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Geometria Euclidea: Concetti Primitivi, Assiomi e Teoremi, Schemi e mappe concettuali di Discipline geometriche

Discipline geometriche

raccolta di tutte le formule di geometria

Tipologia: Schemi e mappe concettuali

2021/2022

Caricato il 18/09/2022

scuolafacile2022.
scuolafacile2022. 🇮🇹

4.3

(6)

26 documenti

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bg1
FORMULARIO GEOMETRIA
Geometria
La branca della matematica che studia le figure geometriche, cioè i modelli matematici degli oggetti
fisici
Geometria Euclidea
La geometria euclidea è un ramo della geometria che si basa su alcuni concetti di base (concetti
primitivi) e sulla formulazione di alcuni postulati per poi dedurre proposizioni più complesse,
chiamate teoremi.
Elementi primitivi
Elementi di base con cui si vanno a formare le figure geometriche non definiti
1. Il punto, indicato con le lettere maiuscole dell’alfabeto
2. La retta, indicata con le lettere minuscole dell’alfabeto
3. Il piano, indicato con le lettere minuscole dell’alfabeto greco
4. Lo spazio
Concetti primitivi
Concetti di base che non necessitano alcuna spiegazione
1. L’appartenere
2. L’ordine tra i punti
Assiomi o postulati
Affermazioni evidentemente vere per immediata evidenza
Teoremi
Affermazioni non ovvie che vengono espresse mediante una proposizione, detta enunciato, e
dimostrate mediante un ragionamento logico, detto dimostrazione
Assiomi o postulati di appartenenza
1. Primo assioma di appartenenza
= due punti distinti appartengono ad una retta e a una soltanto.
Viceversa: ad ogni retta appartengono almeno due punti distinti
Due punti che appartengono alla stessa retta si dicono ALLINEATI
2. Secondo assioma di appartenenza
= considerando tre punti NON allineati, essi appartengono ad uno ed un solo piano
Viceversa: ad ogni piano appartengono almeno tre punti non allineati
3. Terzo assioma di appartenenza
= se due punti distinti di una retta appartengono ad un piano, allora tutta la retta
appartiene al piano
Se due rette appartengono allo stesso piano, esse sono dette COMPLANARI
4. Quarto assioma di appartenenza
= esiste un punto non complanare con altri tre. Quattro punti non complanari
appartengono al medesimo insieme, detto spazio
Conseguenze (definizioni)
pf3
pf4
pf5

Anteprima parziale del testo

Scarica Geometria Euclidea: Concetti Primitivi, Assiomi e Teoremi e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Discipline geometriche solo su Docsity!

FORMULARIO GEOMETRIA

 Geometria La branca della matematica che studia le figure geometriche, cioè i modelli matematici degli oggetti fisici  Geometria Euclidea La geometria euclidea è un ramo della geometria che si basa su alcuni concetti di base (concetti primitivi) e sulla formulazione di alcuni postulati per poi dedurre proposizioni più complesse, chiamate teoremi.  Elementi primitivi Elementi di base con cui si vanno a formare le figure geometriche non definiti

  1. Il punto, indicato con le lettere maiuscole dell’alfabeto
  2. La retta, indicata con le lettere minuscole dell’alfabeto
  3. Il piano, indicato con le lettere minuscole dell’alfabeto greco
  4. Lo spazio  Concetti primitivi Concetti di base che non necessitano alcuna spiegazione
  5. L’appartenere
  6. L’ordine tra i punti  Assiomi o postulati Affermazioni evidentemente vere per immediata evidenza  Teoremi Affermazioni non ovvie che vengono espresse mediante una proposizione, detta enunciato, e dimostrate mediante un ragionamento logico, detto dimostrazione  Assiomi o postulati di appartenenza
  7. Primo assioma di appartenenza = due punti distinti appartengono ad una retta e a una soltanto. Viceversa: ad ogni retta appartengono almeno due punti distinti  Due punti che appartengono alla stessa retta si dicono ALLINEATI
  8. Secondo assioma di appartenenza = considerando tre punti NON allineati, essi appartengono ad uno ed un solo piano Viceversa: ad ogni piano appartengono almeno tre punti non allineati
  9. Terzo assioma di appartenenza = se due punti distinti di una retta appartengono ad un piano, allora tutta la retta appartiene al piano  Se due rette appartengono allo stesso piano, esse sono dette COMPLANARI
  10. Quarto assioma di appartenenza = esiste un punto non complanare con altri tre. Quattro punti non complanari appartengono al medesimo insieme, detto spazio  Conseguenze (definizioni)
  • Le rette o hanno un solo punto in comune= rette INCIDENTI tutti i punti in comune= rette COINCIDENTI
  • Quando due rette sono COPLANARI ma non hanno nessun punto in comune sono dette PARALLELE
  • Quando due rette NON sono COMPLANARI, quindi non hanno nessun punto in comune sono dette SGHEMBE
  • RETTA= serie illimitata di punti senza un primo punto (inizio) e un ultimo punto (fine)  Assiomi o postulati d’ordine
  1. Se un punto B sta tra un punto A e un punto C, allora esso deve
  • Appartenere alla retta AC
  • Stare anche tra il punto C e il punto A
  1. Dati due punti A e B, si può sempre trovare un terzo punto C tale che B stia tra A e C
  2. Dati tre punti su una retta, uno e uno solo di essi sta tra i rimanenti due  Figura geometrica Qualsiasi sottoinsieme del piano  Semiretta Data una retta e un suo punto, si chiama semiretta la figura costituita dal punto e da una delle due parti in cui la retta è divisa dal punto stesso
  • Punto d’ORIGINE= punto che divide le due semirette
  • Punti INTERNI alla semiretta= tutti i punti che non sono il punto d’origine
  • OPPOSTE= le due semirette divise dal punto d’origine
  • SOSTEGNO= retta su cui le due semirette giacciono  Segmento Dati due punti A e B su una retta, si chiama segmento AB l’insieme costituito dai due punti A e B e da tutti i punti tra loro compresi
  • Punti ESTREMI= i punti A e B
  • Punti INTERNI al SEGMENTO= tutti i punti diversi da A e B compresi tra loro
  • Segmento NULLO= quando i punti A e B coincidono  Segmenti consecutivi e adiacenti Segmenti consecutivi= due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo Segmenti adiacenti= due segmenti che sono consecutivi e appartengono alla stessa retta  Poligonale Figura formata da un insieme ordinato di segmenti, tali che a. Ciascun segmento e il successivo siano CONSECUTIVI e NON ADIACENTI b. Ciascun estremo dei segmenti sia in comune al massimo a di due essi
  • Lati della poligonale= segmenti
  • Vertici della poligonale= estremi  Tipi di poligonale
  1. Poligonale chiusa= quando il primo e l’ultimo estremo di una poligonale coincidono
  2. Poligonale aperta≠ poligonale chiusa

Una figura è congruente ad un’altra se e solo se, quando esse sono sovrapposte, COINCIDONO perfettamente. Per essere sovrapposte possono essere usati soltanto MOVIMENTI RIGIDI. MOVIMENTO RIGIDO= movimento che non altera le distanze tra i punti della figura  Assiomi o postulati di congruenza

  1. Primo assioma/postulato di congruenza Tra segmenti e tra angoli si può stabilire una relazione di congruenza che gode di tre proprietà:
    • Riflessiva= ogni angolo/segmento è congruente a sé stesso
    • Simmetrica= se AB≅ CD allora CD ≅ AB oppure ^ aOb ≅ ^ cOd allora (^) cOd ^ ≅ aOb ^
    • Transitiva= se AB≅ CD e CD ≅ EF allora AB≅ EF oppure se (^) aOb ^ ≅ ^ cOd e

^ cOd ≅ eOf ^ allora ^ aOb ≅ ^ eOf

  1. Secondo assioma/postulato di congruenza= assioma di INVERTIBILITA’ Segmenti o angoli sono congruenti a sé stessi anche con il verso cambiato

AB≅ BA e ^ ABC ≅ ^ CBA

 Definizioni (non sono assiomi) a. Si definisce SOMMA DI DUE O PIU’ SEGMENTI ADIACENTI il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni

AD ≡ AB + BC + CD

b. Si definisce SOMMA DI DUE O PIU’ ANGOLI CONSECUTIVI l’angolo che li contiene e che ha per lati i lati non comuni

^ ad ≡ ab ^ + bc ^+ cd ^

  1. Terzo assioma/postulato di congruenza= assioma di ADDIZIONABILITA’ Somme di segmenti adiacenti o di angoli consecutivi ordinatamente congruenti, sono congruenti

AD ≅ A ' D' e aOd ^ ≅ ^ a ' O ' d '

  1. Quarto assioma/postulato di congruenza= assioma del TRASPORTO
    • SEGMENTI: Su ogni retta, prefissati un’origine O e un verso, esiste uno e un solo punto P che con O formi un segmento OP congruente a un segmento dato AB
    • ANGOLI: In ogni fascio di raggi, prefissati un’origine O e un verso, esiste uno e un solo

raggio p che con una O formi un angolo op ^ congruente ad un angolo ^ ab dato.

  1. Quinto assioma/postulato di congruenza= PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo compreso rispettivamente congruenti.  Definizioni
  • Poligono regolare= poligono con tutti i lati e angoli congruenti
  • Punto medio= il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti
  • Bisettrice= la bisettrice di un angolo è la semiretta, avente origine nel vertice dell’angolo, che lo divide in due angoli congruenti
  • Angolo RETTO= ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto viene diviso dalla bisettrice
  • Angolo ACUTO= ogni angolo minore di un angolo retto
  • Angolo OTTUSO= ogni angolo maggiore di un angolo retto ma minore di un angolo piatto
  • Somme di angoli
  1. Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI
  2. Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI
  3. Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

 Dimostrazione Ragionamento fatto partendo dall’ipotesi e arrivando alla tesi usando passaggi logici IPOTESI= dati TESI= domanda, ciò che si vuole dimostrare  Triangolo Figura geometrica delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata di 3 lati, avente 3 angoli. I lati sono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto, gli angoli con le lettere minuscole dell’alfabeto greco.  Classificazione

  • Rispetto ai lati:
    1. Triangolo SCALENO= nessuno dei lati è congruente
    2. Triangolo ISOSCELE= due lati su tre sono congruenti
    3. Triangolo EQUILATERO= tutti e tre i lati sono congruenti
  • Rispetto agli angoli:
    1. Triangolo ACUTANGOLO= tutti e tre gli angoli sono acuti, ossia minori di un angolo retto
    2. Triangolo RETTANGOLO= uno dei tre angoli è retto
    3. Triangolo OTTUSANGOLO= uno dei tre angoli è ottuso, ossia maggiore di un angolo retto ma minore di un angolo piatto  Segmenti notevoli nei triangoli
  • MEDIANA= segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto
  • BISETTRICE= segmento che parte dal vertice di un angolo e lo divide in due angoli congruenti
  • ALTEZZA= segmento che congiunge un vertice con il lato opposto all’angolo, e tale da essere perpendicolare al lato stesso
  • ASSE= retta passante per il punto medio del segmento e ad esso perpendicolare  2° e 3° criterio di congruenza dei triangoli
  • 2° criterio di congruenza dei triangoli: 2 triangoli che hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso (un lato e due angoli adesso adiacenti) sono congruenti
  • 3° criterio di congruenza dei triangoli: 2 triangoli che hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati allora sono congruenti  Baricentro, incentro, ortocentro, circocentro
  1. Baricentro= punto di intersezione delle mediane di un triangolo
  2. Incentro= punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo
  3. Ortocentro= punto di intersezione delle altezze di un triangolo
  4. Circocentro= punto di intersezione delle assi di un triangolo  Dimostrazione per assurdo In una dimostrazione per assurdo neghiamo la tesi continuando a far valere l'ipotesi per giungere anche a una negazione dell'ipotesi.