𝑒 è 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 𝐴

− 1

1

𝑑𝑒𝑡𝐴

𝑇

− 1

11

21

31

12

22

32

13

23

33

𝑖+𝑗

11

12

1 𝑛

21

𝑛 1

22

2 𝑛

𝑛 2

𝑛𝑛

5. Calcolare la controimmagine 𝑓

− 1

(𝑤) = {𝑣  𝑉 |𝑀(𝑓) ∗ 𝑣 = 𝑤} → sistema lineare da risolvere

6. Applicazione composta g o f : V→Z

𝑓: 𝑉→𝑊 e 𝑔: 𝑊 → 𝑍  𝑔 𝑜 𝑓 ∶

1. Matrice associata dell’appl. composta

∗ 𝑀(𝑔)→ prodotto riga

per colonna

spazio vettoriale

la caratterizzazione è un criterio:

(contiene il vettore nullo)

• chiuso rispetto alla somma:

′

′

• chiuso rispetto al prodotto esterno:

(dim= incognite libere e dim dominio- n

incognite libere = n equazioni)

trovare l’equazione da un insieme base

si mettono in riga i vettori dell’insieme base e

aggiungendo un vettore generico e il rango di

questa matrice non deve essere massimo

intersezione tre due rette → {

1

1

1

2

2

1

equazione della retta nello spazio può essere rappresentata da------------------------------------------------------

1. un sistema lineare di due equazioni in tre incognite (intersezione tra due piani):

1

1

1

1

2

2

2

2

I parametri direttori si ricavano risolvendo il sistema lineare togliendo i termini noti , si scrive

la soluzione generica e si prendono i coefficienti dell’incognita libera (sono i vettori paralleli).

1. se ho 2 punti : v= (x2-x1,y2-y1)

2. se conosco l’equazione cartesiana ax+by+c=0 - > v= p.d.(l, m)=(-b, a)

3. dall’uguaglianza (dove i parametri direttori sono direttamente i denominatori):

𝑜

𝑜

𝑜

I parametri direttori sono direttamente i denominatori: 𝑝. 𝑑. = 𝑣 = (𝑙, 𝑚, 𝑛)

4. se conosco il coefficiente angolare 𝑚 𝑐

𝑎

𝑏

𝑐

𝑐

𝑐

5. dall’uguaglianza:

1

2

1

1

2

1

𝑜

2

1

→\

Dove i parametri direttori sono 𝑝. 𝑑. = v = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1)= (l, m, n)

Nota: bisogna saper lavorare con i parametri direttori, invece che con le rette. Ricorda che la retta nello

spazio è data da un sistema di due equazioni, mentre nel piano da una sola equazione.

Esiste una e una sola retta nello spazio:

1. per un punto R e un vettore parallelo 𝑣 =

𝑂

𝑜

𝑜

𝑜

mi ricavo le t e mi trovo che il punto 3 precedente!!!

2. considerando due punti di r e un punto generico

Angolo tra due rette nello spazio:

(𝑙, 𝑚, 𝑛) ∙ (l

′

, m

′

, n′)

2

2

2

2

2

2

𝑙 ∙ l

′

• 𝑚 ∙ m

′

• 𝑛 ∙ n′

2

2

2

2

2

2

parallelismo tra rette : se i vettori direttivi sono paralleli

′

′

′

rette ortogonali : vettori direttivi ortogonali

′

′

′

′

′

′

fascio di rette (𝑟

1

2

divido per →  ≠ 0 ********

Togliamo la condizione, =0 che diventa→ 

= 0 → dividiamo per  che è sicuramente ≠ 0

Retta nel piano Retta nello spazio

Esiste il coefficiente angolare della retta - non c’è il coeff. angolare

Ma c’è il vettore direttivo cioè quel vettore parallelo alla retta e che ha

componenti (l, m, n) → cioè i parametri direttori

nel piano si parla sia di coefficiente angolare (che da la direzione o la pendenza o l’inclinazione della retta rispetto all’asse x in

quanto è la tangente dell’angolo goniometrico) che di parametri direttori (i 3 componenti di un vettore che da la direzione)

equazione del piano -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1° tipo ) dato un punto 𝑃𝑜 = (𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜) e il vettore direttivo del piano 𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)

𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

2° tipo ) tramite 3 punti non allineati 𝑃𝑜 =

det |

𝑜

𝑜

0

1

𝑜

1

0

1

𝑜

2

1

2

1

2

1

parallelismo tra piani : vettori direttivi paralleli

𝑎

𝑎

1

𝑏

𝑏

1

𝑐

𝑐

1

piani ortogonali : vettori direttivi ortogonali 𝑎𝑎

1

1

1

parallelismo tra retta e piano 𝑠||   𝑣 ∙ 𝑢 = 0 : vettori direttivi ortogonali 𝑎𝑙 + 𝑏𝑚 + 𝑐𝑛 = 0

retta e piano ortogonali : vettori direttivi paralleli

𝑎

𝑙

𝑏

𝑚

𝑐

𝑛

rette sghembe : 𝑟: {

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

det (

1

1

1

1

2

2

2

2

3

4

3

4

3

3

4

4

fascio di piani (come fascio di rette)

1

2

fasci di piani contenenti una retta

il piano contenente due rette

distanza punto-piano

proiezione ortogonale di un punto su un piano

sono sghembe quando non sono complanari cioè non esiste

un piano che le contiene  non devono essere né incidenti

né parallele (distinte/coincidenti)

a. Se l’equazione si scompone come quadrato di trinomio del tipo (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)

2

allora si dice che la conica

si spezza in due rette coincidenti appunto di equazione 𝑟 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

b. Se l’equazione si scompone in due fattori lineari: (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)(𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐′ ) = 0 allora si dice

che la conica si spezza in due rette distinte appunto di equazioni rispettivamente 𝑟 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 e

′

c. Se l’equazione si scompone ad esempio nel seguente modo: 𝑎𝑥

2

2

= 0 allora si dice che la conica si

spezza in due rette immaginarie e coniugate di equazioni 𝑟: 𝑎𝑥 − 𝑖𝑏𝑦 = 0 e 𝑟′ ∶ 𝑎𝑥 + 𝑖𝑏𝑦 = 0

IN SINTESI classificazione

det 𝐵 = 0 → 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑝𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑖𝑛 𝑑𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑝(𝐵) = 2 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑝(𝐵) = 1 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖

det 𝐵 ≠ 0 → 𝑖𝑟𝑟𝑖𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 {

det 𝐴 > 0 → 𝑬𝒍𝒍𝒊𝒔𝒔𝒆 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 𝑇𝑟𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴 < 0 𝑠𝑒𝑛𝑛ò 𝐸𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑖𝑚𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎

det 𝐴 = 0 → 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎

𝑠𝑒 det 𝐴 < 0 → 𝐼𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 𝑠𝑒 + 𝑇𝑟(𝐴) = 0 𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎

il fascio di coniche

la totalità delle coniche del piano z=

𝜆𝐶 1 + μ𝐶 2 = 0 , ∀(𝜆, μ) ≠ ( 0 , 0 ) → 𝐹𝐴𝑆𝐶𝐼𝑂 1

• dividere per un parametro (𝜆 ≠ 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 μ ≠ 0 ) e lavorare con un solo parametro

nota: quando si opera con un solo parametro si perde una conica del fascio di partenza che è quella per cui λ = 0

(oppure μ = 0). Da cui

1

2

Se h<0 e se h<0, fascio 1 e fascio 2 non sono uguali perché in uno si perde una conica (sono uguali a meno di una

conica)

se =0 il contrario

Forme canoniche in O’XY

ELLISSE:

2

2

det 𝐵

det 𝐴

′

′

) → 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −𝛼𝛽𝛾, det 𝐴 = 𝛼𝛽

i fuochi per a>b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

per b>a 𝑐 = √𝑏

2

2

1 , 2

se a=b l’ellisse genera una circonferenza di eq. 𝑥

2

2

2

′

la circonferenza

2

2

2

i vertici

1

2

3

4

centro di simmetria del sistema Oxy (come iperbole)

11

12

13

12

22

23

𝑐

𝑐

11

𝑐

12

𝑐

13

12

𝑐

22

𝑐

23

𝑐

𝑐

assi di simmetria in Oxy

𝑐

11

12

𝑐

𝑐

12

11

𝑐

iperbole

2

2

det 𝐵

det 𝐴

𝛽 = \

i fuochi (supp. a>b)

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= 1 quindi →

2

2

i vertici

1

2

centro di simmetria del sistema Oxy (come ellisse)

11

12

13

12

22

23

𝑐

𝑐

11

𝑐

12

𝑐

13

12

𝑐

22

𝑐

23

𝑐

𝑐

assi di simmetria in Oxy

𝑐

11

12

𝑐

𝑐

12

11

𝑐

equilatera se TrA=

parabola

2

2

′