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Formulario
Formule di base:
Media della popolazione:
𝑖
𝑁
𝑖= 1
Varianza della popolazione:
2
𝑖
2
𝑁
𝑖= 1
Deviazione standard della popolazione:
2
Covarianza della popolazione:
𝑥𝑦
𝑖
𝑥
𝑖
𝑦
𝑁
𝑖= 1
Coefficiente di correlazione lineare della
popolazione:
𝑥
𝑦
Media del campione:
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Varianza del campione:
2
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
Deviazione standard del campione:
2
Covarianza del campione:
𝑥𝑦
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Coefficiente di correlazione lineare del
campione:
𝑥
𝑦
Errore standard media campionaria
(varianza nota):
𝑥̅
Errore standard media campionaria
(varianza non nota):
𝑥̅
Errore standard (proporzione campionaria)
𝑝̂
Disuguaglianza di Chebychev:
almeno [ 1 − ( 1 /𝑘
2
)]%
MEDIA PONDERATA
𝑥̅ =
∑ 𝑤
𝑖
𝑥
𝑖
𝑛
𝑖= 1
∑ 𝑤
𝑖
𝑛
𝑖= 1
=
𝑤
1
𝑥
1
2
𝑥
2
𝑛
𝑥
𝑛
𝑤
1
2
… 𝑤
𝑛
Coefficiente di variazione della popolazione
𝐶𝑉 =
| 𝜇
|
× 100% 𝑐𝑜𝑛 𝜇 ≠ 0
Media e varianza per dati raggruppati
(popolazione)
∑ 𝑓
𝑖
𝑚
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑁
2
∑ 𝑓
𝑖
( 𝑚
𝑖
−𝜇
)
𝑘 2
𝑖= 1
𝑁
Coefficiente di variazione campionario
𝐶𝑉 =
𝑠
| 𝑥̅
|
× 100% 𝑐𝑜𝑛 𝑥̅ ≠ 0
Media e varianza per dati raggruppati
(campione)
∑ 𝑓
𝑖
𝑚
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑛
2
∑ 𝑓
𝑖
(𝑚
𝑖
−𝑥̅ )
𝑘 2
𝑖= 1
𝑛− 1
Retta di regressione
𝑦̂ ≡ 𝑏
0
1
𝑥 ; 𝑏
1
=
𝐶𝑜𝑣 (𝑋,𝑌)
𝑠
𝑥
2
= 𝑟
𝑠 𝑦
𝑠
𝑥
; 𝑏
0
= 𝑦̅ − 𝑏
1
𝑥̅
Regola additiva della probabilità
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Probabilità condizionata
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
; 𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
Regola moltiplicativa delle probabilità
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)
Odds
𝑂𝑑𝑑𝑠 =
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴
̅
)
Overinvolvment ratio
𝑃(𝐴
1
|𝐵
1
)
𝑃(𝐴
1
|𝐵
2
)
Teorema di Bayes
𝑃(𝐸
𝑖
|𝐴) =
𝑃
( 𝐴
| 𝐸
𝑖
) 𝑃(𝐸
𝑖
)
𝑃(𝐴)
=
𝑃
( 𝐴
| 𝐸
𝑖
) 𝑃(𝐸
𝑖
)
𝑃
( 𝐴
| 𝐸
1
) 𝑃
( 𝐸
1
)
( 𝐴
| 𝐸
2
) 𝑃
( 𝐸
2
)
( 𝐴
| 𝐸
𝑘
) 𝑃(𝐸
𝑘
)
Trasformazioni lineari di una variabile aleatoria
𝑌
𝑥
𝑌
2
2
𝑥
2
𝑌
𝑥
Distribuzioni discrete e continue:
Varianza
2
2
2
2
Covarianza
XY X Y x y
Cov(X,Y) E[(X μ )(Y μ )] E(XY) μμ
Distribuzione Binomiale:
𝑥
(𝑛−𝑥)
Distribuzione Ipergeometrica:
×
Distribuzione di Poisson:
−𝜆
𝑥
Distribuzione Uniforme continua:
Funzione di densità di probabilità della distribuzione Normale:
2
−(𝑥−𝜇)
2
2 𝜎
2
Funzione di densità di probabilità della distribuzione Esponenziale:
−𝜆𝑡
Funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale:
−𝜆𝑡
Capitolo 8: Problemi di stima su una singola popolazione
Intervalli di confidenza per la media di una popolazione distribuita normalmente
(varianza nota):
𝛼/ 2
𝛼/ 2
Margine di errore:
𝛼/ 2
Intervalli di confidenza per la media di una popolazione distribuita normalmente
(varianza non nota):
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
Margine di errore:
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
Limite superiore dell’intervallo di
confidenza:
Limite inferiore dell’intervallo di
confidenza:
Intervalli di confidenza per la proporzione (grandi campioni):
𝛼/ 2
𝛼/ 2
Margine di errore:
𝛼/ 2
Limite superiore dell’intervallo di
confidenza:
Limite inferiore dell’intervallo di
confidenza:
Ampiezza:
Intervalli di confidenza per la varianza di una popolazione distribuita normalmente:
Determinazione dell’ampiezza campionaria:
per la media di una popolazione distribuita normalmente (varianza nota):
per la proporzione della popolazione:
Capitolo 10: Verifica di ipotesi su una singola popolazione
Test sulla media di una popolazione
distribuita normalmente (varianza nota):
ipotesi alternativa unilaterale destra.
0
0
oppure 𝐻
0
0
1
0
si rifiuta 𝐻
0
se
0
𝛼
o si rifiuta 𝐻
0
se 𝑥̅ > 𝑥
𝑐
0
𝛼
0
𝑐
∗
Test sulla media di una popolazione
distribuita normalmente (varianza non
nota): ipotesi alternativa unilaterale destra.
0
0
oppure 𝐻
0
0
con 𝐻
1
0
si rifiuta 𝐻
0
se
0
𝑛− 1 ,𝛼
o si rifiuta 𝐻
0
se 𝑥̅ > 𝑥
𝑐
0
𝑛− 1 ,𝛼
0
𝑐
∗
Test sulla media di una popolazione
distribuita normalmente (varianza non
nota): ipotesi alternativa unilaterale
sinistra.
0
0
oppure 𝐻
0
0
con 𝐻
1
0
si rifiuta 𝐻
0
se
0
𝑛− 1 ,𝛼
o si rifiuta 𝐻
0
se 𝑥̅ < 𝑥
𝑐
0
𝑛− 1 ,𝛼
0
𝑐
∗
Test sulla media di una popolazione distribuita normalmente (varianza non nota): ipotesi
alternativa bilaterale.
0
0
con 𝐻
1
0
si rifiuta 𝐻
0
se
0
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
oppure se
0
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
o si rifiuta 𝐻
0
se 𝑥̅ < 𝑥
𝑐
−
0
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
oppure se 𝑥̅ > 𝑥
𝑐
0
𝑛− 1 ,𝛼/ 2
0
𝑐 −
∗
𝑐
∗
Test sulla proporzione della popolazione (grandi campioni): ipotesi alternativa unilaterale
destra.
0
0
oppure 𝐻
0
0
con 𝐻
1
0
si rifiuta 𝐻
0
se
0
0
0
𝛼
o si rifiuta 𝐻
0
se 𝑝̂ > 𝑝
𝑐
0
𝛼
0
0
0
0
0
𝑐
∗
∗
∗
Capitolo 1 1 : Verifica di ipotesi: ulteriori argomenti
Capitolo 12: Regressione lineare semplice
Test sull’assenza di correlazione: ipotesi
alternativa unilaterale destra.
0
: 𝜌 = 0 oppure con 𝐻
1
si rifiuta 𝐻
0
se
2
𝑛− 2 ,𝛼
Test sull’assenza di correlazione: ipotesi
alternativa unilaterale sinistra.
0
: 𝜌 = 0 con 𝐻
1
si rifiuta 𝐻
0
se
2
𝑛− 2 ,𝛼
Test sull’assenza di correlazione: ipotesi alternativa bilaterale.
0
: 𝜌 = 0 con 𝐻
1
si rifiuta 𝐻
0
se
2
𝑛− 2 ,𝛼/ 2
oppure se
2
𝑛− 2 ,𝛼/ 2
Regola pratica per verificare l’assenza di correlazione.
si rifiuta 𝐻
0
se
Stimatori dei minimi quadrati dei coefficienti:
1
𝑦
𝑥
e 𝑏
0
1
Somma dei quadrati totale:
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
Somma dei quadrati della regressione:
1
2
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
Somma dei quadrati degli errori:
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
Analisi della varianza:
Coefficiente di determinazione:
2
Coefficiente di correlazione ed R²:
2
2
Capitolo 13: Test sulla bontà di adattamento e tabelle di contingenza
Test sulla bontà di adattamento: distribuzione della popolazione completamente nota.
0
: le probabilità specificate sono corrette
si rifiuta 𝐻
0
se ∑
𝑖
𝑖
2
𝑖
𝐾− 1 ,𝛼
2
𝐾
𝑖= 1
Test sulla bontà di adattamento: distribuzione della popolazione nota con parametri non noti.
0
: le probabilità specificate sono corrette
si rifiuta 𝐻
0
se ∑
𝑖
𝑖
2
𝑖
𝐾−𝑚− 1 ,𝛼
2
𝐾
𝑖= 1
Indice di asimmetria:
𝑖
𝑛 3
𝑖= 1
3
Indice di curtosi:
𝑖
4
𝑛
𝑖= 1
4
Test di Jarque-Bera per la normalità.
𝐽𝐵 = 𝑛 [
2
2
]
Test di indipendenza per tabelle di contingenza.
0
: non ci sono associazioni tra le due caratteristiche della popolazione
si rifiuta 𝐻
0
se ∑ ∑
𝑖𝑗
𝑖𝑗
2
𝑖𝑗
(𝑟− 1 )(𝑐− 1 ),𝛼
2
𝑐
𝑗= 1
r
i= 1
Valori significativi della statistica di Jarque-Bera:
Ampiezza
campionaria
n
Significatività
Significatività
Funzione di ripartizione della distribuzione Normale standard (1).
- 0,01 0,5040 0,39 0,6517 0,77 0,7794 1,15 0,8749 1, 53 0,9370 1,91 0, 𝒛 𝑭(𝒁) 𝒛 𝑭(𝒁) 𝒛 𝑭(𝒁) 𝒛 𝑭(𝒁) 𝒛 𝑭(𝒁) 𝒛 𝑭(𝒁)
- 0,02 0,5080 0,40 0,6554 0,78 0,7823 1,16 0,8770 1,54 0,9382 1,92 0,
- 0,03 0,5120 0,41 0,6591 0,79 0,7852 1,17 0,8790 1,55 0,9394 1,93 0,
- 0,04 0,5160 0,42 0,6628 0,80 0,7881 1,18 0,8810 1,56 0,9406 1,94 0,
- 0,05 0,5199 0, 43 0,6664 0,81 0,7910 1,19 0,8830 1,57 0,9418 1,95 0,
- 0,06 0,5239 0,44 0,6700 0,82 0,7939 1,20 0,8849 1,58 0,9429 1,96 0,
- 0,07 0,5279 0,45 0,6736 0,83 0,7967 1,21 0,8869 1,59 0,9441 1,97 0,
- 0,08 0,5319 0,46 0,6772 0,84 0,7995 1,22 0,8888 1,6 0 0,9452 1,98 0,
- 0,09 0,5359 0,47 0,6808 0,85 0,8023 1,23 0,8907 1,61 0,9463 1,99 0,
- 0,10 0,5398 0,48 0,6844 0,86 0,8051 1,24 0,8925 1,62 0,9474 2,00 0,
- 0,11 0,5438 0,49 0,6879 0,87 0,8078 1,25 0,8944 1,63 0,9484 2,01 0,
- 0,12 0,5478 0,5 0 0,6915 0,88 0,8106 1,26 0,8962 1,64 0,9495 2,02 0,
- 0,13 0,5517 0,51 0,6950 0,89 0,8133 1,27 0,8980 1,65 0,9505 2,03 0,
- 0,14 0,5557 0,52 0,6985 0,90 0,8159 1,28 0,8997 1,66 0,9515 2,04 0,
- 0,15 0,5596 0,53 0,7019 0,91 0,8186 1,29 0,9015 1,67 0,9525 2,05 0,
- 0,16 0,5636 0,54 0,7054 0,92 0,8212 1,30 0,9032 1,68 0,9535 2,06 0,
- 0,17 0,5675 0,55 0,7088 0,93 0,8238 1,31 0,9049 1,69 0,9545 2,07 0,
- 0,18 0,5714 0,56 0,7123 0,94 0,8264 1,32 0,9066 1,70 0,9554 2,08 0,
- 0,19 0,5753 0,57 0,7157 0,95 0,8289 1,33 0,9082 1,71 0,9564 2,09 0,
- 0,20 0,5793 0,58 0,7190 0,96 0,8315 1,34 0,9099 1,72 0,9573 2,10 0,
- 0,21 0,5832 0,59 0,7224 0,97 0,8340 1,35 0,9115 1,73 0,9582 2,11 0,
- 0,22 0,5871 0,60 0,7257 0,98 0,8365 1,36 0,9131 1,74 0,9591 2,12 0,
- 0,23 0,5910 0,61 0,7291 0,99 0,8389 1,37 0,9147 1,75 0,9599 2,13 0,
- 0,24 0,5948 0,62 0,7324 1,00 0,8413 1,38 0,9162 1,76 0,9608 2,14 0,
- 0,25 0,5987 0,63 0,7357 1,01 0,8438 1,39 0,9177 1,77 0,9616 2,15 0,
- 0,26 0,6026 0,64 0,7389 1,02 0,8461 1,40 0,9192 1,78 0,9625 2,16 0,
- 0,27 0,6064 0,65 0,7422 1,03 0,8485 1,41 0,9207 1,79 0,9633 2,17 0,
- 0,28 0,6103 0,66 0,7454 1,04 0,8508 1,42 0,9222 1,80 0,9641 2,18 0,
- 0,29 0,6141 0,67 0,7486 1,05 0,8531 1,43 0,9236 1,81 0 ,9649 2,19 0,
- 0,30 0,6179 0,68 0,7517 1,06 0,8554 1,44 0,9251 1,82 0,9656 2,20 0,
- 0,31 0,6217 0,69 0,7549 1,07 0,8577 1,45 0,9265 1,83 0,9664 2,21 0,
- 0,32 0,6255 0,70 0,7580 1,08 0,8599 1,46 0,9279 1,84 0,9671 2,22 0,
- 0,33 0,6293 0,71 0 ,7611 1,09 0,8621 1,47 0,9292 1,85 0,9678 2,23 0,
- 0,34 0,6331 0,72 0,7642 1,10 0,8643 1,48 0,9306 1,86 0,9686 2,24 0,
- 0,35 0,6368 0,73 0,7673 1,11 0,8665 1,49 0,9319 1,87 0,9693 2,25 0,
- 0,36 0,6406 0,74 0,7704 1,12 0,8686 1,50 0,9332 1,88 0, 9699 2,26 0,
- 0,37 0,6443 0,75 0,7734 1,13 0,8708 1,51 0,9345 1,89 0,9706 2,27 0,
- 0,38 0,6480 0,76 0,7764 1,14 0,8729 1,52 0,9357 1,90 0,9713 2,28 0,
