Geometria Differenziale, Dispense di Geometria Lineare

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Universit`a degli Studi di Padova

Introduzione alla

GEOMETRIA ALGEBRICA

Francesco Bottacin

A.A. 2010/

Indice

Capitolo 1

Variet`a

1.1 Variet`a affini

Sia k un campo qualunque, che consideriamo fissato. Per il momento non facciamo alcuna ipotesi su k, in particolare non richiediamo che k sia algebricamente chiuso.

Definizione 1.1.1. Lo spazio affine n-dimensionale sul campo k `e

Ank = {(a 1 ,... , an) | ai ∈ k, 1 ≤ i ≤ n}.

Qualora sia chiaro dal contesto chi `e il campo k, scriveremo semplicemente An^ per indicare Ank.

Osservazione 1.1.2. Naturalmente `e Ank ∼= kn. Useremo tuttavia la nota- zione kn^ per indicare l’insieme kn^ dotato della struttura naturale di spazio vettoriale, mentre con il simbolo Ank indicheremo l’insieme (di punti) kn.

Dato il campo k, indicheremo con A = k[x 1 ,... , xn] l’anello dei polinomi su k nelle indeterminate x 1 ,... , xn. Notiamo che un polinomio f ∈ A definisce una funzione (che indicheremo con il simbolo f˜ )

f˜ : Ank → k, (a 1 ,... , an) 7 → f (a 1 ,... , an).

Se k e un campo algebricamente chiuso un polinomio f ∈ Ae univocamente determinato^1 dai valori assunti dalla corrispondente funzione f˜ , cio`e, per ogni f, g ∈ A, si ha

f = g ⇔ f˜ = ˜g ⇔ f (a 1 ,... , an) = g(a 1 ,... , an), ∀(a 1 ,... , an) ∈ Ank. (^1) In generale non `e vero che la funzione f˜ associata a un polinomio f lo determina in

modo unico. Consideriamo, ad esempio, la retta affine A^1 k, con k = Z/ 3 Z (il quale non `e algebricamente chiuso). Tale retta affine ha solo tre punti, 0, 1 e 2. I due polinomi f (x) = x^2 + 1 e g(x) = x^4 + 1 sono diversi, tuttavia si ha f (a) = g(a) per ogni a ∈ A^1 k, il che significa che le funzioni f˜ e ˜g sono uguali.

2 Capitolo 1. Variet`a

In tal caso potremo quindi identificare un polinomio f ∈ A con la corri- spondente funzione f˜ e usare lo stesso simbolo per entrambi.

Osservazione 1.1.3. In geometria (e non solo) e del tutto naturale considera- re come oggetto di studio, non tanto uno “spazio” (di un qualche tipo), ma una coppia costituita da uno “spazio” e dalle “funzioni” definite su di esso. Naturalmente la scelta di quali “funzioni” considerare dipende da quale tipo di “spazio” vogliamo studiare e in quale contesto. A titolo di esempio, se il nostro “spazio” Xe uno spazio topologico, sara naturale considerare le funzioni continue definite su X (a valori in R, oppure in C). In geometria differenziale, X sara una varieta differenziabile (reale); in questo caso sara naturale scegliere come “funzioni” su X le funzioni da X in R di classe C∞. Se invece X e una varieta analitica complessa, la scelta naturale delle “funzioni” su X sara data dalle funzioni analitiche da X a C. Nell’am- bito della geometria algebrica, le funzioni naturali da considerare saranno quelle di natura “algebrica,” cioe costruibili usando le operazioni definite su un campo (somme, prodotti, quozienti,... ). Le funzioni che si ottengono in questo modo sono essenzialmente dei polinomi, o dei rapporti di poli- nomi, del tipo f (x 1 ,... , xn)/g(x 1 ,... , xn), dove naturalmente si deve avere g(a 1 ,... , an) 6 = 0 per ogni punto (a 1 ,... , an) dell’insieme di definizione della funzione in questione.

1.1.1 Insiemi algebrici

L’oggetto di studio classico della geometria algebrica `e l’insieme delle solu- zioni di un sistema di equazioni polinomiali, del tipo

  

 

f 1 (x 1 ,... , xn) = 0 f 2 (x 1 ,... , xn) = 0

... fr(x 1 ,... , xn) = 0,

dove f 1 ,... , fr ∈ A. Se tutti i polinomi fi hanno grado 1, si ottiene un sistema di equazioni lineari la cui soluzione non presenta alcun problema (lo studio di tali siste- mi rientra piu nell’Algebra Lineare che nella Geometria). La situazione si complica notevolmente nel caso di polinomi di grado ≥ 2. Consideriamo, ad esempio, il caso dei polinomi in due indeterminate. In- tuitivamente noi vorremmo pensare al luogo delle soluzioni di un’equazione del tipo f (x, y) = 0 come a una “curva” nel piano affine A^2 k. Se ke il campo reale, infatti, `e del tutto naturale chiamare “curva” l’insieme dei punti del piano che soddisfano equazioni come y − x^2 = 0, oppure y^2 − x^3 = 0, oppure

4 Capitolo 1. Variet`a

Chiameremo insiemi algebrici di Ank gli insiemi del tipo Z(a), al variare di a fra gli ideali di A.

Osservazione 1.1.5. Si potrebbe pensare di generalizzare ulteriormente la definizione di insieme algebrico considerando l’insieme degli zeri di un sot- toinsieme qualunque T di A:

Z(T ) = {(a 1 ,... , an) ∈ Ank | f (a 1 ,... , an) = 0, ∀f ∈ T }.

Tuttavia e immediato verificare che, se indichiamo con I(T ) l’ideale generato da T (il piu piccolo ideale di A che contiene T ), si ha Z(T ) = Z(I(T )). Non si troverebbe quindi nulla di nuovo considerando insiemi degli zeri di sottoinsiemi qualunque di A piuttosto che insiemi degli zeri di ideali.

Nel passare da insiemi degli zeri di un numero finito di polinomi a insiemi degli zeri di ideali potrebbe, a prima vista, sembrare che la situazione si sia notevolmente complicata: abbiamo sostituito un numero finito di equazioni con un numero infinito di esse! L’algebra pero ci viene in aiuto: in effetti, gli anelli di polinomi del tipo k[x 1 ,... , xn] sono noetheriani, quindi ogni loro idealee finitamente generato. Per ogni ideale a di A esistono dunque dei polinomi f 1 ,... , fr ∈ A tali che a = (f 1 ,... , fr). Di conseguenza, si ha:

Z(a) = Z(f 1 ,... , fr) = {(a 1 ,... , an) ∈ Ank | fi(a 1 ,... , an) = 0, 1 ≤ i ≤ r}.

In altre parole, ogni insieme algebrico puo sempre essere descritto da un numero finito di equazioni. Vediamo ora alcune proprieta degli insiemi algebrici.

Proposizione 1.1.6. (i) L’unione di due insiemi algebrici e un insieme algebrico (di conseguenza, anche l’unione di una famiglia finita di insiemi algebricie un insieme algebrico).

(ii) L’intersezione di una famiglia qualsiasi di insiemi algebrici `e un in- sieme algebrico.

(iii) L’insieme vuoto e tutto lo spazio Ank sono degli insiemi algebrici.

Dimostrazione. (i) Se X 1 = Z(a 1 ) e X 2 = Z(a 2 ), allora X 1 ∪ X 2 = Z(a 1 a 2 ), ove a 1 a 2 denota l’ideale generato da tutti i prodotti di elementi di a 1 per elementi di a 2. (ii) Se Xα = Z(aα) `e una famiglia di insiemi algebrici, si ha ⋂

α

Xα = Z

α

aα

ove ricordiamo che la somma degli ideali aα e l’ideale generato dall’unione degli ideali aα, cioe e il piu piccolo ideale che contiene tutti gli aα. (iii) ∅ = Z(1) e Ank = Z(0).

1.1. Variet`a affini 5

Notiamo che, in base a questo risultato, gli insiemi algebrici soddisfano le stesse propriet`a che definiscono gli insiemi chiusi di una topologia. Possiamo quindi usarli per definire una topologia sullo spazio affine Ank.

Definizione 1.1.7. La topologia di Zariski su Ank e la topologia i cui insiemi chiusi sono i sottoinsiemi algebrici di Ank. Se X ⊂ Ank , la topologia di Zariski su Xe la topologia indotta dalla topologia di Zariski di Ank.

Esempio 1.1.8. Sia k un campo algebricamente chiuso e consideriamo la retta affine A^1 k. Il corrispondente anello dei polinomi e A = k[x], chee un dominio di integrita a ideali principali. Quindi ogni ideale a di Ae generato da un polinomio f (x) ∈ A. Poich´e k `e algebricamente chiuso, ogni polinomio f (x) di grado r si scompone come prodotto di r fattori lineari

f (x) = c (x − a 1 ) (x − a 2 ) · · · (x − ar),

con c, a 1 ,... , ar ∈ k, e si ha quindi

Z(a) = Z(f ) = {a 1 , a 2 ,... , ar}.

Si conclude cosı che i sottoinsiemi chiusi di A^1 k sono, oltre all’insieme vuoto e a tutto lo spazio A^1 k, solo gli insiemi finiti di punti. I sottoinsiemi aper- ti, essendo i complementari dei chiusi, sono pertanto i complementari dei sottoinsiemi finiti di A^1 k (oltre naturalmente all’insieme vuoto e a tutto lo spazio). Dato che ke algebricamente chiuso, esso contiene infiniti elementi^2 e, di conseguenza, tutti i sottoinsiemi aperti di A^1 k (tranne il sottoinsieme vuoto) hanno infiniti elementi. In particolare, due qualsiasi aperti non- vuoti hanno sempre intersezione diversa dal vuoto e ogni aperto non-vuoto e denso. Questa topologia none quindi una topologia di Hausdorff.

Esempio 1.1.9. Nell’esempio precedente abbiamo analizzato la topologia di Zariski di A^1 k. Utilizzando questo risultato, e la descrizione della topologia di Zariski di A^2 k, e facile dimostrare che la topologia di Zariski di A^2 k = A^1 k × A^1 k none la topologia prodotto delle topologie di Zariski di A^1 k. Ad esempio, il sottoinsieme di A^2 k definito dall’equazione y − x^2 = 0 e chiuso per la topologia di Zariski di A^2 k ma, se il campo ke infinito, non `e chiuso per la topologia prodotto delle topologie di Zariski di A^1 k.

Osservazione 1.1.10. Se k e il campo complesso C, nello spazio affine An C c’e, oltre alla topologia di Zariski, anche la classica topologia complessa, la quale e molto piu fine di quella di Zariski. La topologia di Zariski, tuttavia, ha il vantaggio di poter essere definita per qualunque campo di base (anche di caratteristica positiva).

(^2) Chi non lo sa, provi a dimostrarlo per esercizio.

1.1. Variet`a affini 7

Definizione 1.1.11. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme non vuoto Y di X e irriducibile se none unione di due sottoinsiemi propri, ciascuno dei quali e chiuso in Y. Un sottoinsieme di Xe detto riducibile se non e irriducibile. Ogni sottoinsieme non vuoto Y di X puo quindi essere espresso come unione di sottoinsiemi irriducibili

Y =

Yi,

i quali sono detti le componenti irriducibili di Y.

Esempio 1.1.12. Consideriamo la retta affine A^1 k su un campo algebricamen- te chiuso k (con la topologia di Zariski). Dato che ogni sottoinsieme chiuso proprio e finito, mentre A^1 ke infinito (perch´e k e algebricamente chiuso), si conclude che A^1 ke irriducibile.

Si puo facilmente dimostrare che se Ye un sottoinsieme irriducibile di uno spazio topologico X, anche la sua chiusura Y `e irriducibile (farlo per esercizio). Data l’importanza degli insiemi algebrici irriducibili, diamo la seguente definizione:

Definizione 1.1.13. Una varieta affine sul campo ke un sottoinsieme chiuso irriducibile di Ank , dotato della topologia di Zariski. Un sottoinsieme aperto di una varieta affinee detto variet`a quasi-affine.

Vale il seguente risultato:

Proposizione 1.1.14. Ogni insieme algebrico X ⊆ Ank puo essere espres- so in modo unico come unione finita di varieta (le quali sono chiamate le componenti irriducibili di X), nessuna delle quali ne contiene un’altra.

La dimostrazione di questo risultato verra ora data in un ambito un po’ piu generale. Premettiamo la seguente definizione:

Definizione 1.1.15. Uno spazio topologico X e detto noetheriano se sod- disfa la condizione catenaria discendente per i sottoinsiemi chiusi, cioe se per ogni sequenza Y 1 ⊇ Y 2 ⊇ · · · di sottoinsiemi chiusi, esiste un intero r tale che Yr = Yr+1 = · · ·.

La definizione di spazio topologico noetheriano corrisponde alla nozione di anello noetheriano. Questo fatto `e bene illustrato dall’esempio seguente:

Esempio 1.1.16. Lo spazio affine Ank e uno spazio topologico noetheriano. Infatti, data una catena discendente Y 1 ⊇ Y 2 ⊇ · · · di sottoinsiemi chiusi, si ha una catena ascendente di ideali I(Y 1 ) ⊆ I(Y 2 ) ⊆ · · · nell’anello dei polinomi A = k[x 1 ,... , xn] (per la definizione degli ideali I(Y ) si veda la Definizione 1.1.18) e, dato che l’anello Ae noetheriano, questa catena ascendente di ideali e stazionaria. Dato che, per ogni i, Yi = Z(I(Yi)), da cio segue che anche la catena di sottoinsiemi chiusi Yi `e stazionaria.

8 Capitolo 1. Variet`a

Dimostriamo ora il seguente risultato, da cui segue immediatamente la Proposizione 1.1.14.

Proposizione 1.1.17. Sia X uno spazio topologico noetheriano. Ogni sot- toinsieme chiuso non vuoto Y di X pu`o essere espresso come unione finita Y = Y 1 ∪ · · · ∪ Yr di sottoinsiemi chiusi irriducibili Yi ⊂ X. Se si richiede che Yi 6 ⊆ Yj per ogni i 6 = j, allora gli Yi sono univocamente determinati; essi sono chiamati le componenti irriducibili di Y.

Dimostrazione. Iniziamo col dimostrare l’esistenza di una tale decomposi- zione di Y. Indichiamo con S l’insieme di tutti i sottoinsiemi chiusi non vuoti di X che non possono essere scritti come unione finita di sottoinsie- mi chiusi irriducibili. Naturalmente, vogliamo dimostrare che S = ∅. Se S e diverso dall’insieme vuoto, allora, dato che Xe noetheriano, esso deve contenere un elemento minimale, che indicheremo con Y (altrimenti si otter- rebbe una catena discendente non stazionaria di sottoinsiemi chiusi di X). Questo insieme Y non puo essere irriducibile, per costruzione di S, quindi possiamo scrivere Y = Y ′^ ∪ Y ′′, dove Y ′^ e Y ′′^ sono sottoinsiemi chiusi propri di Y. In base alla minimalita di Y , gli insiemi Y ′^ e Y ′′^ non appartengono a S e quindi possono essere espressi come unione finita di sottoinsiemi chiusi irriducibili di X. Ma allora lo stesso vale per Y , il che contraddice il fatto che Y ∈ S. Si conclude pertanto che ogni sottoinsieme chiuso Y di X pu`o essere scritto come unione Y = Y 1 ∪· · ·∪Yr di sottoinsiemi chiusi irriducibili. Eliminando alcuni di questi insiemi, se necessario, possiamo supporre che Yi 6 ⊆ Yj , per i 6 = j. Supponiamo ora che esista un’altra rappresentazione Y = Y 1 ′ ∪ · · · ∪ Y (^) s′ come sopra. Allora si ha Y 1 ′ ⊆ Y = Y 1 ∪ · · · ∪ Yr, da cui segue che

Y 1 ′ =

i

(Y 1 ′ ∩ Yi).

Ma, dato che Y 1 ′ `e irriducibile, si deve avere Y 1 ′ ⊆ Yi, per qualche i, e possiamo anche supporre che sia i = 1 (a meno di un riordinamento degli indici). In modo del tutto analogo, si deve avere Y 1 ⊆ Y (^) j′ , per qualche j. Allora si ha anche Y 1 ′ ⊆ Y (^) j′ , da cui si deduce che j = 1 e che Y 1 = Y 1 ′. Sia

ora Z = Y r Y 1. Allora Z = Y 2 ∪ · · · ∪ Yr, e anche Z = Y 2 ′ ∪ · · · ∪ Y (^) s′. In questo modo, procedendo per induzione su r, si dimostra l’unicit`a degli Yi.

Riprendendo il discorso generale, abbiamo visto che ad ogni ideale a (o, piu in generale, ad ogni sottoinsieme T ) dell’anello dei polinomi A = k[x 1 ,... , xn]e possibile associare un particolare tipo di sottoinsieme di Ank chiamato insieme algebrico, Z(a) (o Z(T )). Cerchiamo ora di costruire una sorta di “inversa” di questa corrispon- denza, cio`e di associare a un sottoinsieme Y di Ank un ideale di A.

10 Capitolo 1. Variet`a

Osservazione 1.1.22. Il Teorema degli zeri di Hilbert vale solo se il campo k e algebricamente chiuso. Questae un’altra delle ragioni per cui, clas- sicamente, si suppone sempre che il campo di base k sia algebricamente chiuso.

Dimostriamo ora il risultato seguente:

Proposizione 1.1.23. Per ogni sottoinsieme Y di Ank si ha Z(I(Y )) = Y , cioe Z(I(Y ))e il pi`u piccolo sottoinsieme algebrico di Ank che contiene Y.

Dimostrazione. Si ha certamente Y ⊆ Z(I(Y )), e quindi Y ⊆ Z(I(Y )), dato che Z(I(Y )) e un chiuso (per definizione) e contiene Y. Sia ora W un chiuso contenente Y. Poich´e We chiuso, esiste un ideale a tale che W = Z(a). Da W = Z(a) ⊇ Y si deduce che I(Z(a)) = I(W ) ⊆ I(Y ). Poich´e a ⊆ I(Z(a)), si ha a ⊆ I(Y ), da cui segue che W = Z(a) ⊇ Z(I(Y )). Abbiamo cosı dimostrato che ogni chiuso che contiene Y contiene anche Z(I(Y )), cioe che Z(I(Y )) = Y.

In base a quanto visto, possiamo affermare che la corrispondenza tra ideali di A = k[x 1 ,... , xn] e sottoinsiemi algebrici di Ank non e biunivoca, ma lo diventa se ci restringiamo a considerare ideali radicali (cioe ideali che coincidono con il proprio radicale). Si ottiene cos`ı una biiezione

{ ideali radicali di A } ↔ { sottoinsiemi algebrici di Ank }.

Data l’importanza della nozione geometrica di irriducibilita, vediamo ora quale il suo corrispondente algebrico.

Proposizione 1.1.24. Un insieme algebrico Y ⊆ Ank e irriducibile se e solo se il suo ideale I(Y )e primo.

Dimostrazione. Ricordiamo che un ideale p di un anello A si dice ideale primo se p 6 = A e se, dati f, g ∈ A con f g ∈ p, si ha necessariamente f ∈ p oppure g ∈ p. Sia dunque Y ⊆ Ank un insieme algebrico irriducibile e I(Y ) il suo ideale. Se f g ∈ I(Y ), allora Y ⊆ Z(f g) = Z(f ) ∪ Z(g). Da ci`o segue che

Y =

Y ∩ Z(f )

Y ∩ Z(g)

ma essendo Y irriducibile, si deve avere Y = Y ∩Z(f ) oppure Y = Y ∩Z(g). Nel primo caso si ha Y ⊆ Z(f ), mentre nel secondo si ha Y ⊆ Z(g). Cio significa che f ∈ I(Y ), oppure g ∈ I(Y ), e quindi I(Y )e un ideale primo. Viceversa, sia p un ideale primo e poniamo Y = Z(p). Supponiamo che Y = Y 1 ∪ Y 2 , con Y 1 e Y 2 sottoinsiemi algebrici di Ank. Allora I(Y ) = I(Y 1 ) ∩ I(Y 2 ), e quindi p = I(Y 1 ) ∩ I(Y 2 ), dato che un ideale primo coincide con il

1.1. Variet`a affini 11

proprio radicale. Sempre dall’ipotesi che p e primo, segue che p = I(Y 1 ), oppure p = I(Y 2 ),^4 il che equivale a dire che Y = Y 1 oppure Y = Y 2. Ye dunque irriducibile.

Esempio 1.1.25. Dal risultato precedente si deduce immediatamente che lo spazio affine Ank e irriducibile. Infatti il suo idealee I(Ank ) = (0), il quale `e un ideale primo.

Possiamo riassumere quanto dimostrato finora nel seguente enunciato:

Teorema 1.1.26. Sia k un campo algebricamente chiuso. Esiste una corri- spondenza biunivoca, che rovescia le inclusioni, tra i sottoinsiemi algebrici di Ank e gli ideali radicali di A = k[x 1 ,... , xn], data da Y 7 → I(Y ) e da a 7 → Z(a). Un insieme algebrico e irriducibile se e solo se il suo idealee primo.

Osservazione 1.1.27. Usando la corrispondenza appena descritta tra sot- toinsiemi algebrici di Ank e ideali radicali di A = k[x 1 ,... , xn], l’analogo algebrico della decomposizione di un insieme algebrico come unione finita di insiemi algebrici irriducibili e l’espressione di un ideale radicale come in- tersezione di un numero finito di ideali primi. Questo risultato rientra nella cosiddetta “Teoria della decomposizione primaria degli ideali” (vedi [AM, Cap. 4]). In sostanza si tratta di un tentativo di generalizzare al caso di anelli commutativi con unita qualunque il classico risultato che stabilisce che ogni intero si puo esprimere, in modo essenzialmente unico, come prodot- to di potenze di numeri primi distinti (l’analogiae data dalla corrispon- denza “ideale” ↔ “numero intero”, “ideale primo” ↔ “numero primo”, “ideale primario” ↔ “potenza di un numero primo”).

1.1.3 L’anello delle coordinate affini

Abbiamo visto che, nel caso dello spazio affine Ank , gli elementi dell’anello dei polinomi A = k[x 1 ,... , xn] definiscono delle funzioni su Ank a valori nel campo di base k. Sia ora X ⊆ Ank un insieme algebrico. Le funzioni definite su Ank defi- niscono, per restrizione, delle analoghe funzioni su X. Ci possiamo allora chiedere quando due polinomi f, g ∈ A definiscano la stessa funzione su X. Naturalmente questo succedera quando f (a 1 ,... , an) − g(a 1 ,... , an) = 0, per ogni (a 1 ,... , an) ∈ X. Ma cio equivale a dire che f − g ∈ I(X). Si vede cos`ı che gli elementi dell’anello quoziente A/I(X) definiscono delle funzioni su X, a valori in k, ottenute per restrizione da Ank a X.

(^4) Infatti, se fosse p 6 = I(Y 1 ) e p 6 = I(Y 2 ), esisterebbero f 1 ∈ I(Y 1 ) r p e f 2 ∈ I(Y 2 ) r p.

In questo caso si avrebbe f 1 f 2 ∈ I(Y 1 ) ∩ I(Y 2 ) = p e, dato che p `e primo, si dovrebbe avere necessariamente f 1 ∈ p oppure f 2 ∈ p, contro l’ipotesi.

1.1. Variet`a affini 13

X e uno spazio topologico e {Ui}i∈Ie un ricoprimento aperto di X, una funzione su X puo anche essere costruita fornendo una famiglia di funzioni fi, definite su ciascuno degli aperti Ui, e tali che fi|Ui∩Uj = fj |Ui∩Uj , per ogni i, j ∈ I (se tutte le fi sono continue anche la funzione f ottenuta “incollan- do” le fi risultera continua). Il vantaggio di questo approccio locale e che la descrizione delle funzioni locali sugli aperti Ui potrebbe essere piu semplice della descrizione delle funzioni definite globalmente su tutto lo spazio X.

Esempio 1.1.31. Un esempio classico proviene dalla geometria differenziale. Se X e una varieta differenziabile reale e f : X → R e una funzione, come si puo stabilire se f puo essere chiamata “di classe C∞,” oppure no? L’essere “di classe C∞”e chiaramente una proprieta locale. D’altra parte la varieta X e construita “incollando” tra loro degli aperti di Rn, piu precisamente identificando dei sottoinsiemi aperti U dello spazio topologico X con degli aperti V = φ(U ) di Rn^ attraverso delle “carte” φ : X ⊇ U → φ(U ) = V ⊆ Rn. Localmente su un aperto U di X, la funzione f : X → R puo quindi essere identificata con la funzione f |U ◦ φ−^1 : V → R, detta l’espressione di f nella carta φ, e per queste espressioni locali la proprieta di essere di classe C∞^ e ben definita, dato che ora queste funzioni sono definite su dei sottoinsiemi aperti di Rn. Potremo quindi dire che una funzione f : X → Re di classe C∞^ se tutte le sue espressioni locali sono di classe C∞.

Sia dunque X ⊆ Ank un insieme algebrico e sia U un sottoinsieme aperto di X.

Definizione 1.1.32. Una funzione f : U → k e detta regolare in un punto P ∈ U se esistono un intorno aperto V di P in U e due polinomi g, h ∈ A, con h 6 = 0 in tutto l’aperto V , tali che f |V = g/h. La funzione fe detta regolare in U se essa `e regolare in ogni punto di U.

Per ogni aperto U ⊆ X, indicheremo con OX (U ) (o anche semplicemente con O(U )) l’insieme delle funzioni regolari in U. Dato che somme e prodotti di funzioni regolari sono ancora funzioni regolari, l’insieme OX (U ) e in realta un anello, anzi, una k-algebra.

Osservazione 1.1.33. Il simbolo OX puo essere pensato come una mappa che ad ogni aperto U di un insieme algebrico X associa un particolare anello, l’anello OX (U ) delle funzioni regolari in U. Inoltre, per ogni inclusione V ⊆ U di aperti di X, c’e una mappa naturale

ρU V : OX (U ) → OX (V )

che ad ogni funzione f ∈ OX (U ) associa la sua restrizione a V , f |V ∈ OX (V ). Queste mappe di restrizione godono di alcune ovvie propriet`a: si ha infatti ρU U = idU per ogni aperto U e ρV W ◦ ρU V = ρU W , per ogni inclusione

14 Capitolo 1. Variet`a

di aperti W ⊆ V ⊆ U. Inoltre le mappe ρU V sono degli omomorfismi di anelli. Questo tipo di struttura e un esempio di fascio; per la precisione diremo che OXe un fascio di anelli su X. E facile trovare altri esempi naturali di fasci di anelli (di funzioni): seXe uno spazio topologico, ad ogni aperto U di X possiamo associare l’a- nello C(U ) delle funzioni continue f : U → R, con le mappe di restrizione naturali. L’associazione U 7 → C(U )

e il fascio delle funzioni continue su X. Se Xe una varieta differenziabile reale il fascio delle funzioni di classe C∞^ su Xe definito associando ad ogni aperto U ⊆ X l’anello C∞(U ) delle funzioni f : U → R di classe C∞. Data una varieta affine X, disponiamo ora di due anelli di funzioni su X; l’anello delle coordinate affini A(X) (i.e., funzioni su X definite in modo “globale”) e l’anello delle funzioni regolari OX (X) (i.e., funzioni su X definite in modo “locale”). E naturale chiedersi che relazioni ci siano tra questi due anelli. In effetti, essi coincidono: per ogni varieta affine X ⊆ Ank , si ha A(X) ∼= OX (X). Questo risultato verra dimostrato in seguito. Per il momento osserviamo solo che c’`e una mappa naturale

k[x 1 ,... , xn] → OX (X)

che invia un polinomio f nella funzione regolare su X

X 3 (a 1 ,... , an) 7 → f (a 1 ,... , an).

Dato che il nucleo di questa mappa e l’ideale I(X), si ottiene un omomor- fismo iniettivo di anelli A(X) ↪→ OX (X). La parte piu difficile consiste nel dimostrare che questa mappa e anche suriettiva (cio verr`a dimostrato nel Teorema 1.4.8).

1.1.5 Dimensione di una variet`a affine

Vediamo ora come si possa definire il concetto geometrico di dimensione di una varieta affine e quale sia il suo analogo algebrico. Qualunque sia la nostra definizione di “dimensione,” certamente vorremmo che la dimensione di un punto fosse 0, che la dimensione di una retta fosse 1 e, piu in generale, che la dimensione di Ank fosse n. Possiamo osservare che uno spazio come Ank , di dimensione n, contiene dei sottospazi di dimensione n − 1 (An k −^1 ⊂ Ank ), che a loro volta contengono dei sottospazi di dimensione n − 2, e cos`ı via fino ad arrivare a dei sottospazi di dimensione 0. Se richiediamo che tutti

16 Capitolo 1. Variet`a

ove Zi = Z(ai), per ogni i = 0,... , n. L’idea di considerare delle catene di inclusioni proprie di ideali primi puo naturalmente essere applicata ad anelli commutativi (con unita) qualunque, e non solo agli anelli di coordinate delle varieta affini. Si arriva cosı, in modo del tutto naturale, alle seguenti definizioni:

Definizione 1.1.37. Sia A un anello commutativo con unita e sia p un ideale primo di A. L’altezza di p, indicata con ht(p),e l’estremo superiore dell’insieme di tutti gli interi n per i quali esiste una catena di inclusioni di ideali primi distinti di A

p 0 ⊂ p 1 ⊂ · · · ⊂ pn− 1 ⊂ pn = p.

Definizione 1.1.38. La dimensione (di Krull) di un anello A (commutativo con unita)e l’estremo superiore delle altezze di tutti gli ideali primi di A.

Naturalmente, nel caso in cui A = A(X) e l’anello delle coordinate di una varieta affine X, le definizioni sono state date in modo che i due concetti di dimensione coincidano.

Proposizione 1.1.39. Se X `e un insieme algebrico affine, la dimensione di X coincide con la dimensione del suo anello delle coordinate affini A(X).

Dimostrazione. Sia X ⊆ Ank un insieme algebrico affine e sia I(X) ⊂ A il suo ideale. Sia ha dunque A(X) = A/I(X), e i sottoinsiemi chiusi irriducibili di X corrispondono agli ideali primi di A contenenti I(X), che a loro volta corrispondono agli ideali primi di A(X). Di conseguenza la dimensione di X in quanto spazio topologico coincide con la massima lunghezza di una catena di inclusioni di ideali primi distinti di A(X), che `e esattamente la dimensione di Krull di A(X).

Vediamo ora alcune propriet`a della nozione algebrica di dimensione di un anello.

Teorema 1.1.40. Sia k un campo e sia B una k-algebra integra e finita- mente generata. Allora:

(i) la dimensione di B coincide con il grado di trascendenza su k del campo delle frazioni di B;

(ii) per ogni ideale primo p di B, si ha

ht(p) + dim(B/p) = dim B.

1.1. Variet`a affini 17

Per la dimostrazione di questo teorema si veda [Ma, Cap. 5] oppure, nel caso k sia algebricamente chiuso, [AM, Cap. 11]. Usando questi risultati algebrici, possiamo dimostrare la seguente pro- posizione:

Proposizione 1.1.41. Si ha dim Ank = n, per ogni campo k algebricamente chiuso.

Dimostrazione. L’anello delle coordinate affini di Ank `e A = k[x 1 ,... , xn]. Si ha dunque dim Ank = dim k[x 1 ,... , xn].

In base al punto (i) del teorema precedente, la dimensione di k[x 1 ,... , xn] e uguale al grado di trascendenza su k del campo k(x 1 ,... , xn). Ma quest’ul- timoe un’estensione puramente trascendente di k, di grado di trascendenza n, e quindi dim Ank = n.

Per quanto riguarda la dimensione delle variet`a quasi-affini, si ha:

Proposizione 1.1.42. Se Y e una varieta quasi-affine, allora dim Y = dim Y , dove Y `e la chiusura di Y (per la topologia di Zariski).

Dimostrazione. Se Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ · · · ⊂ Zn e una catena di inclusioni di sot- toinsiemi chiusi irriducibili distinti di Y , allora Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ · · · ⊂ Zne una catena di inclusioni di sottoinsiemi chiusi irriducibili distinti di Y (perch´e la chiusura di un sottoinsieme irriducibile e ancora irriducibile). Cio dimo- stra che dim Y ≤ dim Y. In particolare, Y deve avere dimensione finita, quindi possiamo trovare una catena massimale di tali inclusioni, sia essa Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ · · · ⊂ Zn, con n = dim Y. In tal caso, Z 0 deve necessaria- mente essere un punto P , e anche la catena P = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ · · · ⊂ Zn sara massimale (perch´e ogni sottoinsieme aperto non-vuoto di uno spazio topologico irriducibilee irriducibile e denso). Il punto P corrisponde a un ideale massimale m dell’anello delle coordinate affini A(Y ), mentre gli Zi corrispondono a degli ideali primi contenuti in m; da cio deriva che ht(m) = n. D’altra parte, dato che Pe un punto di uno spazio affine, si ha A(Y )/m ∼= k. Dalla formula al punto (ii) del Teorema 1.1.40, si ricava quindi n = dim A(Y ) = dim Y. Questo dimostra che dim Y = dim Y.

Passiamo ora ad analizzare le relazioni che intercorrono tra la dimensio- ne di una varieta X ⊆ Ank e il numero di equazioni necessarie a definire la varieta stessa. Intuitivamente ci aspettiamo che ogni equazione aggiuntiva faccia abbassare di 1 la dimensione, purch´e questa equazione sia “indipen- dente” dalle equazioni precedenti. In realta le cose sono un po’ piu com- plicate e, ancora una volta, l’algebra ci viene in aiuto. Richiamiamo, senza dimostrazione, i seguenti risultati: