Meccanica Quantistica: Un'Introduzione Completa, Formulari di Fisica

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FORMULARIO

DI

MECCANICA QUANTISTICA

Roberto Pesce

26 gennaio 2004

Indice

• I Introduzione
• 1 Fenomenologia
  • 1.1 Corpo nero
  • 1.2 Effetto fotoelettrico
  • 1.3 Dualismo corpuscolo-onda
  • 1.4 Effetto Compton
  • 1.5 Spettro degli atomi
  • 1.6 Atomo di Rutherford
  • 1.7 Atomo di Bohr
  • 1.8 Principio di indeterminazione
• 2 Meccanica Analitica
  • 2.1 Calcolo delle variazioni
  • 2.2 Equazioni di Lagrange
  • 2.3 Equazioni di Hamilton
  • 2.4 Parentesi di Poisson
  • 2.5 Trasformazioni canoniche
  • 2.6 Trasformazioni canoniche infinitesime
  • 2.7 Equazione di Hamilton-Jacobi
• 3 Matrici e operatori
  • 3.1 Matrici
  • 3.2 Operazioni di coniugazione
  • 3.3 Sistemi lineari
  • 3.4 Inversa di una matrice
  • 3.5 Equazione secolare
  • 3.6 Traccia di una matrice
  • 3.7 Funzioni di matrici
  • 3.8 Aggiunto di un operatore
  • 3.9 Operatori hermitiani e antihermitiani
  • 3.10 Operatori unitari
  • 3.11 Trasformata di Fourier
  • 3.12 Delta di Dirac
• INDICE
  • 3.13 Commutatori
• 4 Elettromagnetismo
  • 4.1 Equazioni di Maxwell
  • 4.2 Potenziali
  • 4.3 Gauge di Coulomb
  • 4.4 Onde elettromagnetiche
  • 4.5 Polarizzazione
  • 4.6 Vettore di Poynting
  • 4.7 Interferenza e diffrazione
  • 4.8 Ottica geometrica
• II Funzioni speciali
• 5 Polinomi di Hermite
  • 5.1 Definizione
  • 5.2 Equazione differenziale
  • 5.3 Funzione generatrice
  • 5.4 Formule ricorsive
  • 5.5 Ortonormalit`a
  • 5.6 Primi polinomi di Hermite
  • 5.7 Autofunzioni dell’oscillatore armonico
• 6 Polinomi di Legendre
  • 6.1 Definizione
  • 6.2 Funzioni associate di Legendre
  • 6.3 Equazione differenziale
  • 6.4 Funzioni generatrici
  • 6.5 Relazioni ricorsive
  • 6.6 Ortonormalit`a
  • 6.7 Primi polinomi di Legendre
• 7 Armoniche sferiche
  • 7.1 Definizione
  • 7.2 Coniugazione complessa
  • 7.3 Parit`a
  • 7.4 Relazione di ricorrenza
  • 7.5 Ortonormalit`a
  • 7.6 Chiusura
  • 7.7 Prime armoniche sferiche
  • 7.8 Relazioni con il momento angolare
  • 7.9 Armoniche sferiche e coordinate cartesiane
  • 7.10 Armoniche sferiche su due direzioni
• INDICE
  • 7.11 Addizione delle armoniche sferiche
• 8 Funzioni sferiche di Bessel
  • 8.1 Definizioni
  • 8.2 Andamenti asintotici
  • 8.3 Prime funzioni sferiche di Bessel
• 9 Polinomi di Laguerre
  • 9.1 Definizione
  • 9.2 Polinomi generalizzati di Laguerre
  • 9.3 Equazione differenziale
  • 9.4 Ortonormalit`a
  • 9.5 Primi polinomi di Laguerre
• III Formalismo
• 10 Cenni al formalismo della Meccanica Quantistica
  • 10.1 Rappresentazione di uno stato
  • 10.2 Enti che esprimono stati quantistici
  • 10.3 Trasformazioni
  • 10.4 Operatore associato ad un’osservabile
  • 10.5 Propriet`a importanti
  • 10.6 Notazione di Dirac
  • 10.7 Varianze di due osservabili
  • 10.8 Osservabili trasformate
  • 10.9 Parentesi di Poisson quantistiche
• 11 Traslazioni
  • 11.1 Commutatore [X,P]
  • 11.2 Rappresentazione posizione
  • 11.3 Traslazioni e quantit`a di moto
  • 11.4 Autofunzioni della quantit`a di moto
• 12 Momento angolare
  • 12.1 Rappresentazione posizione
  • 12.2 Relazioni caratteristiche
  • 12.3 Spettro J~^2 e Jz
  • 12.4 Rappresentazione Jz
  • 12.5 Commutazione con operatori
  • 12.6 Coefficienti di Clebsch-Gordan
  • 12.7 Disuguaglianza triangolare
  • 12.8 Regola di superselezione
• INDICE
• 13 Spin
  • 13.1 Matrici di Pauli
  • 13.2 Relazioni utili
  • 13.3 Spin
  • 13.4 Spin
  • 13.5 Singoletto e tripletto
  • 13.6 Stati simmetrici ed antisimmetrici
• 14 Matrici di rotazione
  • 14.1 Rotazione di α, β, γ
  • 14.2 Matrici notevoli
  • 14.3 Trasformazione per rotazioni
  • 14.4 Stati con momento angolare orbitale definito
• 15 Operatori tensoriali sferici
  • 15.1 Definizione
  • 15.2 Commutatori
  • 15.3 Esempi notevoli
  • 15.4 Teorema di Wigner-Eckart
  • 15.5 Elementi di matrice di operatori vettoriali
• 16 Riflessioni e parit`a
  • 16.1 Operatore di parit`a
  • 16.2 Operatori pari e dispari
  • 16.3 Regole di selezione
• 17 Particelle identiche
  • 17.1 Operatore di scambio
  • 17.2 Particelle indipendenti
  • 17.3 Principio di Pauli
• 18 Evoluzione temporale
  • 18.1 Generalit`a
  • 18.2 Descrizioni di Heisenberg e di Schr¨odinger
  • 18.3 Evoluzione dei valori medi
  • 18.4 Costanti del moto
  • 18.5 Descrizione intermedia
  • 18.6 Indeterminazione tempo-energia
  • 18.7 Inversione temporale
• 19 Operatore statistico
  • 19.1 Definizione e propriet`a
  • 19.2 Evoluzione degli stati misti
  • 19.3 Matrice densit`a in 2-D
  • 19.4 Operatore statistico per sistemi composti
• INDICE
• IV Applicazioni
• 20 Meccanica ondulatoria
  • 20.1 Equazione di Schr¨odinger
  • 20.2 Pacchetto d’onde
  • 20.3 Onde di De Broglie libere
  • 20.4 Particella libera in una dimensione
  • 20.5 Particella libera in tre dimensioni
  • 20.6 Operatori in tre dimensioni
  • 20.7 Potenziale centrale
  • 20.8 Equazione angolare
  • 20.9 Equazione radiale
• 21 Potenziali costanti a tratti
  • 21.1 Gradino di potenziale
  • 21.2 Barriera di potenziale
  • 21.3 Buca di potenziale
  • 21.4 Buca infinita
  • 21.5 Casi generali
• 22 Oscillatore armonico
  • 22.1 Autofunzioni dell’oscillatore armonico
  • 22.2 Livelli energetici
  • 22.3 Trasformazione di coordinate
  • 22.4 Operatori di creazione e di distruzione
  • 22.5 Numero di occupazione
  • 22.6 Effetto degli operatori sugli autostati
  • 22.7 Stato coerente
  • 22.8 Oscillatore tridimensionale
• 23 Atomi idrogenoidi
  • 23.1 Livelli energetici
  • 23.2 Funzioni d’onda
• 24 Perturbazioni
  • 24.1 Livello non degenere
  • 24.2 Livello degenere
  • 24.3 Metodo variazionale
• 25 Cenni di fisica atomica e molecolare
  • 25.1 Approssimazione di campo centrale
  • 25.2 Interazione degli elettroni
  • 25.3 Interazione spin-orbita
  • 25.4 Atomo in un campo magnetico uniforme
  • 25.5 Approssimazione di Born-Oppenheimer
• INDICE
  • 25.6 Problema a nuclei fissi per una molecola biatomica
  • 25.7 Rotazioni e vibrazioni delle molecole biatomiche
• 26 Campo elettromagnetico
  • 26.1 Gauge in Meccanica Quantistica
  • 26.2 Effetto Aharonov-Bohm
  • 26.3 Campo elettromagnetico libero
  • 26.4 Sistema di cariche
• 27 Probabilit`a di transizione
  • 27.1 Probabilit`a al prim’ordine
  • 27.2 Problema dei due stati
  • 27.3 Transizioni atomiche indotte da un’onda elettromagnetica
  • 27.4 Transizioni verso il continuo
  • 27.5 Decadimento spontaneo
  • 27.6 Emissione stimolata
  • 27.7 Approssimazione di dipolo elettrico
  • 27.8 Transizioni agli ordini di multipolarit`a superiori
• 28 Scattering
  • 28.1 Concetti introduttivi
  • 28.2 Descrizione quantistica
  • 28.3 Equazione integrale
  • 28.4 Approssimazione di Born
  • 28.5 Metodo delle fasi
  • 28.6 Scattering di risonanza

Parte I

Introduzione

CAPITOLO 1. FENOMENOLOGIA 9

Serie ¯νmax ν¯min n′^ = 1(Lyman) R 34 R n′^ = 2(Balmer) 14 R 365 R n′^ = 3(P aschen) 19 R 1447 R

Atomi complessi: ν¯ = τn′ − τn (1.8)

1.6 Atomo di Rutherford

V =

k r

; σ(θ) =

k 2 E

sin^4 θ 2

1.7 Atomo di Bohr

ν =

h

(En − En′ ) (1.10)

Raggio di Bohr:

a 0 =

ℏ^2

me^2

Livelli energetici:

En = −

me^4 n^2 ℏ^2 n 6 = 0 (1.12)

Raggi delle orbite:

rn =

n^2 ℏ^2 me^2

1.8 Principio di indeterminazione

∆x∆px ≥

∆t∆E ≥

Capitolo 2

Meccanica Analitica

2.1 Calcolo delle variazioni

Equazione di Eulero: ∂f ∂y

d dx

∂f ∂y′^

Integrale primo: ∂f ∂x

= 0 ⇒ y′^ ∂f ∂y′^

− f = cost

2.2 Equazioni di Lagrange

Azione:

S =

∫ (^) t

t 1

L(q(t), q˙(t), t)dt (2.2)

δS(1)^ = 0 ⇒

d dt

∂L

∂ q˙i^

∂L

∂qi^

2.3 Equazioni di Hamilton

Principio di Hamilton: δS(1)^ = 0 ⇔ moto (2.4)

Momenti coniugati:

pi =

∂L

∂ q˙i^

L =

pi q˙i^ − H (2.6) { q˙i^ = ∂H ∂pi p ˙i = − ∂H ∂qi

CAPITOLO 2. MECCANICA ANALITICA 12

Tipo 4: F 4 = F 4 (p, P, t) = F 1 +

QiPi −

qipi: { qi^ = − ∂F ∂p^4 i Qi = ∂F ∂P^4 i

In generale:

H′^ = H +

∂F

∂t

Le parentesi di Poisson sono invarianti per trasformazioni canoniche.

2.6 Trasformazioni canoniche infinitesime

F (q, P ) =

qiPi + εG(q, P ) (2.21) { δpi = −ε ∂G ∂qi δqi^ = −ε ∂G ∂pi

δf (q, p) = −ε{f, G} (2.23)

2.7 Equazione di Hamilton-Jacobi

∂S ∂t

+ H

q,

∂S

∂q , t

Equazione stazionaria:

∂H ∂t

= 0 ⇒ H

q,

∂S 0

∂q

= E ⇒

Q˙i^ = ∂H ∂ P˙i P^ ˙i = 0 (2.25)

qi^ ciclica ⇒ αi =

∂S

∂qi^ costante del moto (2.26)

Integrali di azione:

Ji(α) =

pidqi^ =

∂Si ∂qi^

dqi^ (2.27)

H(Ji) = E ⇒

∂H

∂Ji = νi^ ⇒ Qi^ = νit + βi^ (2.28)

νi^ = (τ i)− 1 (2.29) ( ∇~S 0

= 2m (E − V (~r)) (2.30)

Capitolo 3

Matrici e operatori

3.1 Matrici    

t 11 t 12 · · · t 1 n t 21 t 22 · · · t 2 n .. .

tm 1 tm 2 · · · tmn

Se ei e base nel dominio e wje base nel codominio, le colonne sono le componenti dei trasformati degli ei nella base wj. Prodotto righe per colonne tra A (m x p) e B (p x n):

cij =

∑^ p

k=

aikbkj (3.1)

A(BC) = (AB)C (3.2) (A + B)C = AC + BC (3.3) C(A + B) = CA + CB (3.4)

det(AB) = det A det B (3.5) det(tA) = det A (3.6)

Prodotto tensoriale tra una matrice A (m 1 xn 1 ) e una matrice B m 2 xn 2 ):

C = A ⊗ B (3.7) Ci 1 i 2 ;j 1 j 2 = Ai 1 j 1 Bi 2 j 2 (3.8)

3.2 Operazioni di coniugazione

Data A (m x n) si definiscono la:

• trasposta: tAij = Aji

CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI 15

3.6 Traccia di una matrice

E’ la somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata. La traccia di un prodotto di matrici e invariante per permutazioni cicliche e quindi la traccia di una matricee invariante per cambiamenti di base. Se consideriamo la matrice Ai 1 i 2 ;j 1 j 2 di ordine N 1 N 2 , prodotto tensoriale di due matrici quadrate A 1 e A 2 , possiamo vederla come una matrice di tipo 1 avente come elementi matrici di tipo 2 e viceversa. Possiamo quindi definire

(T r 1 A)i 2 j 2 =

∑^ N^1

n=

Ani 2 ;nj 2 (3.19)

e analogo per T r 2.

T r A = T r 2 (T r 1 A) = T r 1 (T r 2 A) (3.20) T r A = T r(A 1 ⊗ A 2 ) = (T r 1 A 1 )(T r 2 A 2 ) (3.21)

3.7 Funzioni di matrici

f (A) =

∑^ ∞

n=

(n!)−^1

dnf (x) dxn

x=

An^ (3.22)

f (A) =

i

f (ai)|ai >< ai| (3.23)

gli ai sono gli autovalori di A e |ai > i corrispondenti autovettori.

3.8 Aggiunto di un operatore

< t|A†|u >=< u|A|t >∗^ (3.24)

(A†)†^ = A (3.25)

(cA)†^ = c∗A†^ (3.26) (A + B)†^ = A†^ + B†^ (3.27) (AB)†^ = B†A†^ (3.28) (|u >< v|)†^ = |v >< u| (3.29)

3.9 Operatori hermitiani e antihermitiani

Un operatore H e hermitiano se H = H† Un operatore Je antihermitiano se J = −J†

CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI 16

Un operatore qualsiasi pu`o essere scomposto in una parte hermitiana ed in una antihermitiana:

A = HA + JA =

A + A†

A − A†

Il prodotto di due op. herm. e her. solo se gli op. commutano Gli autovalori di un op. hermitiano sono reali, quelli di un op. antihermi- tiano immaginari puri Sono hermitiani la moltiplicazione per una funzione reale e la derivata seconda, la derivatae antihermitiana.

3.10 Operatori unitari

Un operatore e unitario see l’inverso del proprio autoaggiunto. Il prodotto di due operatori unitari e ancora unitario. Un operatore unitario ha autovalori di modulo 1, see anche hermitiano ha autovalori ±1.

Una trasformazione unitaria conserva la traccia, il determinante e le relazioni algebriche tra matrici e vettori.

3.11 Trasformata di Fourier

ϕ ˆ(k) =

2 π

−∞

dxϕ(x)e−ikx^ (3.30)

ϕ(k) =

2 π

−∞

dx ϕˆ(x)eikx^ (3.31)

Teorema di convoluzione: ∫ (^) +∞

−∞

dx e−ikxf (x)g(x) =

2 π

−∞

dk′^ fˆ (k − k′)ˆg(k′) (3.32)

Integrali utili: ∫ dxe(ibx−Ax (^2) ) =

π A

e−^

b^2 4 A (^) (3.33)

3.12 Delta di Dirac

δ(x−x′) =

2 π

−∞

dyei(x−x

′)y t.c.

−∞

dx′f (x′)δ(x−x′) = f (x) ∀f (x) (3.34)

Capitolo 4

Elettromagnetismo

per un ragguaglio sui vari sistemi di misura vedere PMQE pag. la prima formula si riferisce al sistema mks, la seconda a quello gaussiano

4.1 Equazioni di Maxwell

∇ ·^ ~ E~ = ρ ε

= 4πρ ; ∇ ∧~ E~ = −

∂ B~

∂t

c

∂ B~

∂t

∇ ·^ ~ B~ = 0 ; ∇ ∧~ B~ = μ~j + με ∂

E~

∂t

4 π c

~j +^1 c

∂ E~

∂t

Equazione di continuit`a:

∇ ·^ ~ ~j + ∂ρ ∂t

Forza di Lorentz: F~ = q~v ∧ B~ = q c ~v ∧ B~ (4.4)

Momento cinetico Π e momento canonico~ ~p (sist. gauss):

~Π = m~v = ~p − e c

A~ (4.5)

4.2 Potenziali

B^ ~ = ∇ ∧~ A~ ; E~ = −∇~Φ − ∂

A~

∂t

c

∂ A~

∂t

Trasformazioni di gauge:

A^ ~′^ = A~ + ∇~Λ ; Φ′^ = Φ − ∂Λ

∂t

c

∂t

p^ ~ ′^ = gauss = ~p + e c

CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO 19

dalle eq. di Maxwell

∇^ ~^2 Φ + ∂

∇ ·~ A~

∂t

ρ ε

; ∇~^2 Φ +

c

∂ ∇ ·~ A~

∂t

= − 4 πρ (4.9)

∇^ ~^2 A~ − ∂

2 A~

∂t^2

∇ ·^ ~ A~ + με ∂Φ ∂t

= μ~j ; ∇~^2 A~ −

c^2

∂^2 A~

∂t^2

∇ ·^ ~ A~ +^1

c

∂t

4 π c

~j

(4.10)

4.3 Gauge di Coulomb

∇ ·^ ~ A~ = 0 (4.11)

Potenziale istantaneo:

Φ(~r, t) =

ρ(~r′, t) |~r − r~′|

dr~′^ (4.12)

Nella gauge di Coulomb si ha trasversalit`a. Gauge di Lorentz:

∇ ·^ ~ A~ +^1 c

∂t

4.4 Onde elettromagnetiche

∇^ ~^2 f − n

2 c^2

∂^2 f ∂t^2

f (~r, t) = exp[A(~r + ik 0 (L(~r) − ct)] (4.15)

4.5 Polarizzazione

In generale: E~ = (Ex 0 e−ikzˆi + Ey 0 e−ikzˆj)eiωt

1. Polarizzazione lineare lungo l’asse x (Ey 0 = 0):

E^ ~ = Ex 0 cos(ωt − kz)ˆi

2. Polarizzazione lineare lungo lasse y (Ex 0 = 0):

E^ ~ = Ey 0 cos(ωt − kz)ˆj

3. Polarizzazione lineare lungo una retta ad angolo α (Ex 0 reale, Ey 0 6 = 0 sfasati di nπ):

E^ ~ = (Ex 0 ˆi + Ey 0 ˆj)cos(ωt − kz) ; tan α = Ey Ex