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Richiami di matematica elementare
Proprietà delle potenze
0
𝛼
𝛽
𝛼+𝛽
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝛽
𝛼−𝛽
𝛼
𝛼
𝛼
−𝛼
𝛼
𝛽
𝛼𝛽
1
𝑛
⁄
𝑛
𝑚
𝑛
⁄
𝑚
𝑛
Proprietà dei logaritmi
log 𝑎
𝑥
𝑎
𝑥
𝑎
𝑎
= log
𝑎
𝑥 + log
𝑎
𝑎
) = log
𝑎
𝑥 − log
𝑎
𝑎
𝛼
) = 𝛼 log
𝑎
𝑎
log
𝑥
= − log 1
𝑎
⁄
𝑏
log
𝑎
log
𝑎
Proprietà degli esponenziali
0
𝑥
𝑦
𝑥+𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
𝑥−𝑦
𝑥
𝑥
𝑥
−𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
𝑥𝑦
Proprietà del modulo o valore assoluto
2
Formule trigonometriche
2
2
- sin 2 𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
- cos 2 𝑥 = {
(cos 𝑥)
2
− (sin 𝑥)
2
2 (cos 𝑥)
2
1 − 2 (sin 𝑥)
2
2 tan 𝑥
[ 1 − (tan 𝑥)
2
]
- sin(𝑥 ± 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑥 ± sin 𝑥 cos 𝑥
- cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦
- tan(𝑥 ± 𝑦) =
(tan 𝑥 ± tan 𝑦)
( 1 ∓ tan 𝑥 tan 𝑦)
𝑥
2
1 −cos 𝑥
2
𝑥
2
1 +cos 𝑥
2
𝑥
2
1 −cos 𝑥
1 +cos 𝑥
1 −cos 2 𝑥
2
1 +cos 2 𝑥
2
1
𝑥
𝜋
2
𝜋
𝑥
sinh 𝑥 =
𝑥
−𝑥
sinh 0 = 0
cosh 𝑥 =
𝑥
−𝑥
cosh 0 = 1
arctan( 1 ) =
arctan(− 1 ) = −
arctan(+∞) =
arctan(−∞) = −
tan( 1 ) =
tan
tan (
) = +∞ tan (−
log 𝑥
log 𝑒 = 1 log 1 = 0 log 0
Luoghi geometrici
Retta
1
2
𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑡à: 𝑚
1
2
Circonferenza
2
2
𝑐
2
𝑐
2
2
𝑐
𝑐
𝑐
2
𝑐
2
Parabola
2
2
Iperbole
2
2
2
2
2
2
Ellisse
2
2
2
2
2
2
2
2
Funzione omografica
𝑎
𝑑
𝑥 +
𝑏
𝑑
( 𝑐 ≠ 0 ; 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
)
( 𝑐 ≠ 0 ; 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
) :
𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑖 𝑒 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑟
𝑡𝑟𝑜𝑣𝑎𝑟𝑒 𝑙
′
𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒
𝑦 = log 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ( 0 ; +∞)
𝑦 = 𝑎
𝑥
; 𝑎 > 0
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = log
𝑎
𝑥 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ( 0 ; +∞)
𝑦 = sin 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = arcsen 𝑥
𝐷𝑜𝑚
( 𝑓
) = [− 1 ; 1 ]
𝑦 = cos 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = arccos 𝑥
𝐷𝑜𝑚
( 𝑓
) = [− 1 ; 1 ]
𝑦 = tan 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅\ {
𝜋
2
𝑦 = arctan 𝑥
𝐷𝑜𝑚
( 𝑓
) = 𝑅
Archi associati
Limiti
Stime asintotiche
è 𝐴𝑆𝐼𝑁𝑇𝑂𝑇𝐼𝐶𝐴𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐸𝑄𝑈𝐼𝑉𝐴𝐿𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑎 𝑔
𝑠𝑒: lim
𝑥→𝑥
0
𝑥→ 0
2
2
𝑥
𝑥
~ ln 𝑎 ∗ 𝑥 𝑙𝑛
log
𝑎
ln 𝑎
𝑥 log 𝑥~ 0 𝑥
𝛼
(log 𝑥)
𝑏
1
𝑥
⁄
[(
𝑐
]
lim
𝑥→ 0
−
= − 1 lim
𝑥→ 0
𝑥→+∞
2
1
𝑥
𝑥
lim
𝑥→−∞
= − 1 lim
𝑥→+∞
Scala degli infiniti
log 𝑥 𝑥
𝛼
𝑥
𝑥
𝑥
𝛼
log 𝑥
𝑥
𝑥
𝛼
log 𝑥
log 𝑥
𝛼
𝑥
Formule utili
𝑛
log 𝑛
𝑛
𝑛 log 𝑛
𝑛
𝑛+ 3
𝑛
𝑛+ 3
𝑛
−𝑛
3
𝑛
−𝑛
Derivate fondamentali
𝑘 0 tg 𝑥
cos
2
= 1 + tan
2
𝑥 1 cotg 𝑥
sen
2
= − 1 − cot
2
8
7
tgh 𝑥
cosh
2
ln
2
2 ln 𝑥
cotgh 𝑥
senh
2
arctg 𝑥
2
𝑥
𝑥
ln 𝑎 arcotg 𝑥
2
𝑥
𝑥
arctgh 𝑥
2
log
𝑎
𝑥 ln 𝑎
arcotgh 𝑥
2
ln 𝑥
ln(𝑓(𝑥))
sin 𝑥 cos 𝑥
cos 𝑥 − sin 𝑥
arcsin 𝑥
2
arccos 𝑥
2
sinh 𝑥 cosh 𝑥
cosh 𝑥 sinh 𝑥
arcsinh 𝑥
2
arccosh 𝑥
2
Regole di derivazione
′
= lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
′
′
[
]
′
′
′
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
′
𝑓
′
( 𝑥
) ∗ 𝑔
( 𝑥
) − 𝑓
( 𝑥
) ∗ 𝑔
′
( 𝑥
)
𝑔
2
(𝑥)
• [𝑘 ∗ 𝑓(𝑥)]
′
′
[
]
𝑔(𝑥)
′
[
]
𝑔(𝑥)
∗ [𝑔
′
ln 𝑓
𝑔
( 𝑥
) ∗𝑓
′
(𝑥)
𝑓(𝑥)
]
′
′
Punti di discontinuità
Punti di non derivabilità
′
−
0
′
0
𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢𝑒 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
′
−
0
′
0
′
−
0
′
0
Regola di De L’Hopital
lim
𝑥→𝑥 0
= lim
𝑥→𝑥
0
′
′
Ricordarsi di moltiplicare
sempre per la derivata
della funzione
Serie di segno variabile
𝑛
Criteri di convergenza
𝑛
𝑛
∞
𝑛=𝑛 𝑜
∞
𝑛=𝑛 𝑜
𝑛
∞
𝑛=𝑛 𝑜
lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
𝑛+ 1
𝑛
𝑛
𝑛
∞
𝑛=𝑛
0
Serie notevoli
Serie geometrica
𝑛
∞
𝑛= 0
Serie armonica generalizzata
𝛼
∞
𝑛= 0
Serie armonica generalizzata con logaritmo
𝛼
(log 𝑛)
𝛽
∞
𝑛= 0
Serie armonica generalizzata con logaritmo e esponenziale
𝛾𝑛
𝛼
(log 𝑛)
𝛽
∞
𝑛= 0
Serie telescopica
𝑛
𝑛+ 1
lim
𝑛→+∞
𝑛
∞
𝑛= 0
Integrali fondamentali devo trovare la primitiva
2
arcsin 𝑥 + 𝑐
𝛼
𝛼+ 1
2
arccos 𝑥 + 𝑐
ln|𝑥| + 𝑐 sinh 𝑥 cosh 𝑥 + 𝑐
ln 𝑎 ∗ 𝑎
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
ln 𝑎
2
arcsinh 𝑥 + 𝑐
𝑥
𝑥
cos
2
= 1 + tan
2
tg 𝑥 + 𝑐
ln 𝑥 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
sen
2
= 1 + cotg
2
−cotg 𝑥 + 𝑐
sin 𝑥 −cos 𝑥 + 𝑐
2
arctg 𝑥 + 𝑐
cos 𝑥 sin 𝑥 + 𝑐
Formule parametriche razionali Integrale
ln
2
𝑥
𝑥
2 𝑡
1 +𝑡
2
ln
2
𝑥
𝑥
𝑑𝑥 SOSTITUZIONE
𝑡 = tan
𝑥
2
ln 𝑥 = 𝑡
1 −𝑡
2
1 +𝑡
2
1
𝑥
Media integrale
𝑏
𝑎
Funzione pari Funzione dispari
𝑓
( −𝑥
) = 𝑓
( 𝑥
) 𝑓
( −𝑥
) = −𝑓(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
−𝑎
𝑎
0
𝑎
−𝑎
arctan (𝑝𝑜𝑠𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑜𝑟𝑖) = 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
cos
rimane uguale
Integrali impropri notevoli
𝛼
𝑎
0
𝛼
(log 𝑥)
𝛽
𝑎
0
𝛼
𝑏
𝑎
𝛼
+∞
𝑎
𝛼 > 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛼 ≤ 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛼
(log 𝑥)
𝛽
+∞
𝑎
(log 𝑥)
𝛽
+∞
𝑎
𝛾𝑥
+∞
𝑎
𝛾 > 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 ≤ 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾𝑥
𝛼
(log 𝑥)
𝛽
+∞
𝑎
𝛾 > 0 𝑒 ∀ 𝛼, 𝛽 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 < 0 𝑒 ∀ 𝛼, 𝛽 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 = 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑣𝑜𝑙𝑒
Integrali impropri
1° specie
𝐴𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑛 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑐→+∞
𝑐
𝑎
+∞
𝑎
2° specie
𝐴𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 è 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛 𝑐𝑢𝑖 𝑠𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎).
𝑑𝑥 = lim
𝜀→ 0
𝑏
𝑎+𝜀
𝑏
𝑎
3° specie
𝑑𝑥 = lim
𝜀→ 0
𝑑𝑥 + lim
𝑐→+∞
𝑐
𝑏
𝑏
𝑎+𝜀
+∞
𝑎
Continuità, derivabilità parziale, direzionale e differenziabilità
𝑓(𝑥, 𝑦) continua in ℝ
2
0
0
0
0
) = punto di accumulazione
CONTINUITA’
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥 0
,𝑦 0
)
0
0
) ⇒ funzione continua
Può essere utile il passaggio a COORDINATE POLARI {
⇒ lim
𝜌→ 0
Semplifico il più possibile:
Se non dipende da ρ ⇒ ∄
Se lim
𝜌→ 0
𝜌 ∗ funzione limitata ⇒vince 𝜌
DERIVABILITA’ PARZIALE
𝑑𝑓(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
= lim
ℎ→ 0
𝑓(𝑥
0
+ℎ,𝑦
0
)−𝑓(𝑥
0
,𝑦
0
)
ℎ
𝑑𝑓(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
= lim
𝑘→ 0
𝑓
( 𝑥 0
,𝑦 0
+𝑘
) −𝑓
( 𝑥 0
,𝑦 0
)
𝑘
0
0
𝜕𝑓
( 𝑥,𝑦
)
𝜕𝑥
𝜕𝑓
( 𝑥,𝑦
)
𝜕𝑦
) gradiente
Se posso calcolarle come derivate classiche è meglio e più veloce.
DERIVABILITA’ DIREZIONALE
= lim
𝑡→ 0
0
1
0
2
0
0
Se ammette derivate parziali e nell'esercizio ho una direzione 𝑣⃗ = (𝑥
1
1
) posso usare:
0
0
DIFFERENZIABILITA’
lim
(ℎ,𝑘)→( 0 , 0 )
0
0
0
0
0
0
2
2
= 0 ⇒ funzione differenziabile
Condizioni necessarie: {
continua in (𝑥
0
0
derivabile in (𝑥
0
0
) lungo ogni direzione 𝑣 ⃗⃗⃗⃗
𝑓(𝑥, 𝑦) derivabile in (𝑥
0
0
PIANO TANGENTE (deve essere verificata la differenziabilità)
z = 𝑓(𝑥
0
0
0
0
0
0
0
0
TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE
1
⇒ 𝑓 differenziabile {
⇒ 𝑓 continua
0
0
METODO 2) SEGNO DELL’INCREMENTO DELLA FUNZIONE
Posso utilizzare questo metodo quando:
TEST INEFFICACE
Derivare è complicato
0
0
0
0
) = punto stazionario o nel quale il test è inefficace
Eseguo due restrizioni sulla funzione che risultano comode:
Studio il segno: {
𝑓(𝑥, 𝑥) >, 𝑓(𝑥, −𝑥) > ⇒ MINIMO ASSOLUTO
< ⇒ MASSIMO ASSOLUTO
𝑓(𝑥, 𝑥) >, 𝑓(𝑥, −𝑥) < ⇒ PUNTO DI SELLA
Posso verificare
anche dal disegno se è
corretto il risultato
Estremi vincolati
Devo determinare i MASSIMI e i MINIMI vincolati di una funzione vincolata.
Posso utilizzare questo metodo quando ho solamente una funzione 𝑔
( 𝑥, 𝑦
) = 0 come vincolo.
• METODO 1) ESPLICITO UNA VARIABILE
1 ) Isolo dal vincolo una variabile e pongo ciò che ho isolato ≥ 0
2 ) Restringo al vincolo la funzione, sostituendo quindi una incognita
- Studio 𝐹
′
(𝑦) = ⋯ ≥ 0 la monotonia della funzione nel mio intervallo dato
5 ) Ottenuti i risultati sostituisco in 𝑓(𝑥, 𝑦) per determinare se sono punti di MAX o min
- METODO 2) FORMA PARAMETRICA (quando ho crf o ellisse)
- Scrivo il vincolo in forma parametrica
{
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
2 ) Calcolo F(t) sostituendo 𝑥 e 𝑦
- Studio 𝐹
′
(𝑡) = ⋯ ≥ 0
4 ) Ottenuti i risultati sostituisco in 𝑓(𝑥, 𝑦) per determinare se sono punti di MAX o min assoluti
• METODO 3 ) MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE
1 ) ℒ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜆 𝑔(𝑥, 𝑦) → vincolo
2 ) Studio i punti stazionari:
{
𝜕ℒ
𝜕𝑥
= ⋯ = 0
𝜕ℒ
𝜕𝑦
= ⋯ = 0
𝜕ℒ
𝜕𝜆
= ⋯ = 0
3 ) Sostituisco i punti ottenuti nella funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) per verificare quale sia MAX e min
- METODO 4) CURVE DI LIVELLO (quando posso isolare le variabili)
1 ) Pongo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 e isolo una variabile
2 ) Cerco i valori di k per cui la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 (utilizzando quella isolata) è tangente al dominio
Es. 𝑥
2
2
2
2
2
1
2
1
2
Es. 𝐹(𝑦) = 𝑓(𝑥(𝑦), 𝑦) = ⋯ ∀𝑦 ∈ [−
1
2
1
2
]
ELLISSE 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] CRF 𝑡 ∈ [ 0 , 2 𝜋]
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑥 = a cos (𝑡)
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
0
2
0
2
1
𝑥 = 𝑥
0
𝑦 = 𝑦
0
TEOREMA DI WEIERSTRASS
✓ 𝑓 continua in ℝ
2
✓ Vincolo è sottoinsieme chiuso e limitato di ℝ
2
⇒ esistono MAX e min che ricerco tra i punti ottenuti
Curve piane
RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA
{
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE
𝑟⃗
( 𝑡
) = 𝑟
1
( 𝑡
) 𝑖⃗ + 𝑟
2
( 𝑡
) 𝑗⃗
𝑟⃗
( 𝑡
) = 𝑟
1
( 𝑡
) 𝑖
1
⃗⃗⃗
2
( 𝑡
) 𝑖
2
⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗
( 𝑡
) = (𝑟
1
( 𝑡
) , 𝑟
2
( 𝑡
) )
Curve nello spazio
RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE
𝑟⃗ (𝑡) = 𝑟
1
(𝑡)𝑖⃗ + 𝑟
2
(𝑡)𝑗⃗ + 𝑟
3
(𝑡)𝑘
⃗⃗
𝑟⃗ (𝑡) = 𝑟
1
(𝑡)𝑖
1
⃗⃗⃗
2
(𝑡)𝑖
2
⃗⃗⃗⃗
3
(𝑡)𝑖
3
⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗ (𝑡) = (𝑟 1
(𝑡), 𝑟
2
(𝑡), 𝑟
3
(𝑡))
Vettore tangente: 𝑟⃗
′
(𝑡) = (𝑟⃗
1
′
(𝑡
0
), … , 𝑟
𝑛
⃗⃗⃗⃗
′
(𝑡
0
))
Retta tangente: 𝑥⃗ (𝑡) = 𝑟⃗ (𝑡 0
) + 𝑟⃗
′
(𝑡 − 𝑡
0
)
Versore tangente: T
⃗⃗⃗
(t
0
) =
r⃗
′
( t
0
)
‖r⃗
′
(t
0
)‖
Versore normale: N
⃗⃗⃗ ( t
0
)
T
′
(t
0
)
‖T
′
(t
0
)‖
Versore binormale: ‖B
⃗⃗⃗ ( t
0
) ‖ =
‖ T
( t
0
)‖ ⋅
‖ N
( t
0
)‖ ⋅ sen(
π
2
⁄
) = 1
Lunghezza curva: ∫
‖ 𝑟⃗
′
(𝑡)
‖ 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
Ascissa curvilinea e lunghezza d'arco: ∫
‖ r⃗
′
( τ
)‖ dτ
t
a
ELLISSE 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] CRF 𝑡 ∈ [ 0 , 2 𝜋]
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑥 = a cos (𝑡)
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝑡)
0
2
0
2
1
𝑥 = 𝑥
0
𝑦 = 𝑦
0
Integrali curvilinei di 1° specie
∫ 𝜌(𝑥⃗ ) 𝑑𝑆
𝛤
= ∫ 𝜌(𝑟⃗ (𝑡))‖𝑟⃗
′
(𝑡)‖ 𝑑𝑡 non è importante il verso di percorrenza
𝑏
𝑎
𝑟⃗ (𝑡) = curva di rappresentazione parametrica
𝑟⃗
′
(𝑡) = derivata della curva di rappresentazione parametrica
‖𝑟⃗
′
(𝑡)‖ = √r⃗
′
(t) norma della curva
Sostituisco a 𝐹
( 𝑥, 𝑦
) le componenti di 𝑟⃗
′
( 𝑡
) e calcolo l'integrale con gli estremi 𝑡 ∈
[ 𝑎, 𝑏
]
∫ 𝐹
⃗
(𝑟⃗
( 𝑡
) )
‖ 𝑟⃗
′
( 𝑡
)‖ 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
L'integrale può essere spezzato in più integrali.
Integrali curvilinei di 2° specie
• METODO 1) CURVA PARAMETRICA
∫ 𝐹
⃗
d𝑟⃗
𝛤
= ∫ 𝐹
⃗
(𝑉
⃗⃗
(𝑡)) 𝑟⃗
′
(𝑡) d𝑡
𝑏
𝑎
importante il verso di percorrenza
𝑟⃗ (𝑡) = curva di rappresentazione parametrica (talvolta devo ottenerla io)
𝑟⃗
′
(𝑡) = derivata della curva di rappresentazione parametrica
Sostituisco a 𝐹
( 𝑥, 𝑦
) le componenti di 𝑟⃗
( 𝑡
) e calcolo l'integrale con gli estremi 𝑡 ∈
[ 𝑎, 𝑏
]
∫ 𝐹
⃗
(𝑟⃗
( 𝑡
) )𝑟⃗
′
( 𝑡
) 𝑑𝑡
antiorario ⟹ +
orario ⟹ -
𝑏
𝑎
L'integrale può essere spezzato in più integrali.
- METODO 2 ) GRADIENTI (solo se gli integrali sono conservativi)
∫ 𝐹
⃗
d𝑟⃗
𝛤
= ∫ 𝛻𝜌 𝑑𝑟⃗
𝛤
= 𝜌(𝑥⃗
𝑏
) ⋅ 𝜌(𝑥⃗
𝑎
) se 𝜌 regolare a tratti e 𝑥⃗
𝑎
𝑒 𝑥⃗
𝑏
due punti della curva
⟹ Se curva chiusa ∫ ∇ρ dr⃗
Γ
= 0
