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Formule
Richiami di statistica:
valore atteso:
E ( Y )=
i= 1
k
y
i
∙ p
i
E ( G)= p
E ( X +Y ) =E ( X ) + E ( Y )
E ( a+ bX+ cY )=a+b μ
X
Y
E ( X ∙Y )=σ
XY
X
μ
Y
E
Y ∨ X=x
i
i= 1
k
y
i
∙ Pr (Y = y
i
∨¿ X=x
i
E(Y
2
)=σ
Y
2
Y
2
Per:
y=a+bX → E ( y )=a+b ∙ E(x)
Varianza:
σ
Y
2
i= 1
k
( y
i
−μ
Y
2
∙ p
i
σ
Y
2
=p ( 1 −p )
var ( X+Y )=var ( X ) +var ( Y ) + cov (X ,Y )
var ( X−Y ) =var ( X ) + var ( Y )−cov ( X ,Y )
var
aX+ bY
=a
2
∙ var
X
2
∙ var
Y
var
Y ∨X =x
i
i= 1
k
[ y
i
−E
Y ∨X =x
i
]
2
∙ Pr (Y = y
i
∨¿ X=x
i
Per: y=a+bX → var
y
=a+b
2
∙ var ( x)
Scarto quadratico medio:
σ ( X )= √
var ( X )
Covarianza:
cov ( X , Y )=σ
XY
i= 1
k
j = 1
l
( x
i
−μ
x
)( y
i
−μ
y
)∙ ¿ Pr (Y = y
i
, X =x
i
cov [
( aX +bY + cV ) ,Y ]
=b ∙ cov ( X ,Y ) + c ∙ cov ( V ,Y )
Correlazione:
corr ( X , Y ) =
cov ( X , Y )
√
var ( X )+ var(Y )
− 1 ≤ ρ
XY
Asimmetria:
A=
E ( x
i
−μ
X
3
σ
X
3
Curtosi:
C=
E(x
i
−μ
X
4
σ
X
4
3 leptocurtica∨¿ 3 bradicurdica
Richiami di probabilità:
probabilità normali:
Y N ( 4,9) Pr ( Y < 5 )=Pr
(
z <
5 −μ
y
σ
Y
)
=Pr
(
z <
)
=Pr
(
z<
)
Y N ( 1,4 ) Pr ( 2 <Y < 5 )=Pr
2 −μ
y
σ
Y
< z <
5 −μ
y
σ
Y
=Pr
z <
=Pr
< z< 2
=Pr ( z< 2 )−Pr
z <
Y N ( 5,16 ) Pr (Y > 2 )= 1 −Pr ( z< 2 )= 1 −Pr
z <
se siusa il teorema dellimite centrale per la prob .normale :σ
´ Y
σ
Y
2
N
Probabilità marginale:
Pr
Y = y
i
i= 1
f
Pr (Y = y
i
∨¿ X=x
i
Probabilità condizionata:
Pr
Y = y
i
∨ X=x
i
Pr (Y = y
i
, X=x
i
Pr ( X=x
i
Test delle ipotesi con variabili binarie:
^
p=
N
1
N
SE ( ^p )=
√
^
var ( ^p)=
^
p( 1 −
^
p)
N
t=
^p− p
H 0
SE( ^p)
N (0,1)
^
p ±1.96 ∙ SE (
^
p)
p−value ( t=1.5)= prob ( z ←1.5) =prob ( z> 1.5)=0.
Test delle ipotesi con variabili continue:
SE
Y
^
σ ´
Y
^
σ
Y
√
N
Deviazione standard:
^
σ Y
i= 1
N
(Y
i
Y )
2
N − 1
TSS
N − 1
SER=
SSR
N − 2
SSR=(SER)
2
∙ (N − 2 )
TSS=
SSR
( 1 −R
2
R
2
SSR
TSS
Stima modello lineare:
t=
^
β−β
1 ∨H
0
SE ( ^p )
N
per t>1.96 o t ←1.96 si rifiuta H
0
β
1
effetto su
Y
i
di una variazione in
X
1
, tenendo
X
2
costante
β
2
effetto su
Y
i
di una variazione in
X
2
, tenendo
X
1
costante
Interpretazione del test t: poiché t >1.96(o t ←1.96)rifiutiamo l’ipotesi nulla che il vero valore del
parametro sia uguale a zero. Ciò significa che il coefficiente
β
1
, al livello di significatività del 5%, è
significativamente diverso da zero, e pertanto la variabile
X
1
è rilevante per spiegare la variabile
dipendente
Y
i
Interpretazione p-value:
con un test t=-4.38 abbiamo una probabilità (quasi nulla o) del x% di commettere l’errore del 1°
tipo se rifiutiamo l’ipotesi nulla.
Interpretazione intervalli di fiducia:
con un livello di fiducia del 95% ci aspettiamo che quando X varia di 1, Y varia per una ammontare
compreso tra 0.000 e 0.000. Se l’intervallo è molto ampio c’è molta incertezza.
Interpretazione del test F:
Per verificare strumenti deboli con un singolo regressore endogeno incluso, si verifica la statistica
F del primo stadio
se F > 10, gli strumenti sono forti
se F < 10, gli strumenti sono deboli
interpretazione del test J:
Il test J rifiuta l’ipotesi nulla che entrambi gli strumenti siano congiuntamente esogeni (ovvero non
correlati con
u
i
), perciò, queste, potrebbero essere correlate con
u
i
