Matematica Finanziaria: Formulario e Esercizi, Schemi e mappe concettuali di Matematica Finanziaria

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Formulario

Formulario matematica finanziaria

Regime di interesse semplice

M = C (1+ it)

C = M / (1 + it)

i = (M - C) / Ct

t = (M - C) / Ci

i = mim

im = i/m

Regime di interesse composta

M = C (1 + t)

C = M / (1 + i)

i = (M/C) - 1

t = ln(M /C) / ln(1 + i)

t

t

1/t

i = (1 + i ) - 1

i = (1 + i) - 1 m

m

1/m

m

Regime di interesse anticipato

M = C/(1 - dt)

C = M (1 - dt)

d = (M - C)/Mt

t = (M - C)/Mi

d = mdm

dm = d/m

Tassi temporalmente convertibili

RIS i = ji

RIC i = (1 + i )

RIA d = jd

(j)

(j) jT

(j)

M = C

(1 - it)

i = 1 -

C

M

M =

C

(1 +i)

i =

M - C

M + C(t-1)

Attualizzazione

Attualizzazione

i

1 + i

Fattore di montante

f(0) = 1

f’(t) > 0

Condizioni

Tasso di interesse unitario

i(1) = f(1) - 1

us

aß

x

&

t

jßh

Prestiti divisi (obbligazioni)

1. Titoli senza cedola a capitalizzazione integrale (BoT, Zero Coupon)

TRI periodale

TRI annuale

r = VN - P

P

VN

P

360

s - t

r =

• 1

2. Titoli con cedole fisse (BTP, T-Bonds)

TRI

r =

C

P

VN = P

VN > P

VN < P

Alla pari

Sopra la pari

Sotto la pari

TRI (corso secco)

r =

C

P

Cedola

C = VNj j = tasso cedolare

Cedola e TRI nel caso di frequenza m

VNj

m

C =

r =

mC

P

VNj

r =

6C

P

TRTP netto

TRI netto

C

P

TRTP = +

= vita residua

TRI =

C (1 - )

P

= quota fiscale

secco

Cedola lorda

C = C (1 - )

TRTP lordo

VN - P

P

TRTP =

TRI semestale

TRI =

C (1 - )

P

semestrale

netto

TRI =

annuo

netto

semestrale

netto

(1 + TRI ) - 1

VN - P

P

GPCC =

TRI lordo

TRI =

C

P

Ad esempio se m=

(frequenza bimestrale)

C =

VN - P

P

a

8

o

o

B

W

z

O

D

?

o

W

?

}

a

ao

E

?

W

y

7

:

E O

O

340 õ

?

Rateo

= data scadenza - data inizio

1. Calcolo della time tuo maturity

Vita residua /

Time to maturity

A al giorno x=

x / rata precedente

rata successiva / rata precedente

C

2. Calcolo del rateo

P

tel quel

P = P + A

tel quel secco

Attenzione

/ dal giorno x al giorno y

non si conta 1gg 1 mese

Rateo di interesse

A =

t periodo che intercorre

tra lo stacco di due cedole

R =

TRES

Ex-post

Ex-post

V

P

Finn

• 1 VFinn = rate attualizzate + VN

Se le cedole

vengono tassate e

lasciate sul conto

corrente

Se le cedole

vengono investite

in un piano di

intestimento

(1 + i) - 1

i

Tot cedole

C

Tot cedole C(1 - )

t - t

t

ž

}

w

• a

If ?

t 0

qß

C D

1. SPS tassi semplici
   2. SPS tassi composti

i (0, k) =s

1 VN

k P

Titoli di mercato

i (0, k) =c

VN

P

1 k

3. SPS tassi logaritmici

(0, k) = ln(1 + i (0, k)) c

4. Tassi semplici for ward impliciti
   5. Tassi composti forward impliciti
5. Tassi logaritmici for ward impliciti

j (S,T) =

c

j (S,T) =

T - S

1 + i (T)T

1 + i (S)S

c

c

s

s

s

(S,T) =

(1 + i (T))

(1 + i (S))

1/T-S

(T)T - (S)S

T - S

T

S

ws Ws

wo

wy

Curva dei rendimenti

Struttura per scadenza dei rendimenti senza cedola

V(t ) = B(t )/VN

i(t ) = V(t ) - 1

n

n n

n

-1/tn

Arbitraggio

Strategia di investimento che all’istante iniziale ha un costo

nullo e all’istante finale ha un valore positivo. La strategia

consiste nel comprare il meno caro e vendere il più caro

Struttura per scadenza dei rendimenti con cedola

V(t ) = B(t )/VN

i(t ) = V(t ) - 1

n

n n

n

-1/tn

B(t ) = c (1 + r)

n

-tk

Curva dei rendimenti

Si risolvono separatamente k

equazioni polinomiali

VN v = B

cv + (c + VN)v = B

…

cv + cv + … + (c + VN)v = B

1 1

2 2

2

2

2

k k k

k

k

v = (1 + r)

-t

Curva dei tassi

Si risolve tramite un sistema

di k equazioni in k incognite

Sistema di Bootstrap

c 1 v 1 = B 1

c2,1v 1 + c2,2v 2 = B 2

ck,1v 1 + … + ck,kvk = Bk

Esempio

Titolo A 96

Titolo B 950

t = 0

Vendere 10 bond A

Acquistare 1 bond B

Abbiamo -

t = 2

Comprare 10 bond A

Vendere 1 bond B

Costo nullo

In questo modo abbiamo guadagnato 10 euro senza rischi

now

Valore attuale del portafoglio

V = c (1 + y) k

-tk

1. Duration

k k

c t (1 + r)

D =

V

-tk

2. Duration modificata

D = D(1 + y)

M

Duration

C = C(1 + y)

M

2. Convexity modificata
3. Covexity

-tk

C =

V

c t (t + 1)(1 + y) k k k

Convexity

Approssimazione alla sensibilità

Al primo ordine

Al secondo ordine

V(y + y) = V(y)[1 - D ( y)]

M

M

V(y + y) = V(y)[1 - D ( y) + 1/2 C ( y)]

M

Portafogli immunizzati

w

. W

.

AOA assenza di opportunità di arbitraggio

F (T) = S /ZCB (T)

ZCB (T) = P /VN

t 0 t t t

!! K è lo

strike

Payoff

1. Call option

Se S > K il detentore esercita l’opzione

e K - S è il prezzo dell’opzione

Se S < K il detentore non esercita l’opzione

e 0 è il guadagno

t

t

t

!! Payoff/valore a scadenza

max [S - K; 0] = (S - K) t t

Opzioni, future e contratti derivati

2. Pull option

Se S < K il detentore esercita l’opzione

e K - S è il prezzo dell’opzione

Se S > K il detentore non esercita l’opzione

e 0 è il guadagno

t

t

t

!! Payoff/valore a scadenza

max [K - S ; 0] = (K - S ) t t

(S ) = max [S - K; 0] t t

C

(S ) = max [K - S ; 0] t t

C

C(0, T)

K

(S ; (S ))

t t

C

S > K + C(0, T)

t

P(0, T)

K

(S ; (S ))

t t

P

S > K - C(0, T)

t

t

1

l

1

Costruzione portafoglio

Caso ZCB

Duration = Vita residua

D = w D + w D 1 1

1

1

1

1

TOT

1

1

2 2

2

V

2 2

2

2

V

w =

P

P + P

2

1

2

1

2

2 2

w =

P

P + P

e

1

1

1

1

2 2

P + P = P

P D + P D

1 1 2 2

P + P

= D

Vengono dati

nel testo

!! Se D > sia di D sia di D

Allora non si può creare

un portafoglio

1 2 V

Caso CB

1

1

1

1

TOT

1

1

2

V

2 2

2

2

w =

P

P + P

2

1

2

1

2

2 2

w =

P

P + P

e

1

1

1

1

2 2

P + P = P

P D + P D

1 1 2 2

P + P

= D

Vengono dati

nel testo

P = c(1 + TIR) + … + (VN + c)(1 + TIR) = 0

-1 - n

1, 2

k k c t (1 + r)

D =

P

-tk

1, 2

t

s

I

I

II

I

I

I