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Richiami di matematica elementare
Proprietà delle potenze
ఈ
ఉ
ఈାఉ
ఈ
ఈ
ఈ
ఈ
ఉ
ఈିఉ
ఈ
ఈ
ఈ
ିఈ
ఈ
ఉ
ఈఉ
ଵ
ൗ
⁄
Proprietà dei logaritmi
୪୭ ೌ
௫
log
௫
log
log
= log
𝑥 + log
log
൯ = log
𝑥 − log
log
ఈ
) = 𝛼 log
log
log
௫
= − log ଵ
ൗ
log
log
log
Proprietà degli esponenziali
௫
௬
௫ା௬
௫
௬
௫
௫
௬
௫ି௬
௫
௫
௫
ି ௫
௫
௫
௫
௬
௫௬
Proprietà del modulo o valore assoluto
ଶ
Formule trigonometriche
(sin 𝑥)
ଶ
ଶ
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
cos 2𝑥 = ቐ
(cos 𝑥)
ଶ
− (sin 𝑥)
ଶ
2 (cos 𝑥)
ଶ
1 − 2 (sin 𝑥)
ଶ
tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥
[1 − (tan 𝑥)
ଶ
]
sin(𝑥 ± 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑥 ± sin 𝑥 cos 𝑥
cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦
tan(𝑥 ± 𝑦) =
(tan 𝑥 ± tan 𝑦)
(1 ∓ tan 𝑥 tan 𝑦)
sin
௫
ଶ
ଵିୡ୭ୱ ௫
ଶ
cos
௫
ଶ
ଵାୡ୭ୱ ௫
ଶ
tan
௫
ଶ
ଵିୡ୭ୱ
ଵାୡ୭ୱ ௫
sin 𝑥 = ±ට
ଵିୡ୭ୱ
ଶ
cos 𝑥 = ±
ଵାୡ୭ୱ
ଶ
arctan(𝑥) − arctan ቀ
ଵ
௫
గ
ଶ
గ
௫
sinh 𝑥 =
௫
ି ௫
sinh 0 = 0
cosh 𝑥 =
௫
ି ௫
cosh 0 = 1
arctan( 1 ) =
arctan(− 1 ) = −
arctan(+∞) =
arctan(−∞) = −
tan( 1 ) =
tan
tan ቀ
ቁ = +∞ tan ቀ−
୪୭ ௫
log 𝑒 = 1 log 1 = 0 log 0
ା
Luoghi geometrici
Retta
ଵ
ଶ
𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑡à: 𝑚
ଵ
ଶ
Circonferenza
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Parabola
ଶ
ଶ
Iperbole
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Ellisse
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Funzione omografica
𝑅𝐸𝑇𝑇𝐴 (𝑐 = 0 ): 𝑦 =
ௗ
𝑥 +
ௗ
𝑅𝐸𝑇𝑇𝐴 𝑂𝑅𝐼𝑍𝑍𝑂𝑁𝑇𝐴𝐿𝐸
( 𝑐 ≠ 0 ; 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
)
𝐼𝑃𝐸𝑅𝐵𝑂𝐿𝐸 𝐸𝑄𝑈𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴
( 𝑐 ≠ 0; 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
) :
𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑖 𝑒 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑟
𝑡𝑟𝑜𝑣𝑎𝑟𝑒 𝑙
ᇱ
𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒
𝑦 = log 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ( 0 ; +∞)
𝑦 = 𝑎
௫
; 𝑎 > 0
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = log
𝑥 ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ( 0 ; +∞)
𝑦 = sin 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = arcsen 𝑥
𝐷𝑜𝑚
( 𝑓
) = [− 1 ; 1 ]
𝑦 = cos 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝑦 = arccos 𝑥
𝐷𝑜𝑚
( 𝑓
) = [− 1 ; 1 ]
𝑦 = tan 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅\ ቄ
𝜋
2
𝑦 = arctan 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
Archi associati
Dominio di una funzione
గ
ଶ
Asintoti
Asintoto verticale: lim
௫→௫
బ
ష
= ±∞ 𝑜/𝑒 lim
௫→௫
బ
శ
Asintoto orizzontale: lim
௫→ାஶ
= 𝑘 𝑜/𝑒 lim
௫→ି ஶ
Asintoto obliquo: 1) lim
௫→ାஶ
𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜/𝑒 lim
௫→ିஶ
- lim
௫→ାஶ
(௫)
௫
= 𝑚 𝑜/𝑒 lim
௫→ି ஶ
(௫)
௫
- lim
௫→ାஶ
[𝑓
− 𝑚𝑥] = 𝑞 𝑜/𝑒 lim
௫→ିஶ
[𝑓
− 𝑚𝑥] = 𝑞
Retta tangente: 1) 𝑦 = 𝑓(𝑥
ᇱ
ᇱ
- 𝑓(𝑥
′
0
0
′
0
0
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ᇱ
Asintoto SX Asintoto DX
Asintoto SOPRA
Asintoto SOTTO
FUNZIONI A TRATTI
Dominio definito
dall’unione dei due
domini calcolati
singolarmente
Limiti
Stime asintotiche
è 𝐴𝑆𝐼𝑁𝑇𝑂𝑇𝐼𝐶𝐴𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐸𝑄𝑈𝐼𝑉𝐴𝐿𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑎 𝑔
𝑠𝑒: lim
௫→௫
బ
lim
௫→
ଶ
ଶ
௫
௫
~ ln 𝑎 ∗ 𝑥 𝑙𝑛
log
ln 𝑎
𝑥 log 𝑥~ 0 𝑥
ఈ
(log 𝑥)
ଵ
௫
ൗ
[(
]
lim
௫→
ష
= − 1 lim
௫→
శ
lim
௫→ାஶ
ଶ
ଵ
௫
௫
lim
௫→ି ஶ
= − 1 lim
௫→ାஶ
Scala degli infiniti
log 𝑥 𝑥
ఈ
௫
௫
௫
ఈ
log 𝑥
௫
௫
ఈ
log 𝑥
log 𝑥
ఈ
௫
Formule utili
୪୭
୪୭
ାଷ
ାଷ
ି
ଷ
ି
Polinomio di Taylor
௫
௫
మ
ଶ!
௫
య
ଷ!
௫
ర
ସ!
௫
ఱ
ହ!
௫
!
log
௫
మ
ଶ
௫
య
ଷ
௫
ర
ସ
௫
ఱ
ହ
ିଵ
௫
௫
య
ଷ!
௫
ఱ
ହ!
௫
ళ
!
௫
మశభ
(ଶାଵ)!
௫
మ
ଶ!
௫
ర
ସ!
௫
ల
!
௫
మ
(ଶ)!
௫
య
ଷ
ଶ௫
ఱ
ଵହ
௫
య
ଷ
௫
ఱ
ହ
௫
ళ
௫
మశభ
(ଶାଵ)
௫
య
ଷ௫
ఱ
ସ
௫
య
ଷ!
௫
ఱ
ହ!
௫
ళ
!
௫
మశభ
(ଶାଵ)!
௫
మ
ଶ!
௫
ర
ସ!
௫
ల
!
௫
మ
(ଶ)!
ଵ
ଶ
ଵ
଼
ଶ
ଵ
ଵ
ଷ
ఈ
ఈ(ఈିଵ )
ଶ
ଶ
ఈ(ఈିଵ )(ఈିଶ )
ଷ
ᇱ
ᇲᇲ
( ௫
)( ௫ି௫
)
మ
ଶ
( ௫ బ
)
!
Regole di derivazione
𝑓
ᇱ
( 𝑥
) = lim
௫→௫
బ
(௫)ି (௫
బ
)
௫ି௫
బ
[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]
ᇱ
ᇱ
[
]
ᇱ
ᇱ
ᇱ
ቀ
(௫)
(௫)
ቁ
ᇱ
=
ᇲ
( ௫
) ∗
( ௫
) ି
( ௫
) ∗
ᇲ
( ௫
)
మ
(௫)
[𝑘 ∗ 𝑓(𝑥)]
ᇱ
ᇱ
൫
[
]
(௫)
ᇱ
[
]
(௫)
ᇱ
ln 𝑓
( ௫
) ∗
ᇲ
(௫)
(௫)
ᇱ
ᇱ
Ricordarsi di moltiplicare
sempre per la derivata
della funzione
Punti di discontinuità
Funzioni continue
𝑠𝑒 lim
௫→௫
బ
ష
𝑓(𝑥) = lim
௫→௫ బ
శ
Punti di discontinuità
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑆𝐴𝐿𝑇𝑂: ∃ lim
௫→௫
బ
ష
𝑓(𝑥) = 𝑙 ∈ 𝑅 ∃ lim
௫→௫
బ
శ
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝐷𝐼𝑆𝐶𝑂𝑁𝑇𝐼𝑁𝑈𝐼𝑇à 𝐸𝐿𝐼𝑀𝐼𝑁𝐴𝐵𝐼𝐿𝐸: ∃ lim
௫→௫
బ
ష
𝑓(𝑥) = 𝑙 = lim
௫→௫
బ
శ
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝐼𝑁𝐹𝐼𝑁𝐼𝑇𝑂: lim
௫→௫
బ
ష
𝑓(𝑥) = ∞ 𝑒 lim
௫→௫
బ
శ
𝑆𝑃𝐸𝐶𝐼𝐸: ∄ lim
௫→௫
బ
ష
𝑓(𝑥) 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 ∄ lim
௫→௫
బ
శ
Punti di non derivabilità
𝑆𝑒 𝑓 è 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑖𝑛 𝑥
, 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑓 è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑖𝑛 𝑥
Funzioni derivabili
ᇱ
ି
ᇱ
ା
ᇱ
ି
ᇱ
ା
lim
௫→௫ బ
ష
= lim
௫→௫ బ
శ
Punti di non derivabilità
ᇱ
ି
ᇱ
ା
𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑢𝑒 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
ᇱ
ି
ᇱ
ା
ᇱ
ି
ᇱ
ା
Regola di De L’Hopital
lim
௫→௫ బ
= lim
௫→௫ బ
ᇱ
ᇱ
Serie di segno variabile
Criteri di convergenza
ஶ
ୀ
ஶ
ୀ
ஶ
ୀ
lim
→ାஶ
ାଵ
ஶ
ୀ
బ
Serie notevoli
Serie geometrica
ஶ
ୀ
Serie armonica generalizzata
ఈ
ஶ
ୀ
Serie armonica generalizzata con logaritmo
ఈ
(log 𝑛)
ఉ
ஶ
ୀ
Serie armonica generalizzata con logaritmo e esponenziale
ఊ
ఈ
(log 𝑛)
ఉ
ஶ
ୀ
Serie telescopica
ାଵ
lim
→ାஶ
ஶ
ୀ
Integrali fondamentali devo trovare la primitiva
ଶ
arcsin 𝑥 + 𝑐
ఈ
ఈାଵ
ଶ
arccos 𝑥 + 𝑐
ln|𝑥| + 𝑐 sinh 𝑥 cosh 𝑥 + 𝑐
ln 𝑎 ∗ 𝑎
௫
௫
௫
௫
ln 𝑎
ଶ
arcsinh 𝑥 + 𝑐
௫
௫
cos
ଶ
= 1 + tan
ଶ
tg 𝑥 + 𝑐
ln 𝑥 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
sen
ଶ
= 1 + cotg
ଶ
−cotg 𝑥 + 𝑐
sin 𝑥 −cos 𝑥 + 𝑐
ଶ
arctg 𝑥 + 𝑐
cos 𝑥 sin 𝑥 + 𝑐
Formule parametriche razionali Integrale
୪୬
మ
௫
௫
sin 𝑥 =
ଶ௧
ଵା௧
మ
୪୬
మ
௫
௫
𝑑𝑥 SOSTITUZIONE
𝑡 = tan
௫
ଶ
ln 𝑥 = 𝑡
sin 𝑥 =
ଵି௧
మ
ଵା௧
మ
ଵ
௫
Media integrale
Funzione pari Funzione dispari
𝑓
( −𝑥
) = 𝑓
( 𝑥
) 𝑓
( −𝑥
) = −𝑓(𝑥)
න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
ି
ି
arctan (𝑝𝑜𝑠𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑜𝑟𝑖) = 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
cos
rimane uguale
Integrali impropri notevoli
ఈ
ఈ
(log 𝑥)
ఉ
ఈ
ఈ
ାஶ
𝛼 > 1 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛼 ≤ 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
ఈ
(log 𝑥)
ఉ
ାஶ
(log 𝑥)
ఉ
ାஶ
ఊ௫
ାஶ
𝛾 > 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 ≤ 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
ఊ௫
ఈ
(log 𝑥)
ఉ
ାஶ
𝛾 > 0 𝑒 ∀ 𝛼, 𝛽 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 < 0 𝑒 ∀ 𝛼, 𝛽 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝛾 = 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒𝑣𝑜𝑙𝑒
Integrali impropri
1° specie
𝐴𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑛 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜.
න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
→ାஶ
ାஶ
2° specie
𝐴𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 è 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛 𝑐𝑢𝑖 𝑠𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎).
න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
ఌ→
శ
ାఌ
3° specie
𝑑𝑥 = lim
ఌ→
శ
𝑑𝑥 + lim
→ାஶ
ାఌ
ାஶ
𝑒
= 𝑘
𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑣𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑣𝑎𝑟𝑒 𝑐
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝑐𝑢𝑖 𝑧 è 𝑢𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑦
ଵ
𝑜 𝑦
ଶ
Equazioni differenziali
1° ordine a variabili separabili
ᇱ
= 𝑔
( 𝑥
) ∗ ℎ
( 𝑦
) 𝑚𝑎 𝑦
ᇱ
=
ௗ௬
ௗ௫
ௗ௬
ௗ௫
= 𝑔
( 𝑥
) ∗ ℎ
( 𝑦
) →
ଵ
(௬)
𝑑𝑥 ∗
ௗ௬
ௗ௫
= 𝑔
( 𝑥
) ∗ ℎ
( 𝑦
) ∗
ଵ
(௬)
𝑑𝑥
ଵ
(௬)
ଵ
(௬)
1° ordine a coefficienti continui
𝑦
ᇱ
(𝑥) + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)
0
0
) = ∫
𝑎(𝑥) 𝑑𝑥
௫
௫
బ
ଵ
𝐴(𝑥
0
)
𝑥
𝑥
𝑥 0
𝐴(𝑥
0
)
2° ordine a coefficienti costanti
𝑦′
ᇱ
(𝑥) + 𝑎𝑦
ᇱ
(𝑥) + 𝑏𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑦(𝑥
) = 𝑦
𝑦′
( 𝑥
) = 𝑦
ଵ
0
𝑦(𝑥
) = 𝑦
𝑦′(𝑥
) = 𝑦
ଵ
(𝑥) + 𝑦
(𝑥)
𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑎 = 𝑦
( 𝑥
)
𝑦
ଶ
∆> 0 → 𝑦
(𝑥) = 𝑐
ଵ
𝑒
௬ భ
௫
ଶ
𝑒
௬ మ
௫
∆= 0 → 𝑦
(𝑥) = 𝑐
ଵ
𝑒
௬
భ
௫
ଶ
𝑒
௬
భ
௫
∆< 0 → 𝑦
(𝑥) = 𝑐
ଵ
𝑒
ఈ௫
cos(𝛽𝑥) + 𝑐
ଶ
𝑒
ఈ௫
sin(𝛽𝑥)
ఈ௫
𝑃𝑛(𝑥) cos(𝛽𝑥) 𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑒
ఈ௫
𝑃𝑛(𝑥) sin(𝛽𝑥)
𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽 → 𝑚 = 𝑚𝑜𝑙𝑡𝑒𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡à
𝑆𝑒 𝑧 è ቐ
ଶ
𝑛𝑜𝑛 è 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑦
ఈ௫
(𝑄𝑛(𝑥) sin(𝛽𝑥) + 𝑆𝑛(𝑥) cos(𝛽𝑥))
ᇱ
ᇱᇱ
ᇱ
1
2
