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Corso^ di^ Laurea:
Economia^ Aziendale Insegnamento:
a^ Statistica (Iparte) Docente: G.Latorre, D.Costanzo, M.Misuraca
Lezione^ n° 03
1 – Frequenze
cumulate
N l^ i^
i l^ d lità d l
tt^ i^
di^ t^ ò^
i t^ t
t di
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Nel^ caso^ in^
cui^ le^ modalità
del^ carattere
in^ esame^ sono
ordinate^ può
essere^ interessante
studiare
la^ frequenza
con^ cui^ si^ presentano
nel^ collettivo
in^ esame^ modalità
inferiori^ o^ uguali
ad^ un^ certa
soglia.^ Le^ frequenze
cumulate^ sono
utili^ quando
vogliamo^ fissare
una^ delle^ modalità
e^ leggere^ i
dati^ della distribuzione rispetto
a^ questa dati^ della^ distribuzione
rispetto^ a^ questa^ Ricaricatelefonica
frequenzaassoluta
fr.^ assolutacumulata 10
10
10 50
6
16 100
5
21 Totale^
21 Totale^
21
‐
Se^ vogliamo
sapere^ quanti
individui^ hanno
acquistato^
una^ ricarica
con^ un^ taglio
inferiore^ o^
uguale
ad una certa soglia basta leggere la frequenza cumulata in corrispondenza della modalità che ciad^ una^ certa
soglia^ basta
leggere^ la^ frequenza
cumulata^ in
corrispondenza
della^ modalità
che^ ci
interessa:^ ad
es.^ se^ vogliamo
il^ numero^ di
unità^ statistiche
che^ hanno
ricaricato^ massimo
(al^ più)
50 € (minore
o^ uguale)^ è
pari^ a^16 (10+6) Se vogliamo sapere quanti individui hanno acquistato una ricarica con un taglio inferiore a unaSe^ vogliamo
sapere^ quanti
individui^ hanno
acquistato^
una^ ricarica
con^ un^ taglio
inferiore^ a^
una
certa^ soglia
basta^ leggere
la^ frequenza
cumulata^ della
modalità^ precedente
a^ quella^ che
ci
interessa:^ ad
es.^ le^ unità
che^ hanno
ricaricato^ meno
di^50 € sono
Corso^ di^ Laurea:
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Lezione^ n° 03
2 – Notazione
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
È^ possibile
calcolare^ le
frequenze
cumulate^
a^ partire^ dalle
frequenze
assolute,^ relative
o
percentuali.
Per^ distinguere
le^ frequenze
cumulate^
vengono^ indicate
con^ la^ lettera
maiuscola
corrispondente^ X^ N
F^ P xNFP 1 1 1 1
Nel^ prosieguo
indicheremo
con:
x^ la^ generica i^
i‐esima^ modalità
del^ carattere
X^ (con^ i=1,2,…,k)
xN^1
FP^1 xN^2
FP^2 …^ …^
…^ …
N^ la^ i‐esima i^
frequenza
assoluta^ cumulata
delle^ prime
i^ modalità
F^ la^ i‐esima i^
frequenza
relativa^ cumulata
delle^ prime
i^ modalità
P^ la^ i‐esima i^
frequenza
percentuale
cumulata^ delle
prime^ i^ modalità
xNi^ i^
FPi^ i …^ …^
…^ …
i ∑
i ∑
xNk^ k^
FPk^ k totale^ -^
-^ -
∑^ =
= ji 1 j
k,..., 2 , 1 i
,n
N^
∑^ =
= ji 1 j
k,..., 2 , 1 i
,f
F
i ∑=
i = ji 1 j
k,..., 2 , 1 i
,p
P
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a^ Statistica (Iparte) Docente: G.Latorre, D.Costanzo, M.Misuraca
Lezione^ n° 03
4 – Esercizio
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca X^ n^
X^ n 0 5
Consideriamo
nuovamente
i^ due^ collettivi
di^ famiglie^
e^ le^ distribuzioni
del^ n° di^ figli
per^ famiglia
0 A TTIVO E
20 B^ ETTIVO
COLLE
COLLE
Totale^^50
Totale^^100
-^ Quante sono le famiglie che hanno al più un figlio? Relativamente
al^ solo^ collettivo
A:
-^ Qual è la percentuale di famiglie che hanno al massimo 2 figli? •^ Qual è la percentuale di famiglie che hanno almeno 2 figli? •^ Quante sono le famiglie che hanno meno di 3 figli? •^ Quante sono le famiglie che hanno non meno di 4 figli?
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Lezione^ n° 03
5 – Soluzione
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Collettivo ACollettivo^ A^ X^ n
N^ F^
P
5 0,10^ 10%
0,34^ 34%
Calcoliamo^ innanzi
tutto^ le^ frequenze
cumulate
0,72^ 72%
0,90^ 90%
0,98^ 98%
Totale^50
‐^ ‐^
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7 – Poligono
delle^ frequenze
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Un^ altro^ modo
per^ rappresentare
le^ frequenze
cumulate^ è
utilizzare^ il
Poligono^ delle
frequenze1.000 94
1.00 0 90
Distribuzione
delle^ aziende
per^ n°^ di^ addetti n.^ di addetti^
nfi^ i^
F^ i 5
6 0,^
0,
0.94 0.
0.900.800.70 0.
10
12 0,
0, 15
32 0,
0, 20
27 0,
0, 25
41 0,
0,^
0.56 0. 0.500.40 0.
25
41 0,
0, 30
11 0,
0, 35
8 0,^
1, 137 1,
0.20 0.13^ 0.04^ 0.10 0.
Dall’analisi^ della
tabella^ e^ del
grafico^ possiamo
immediatamente
rilevare^ che
le^ aziende^
con^ meno
di 15 addetti sono il 36% del collettivo mentre le aziende con meno di 20 addetti rappresentano
5 10
15 20
25 30
35
di^15 addetti
sono^ il^ 36%
del^ collettivo
,^ mentre^ le^
aziende^ con
meno^ di^20
addetti^ rappresentano
complessivamente
il^ 56%^ del^ collettivo
(ovviamente
includendo
anche^ le^ aziende
che^ ne^ hanno
meno^ di^ 15)
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8 – Esercizio
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
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10 – Distribuzione
in^ classi
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Quando^ si^
analizza^ un
fenomeno
che^ può^ essere
espresso^ per
mezzo^ di^ un
carattere^ discreto
con^ numerose
modalità,^
(es.^ età^ in^ anni
compiuti)^
oppure^ quando
si^ usano^ caratteri
continui
(es.^ peso,^ altezza),
è^ possibile
che^ le^ distribuzioni
di^ frequenza
assolute^ o
relative^ non
siano
idonee^ e^ non
migliorino
la^ comprensione
dei^ dati
In^ questi^ casi
può^ essere
adoperata
un’altra^ rappresentazione
dei^ dati:^ le
modalità^ (discrete
o
continue)^ sono
organizzate
in^ intervalli
di^ valori^ dette
classi ,^ e^ le
frequenze
associate^ a
ciascun
intervallo^ rappresentano
il^ n° di^ unità
sulle^ quali
è^ osservato/misurato
un^ valore^ appartenente
all’intervallo
stesso
Bisogna^ dire
che^ se^ la^ rappresentazione
in^ classi^ presenta
la^ stessa^ facilità
di^ lettura^ di
una
l i^ i di t ib
i^ di f^
(^ l t^
l ti^ )^
è^ ò^ lt^
tt^ t^ i^
di t
qualsiasi^ di
stribuzione
di^ frequenze
(assolute^ o
relative)^ non
è^ però^ altrettanto
immediata
e
di^ facile^ costruzione
a^ partire^ dalla
distribuzione
unitaria^ dei
dati.^ È^ infatti
necessario
tenere
in^ considerazione
diversi^ elementi:
il^ numero^
di^ classi^ adeguato
al^ problema,
l’ampiezza
delle
diverse classi la possibilità di includere tutte le modalità del carattere e così viadiverse^ classi
,^ la^ possibilità
di^ includere
tutte^ le^ modalità
del^ carattere
,^ e^ così^ via
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Lezione^ n° 03
11 – Caratteristiche
delle^ classi
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
‐^ In^ generale
una^ classe^
può^ essere^
vista^ come^
un^ intervallo
di^ valori^ numerici:
ciascuno^ di
questi
intervalli^ deve
essere^ disgiunto,
non^ devono
cioè^ esserci
sovrapposizioni,
in^ modo^ che
ogni^ unità
appartenga
ad^ una^ e^ una
sola^ classe ‐^ L’ampiezza
di^ ciascuna
classe^ può^
essere^ costante
oppure^ differente:
nel^ primo^ caso
si^ parla^ di
classi^ equiampie
,^ nel^ secondo
caso^ si^ parla
di^ classi^ non
equiampie
.^ La^ scelta^ di
un^ tipo^ dipende
talvolta^ dalle scelte soggettive del ricercatore
ma spesso^
è strettamente legata
a^ fenomeno
che
talvolta^ dalle
scelte^ soggettive
del^ ricercatore
ma^ spesso^
è^ strettamente
legata^ a^ fenomeno
che
si^ vuole^ rappresentare:^ CLASSE^
Criterio Da^0 a^5 anni
Età^ prescolare Da 6 a 10 anni
Scuola elementare
In^ questo^ caso
la^ suddivisione
in^ classi^ del carattere^ età
è^ dettata^ da
un^ criterio^ esterno
che
fornisce^ comunque
un^ interessante
punto^ di vista rispetto al tipo di fenomeno che si sta
Da^6 a^10 anni
Scuola
elementare Da^11 a^13 anni
Scuola^
media Da 14^ a^18 anni
Scuola^
superiore
vista^ rispetto
al^ tipo^ di^ fenomeno
che^ si^ sta studiandoNB:^ le^ classi
non^ devono
mai^ essere^
vuote^ (cioè
…^
…^
con^0 unità^ statistiche)
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Lezione^ n° 03
13 – Determinazione
del^ numero
Docente: di classi
G.Latorre,^ D.Costanzo
,^ M.Misuraca
Non^ esiste^ un
modo^ univoco
per^ determinare
il^ numero^ di
classi:^ molte
volte,^ a^ seconda
del
fenomeno^ oggetto
di^ studio,^ la
scelta^ è^ lasciata
all’esperienza
di^ chi^ effettua
lo^ studio
La^ regola^ da
seguire^ è^ che
non^ bisogna
scegliere^ un
n° di^ classi^
eccessivamente
piccolo^ per
non
perdere^ dettaglio
nella^ rappresentazione
del^ fenomeno,
ma^ al^ contempo
non^ bisogna
scegliere
un^ n° di^ classi
eccessivamente
grande^ per
non^ “sacrificare”
la^ leggibilità
della^ distribuzione
Nel^ corso^ degli
anni^ sono^ state
proposte^ diverse
soluzioni^ per
determinare
in^ modo^ oggettivo
il
numero^ di^ classi
ideale^ per^
una^ popolazione
di^ numerosità
pari^ a^ N:^ una
possibile^ soluzione
è
quella di considerare il numero k di classi ottenuto dalla regola di
Sturges
quella^ di^ considerare
il^ numero^ k
di^ classi^ ottenuto
dalla^ regola
di^ Sturges
≅^
i^^10 k^ 1+3,322 log
(N)^
REGOLA^ DI STURGES N° DI CLASSI^ DA^ CONSIDERARENELLA^ DISTRIBUZIONE
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Lezione^ n° 03
14 – Determinazione
dell’ampiezza
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Una^ volta^ determinato
il^ numero^ delle
classi^ è^ necessario
stabilire^ se
si^ vogliono
considerare
classi^ di^ uguale
ampiezza^ o
meno Nel caso in cui si considerano classi di ampiezza diversa bisogna chiaramente procedere ad unaNel^ caso^ in^
cui^ si^ considerano
classi^ di^ ampiezza
diversa^ bisogna
chiaramente
procedere^
ad^ una
scelta^ coerente
con^ il^ fenomeno
che^ si^ sta^ analizzando,
come^ illustrato
in^ precedenza
con
l’esempio^ della
distribuzione
per^ età^ costruita
sulla^ base^ del
livello^ scolastico
Se^ invece^ si
considerano
classi^ di^ ampiezza
uguale^ allora
è^ necessario
trovare^ un^
modo^ per
determinare
in^ modo^ pratico
e^ veloce^ la^
quantità^ che
si^ assume^ costante
per^ ogni^ intervallo
Tale^ quantità
può^ essere
ottenuta^ facilmente
considerando
l’ampiezza^
della^ distribuzione,
a
partire^ dalla
differenza^
della^ modalità
più^ grande
e^ della^ modalità
più^ piccola
osservata^ nella
distribuzione
unitaria^ dei
dati^ e^ dividendo
per^ il^ numero
di^ classi^ definito
precedentemente:
≅ x^ - x^ (N)^ (1)
ω k
La^ lettera^ omega
dell’alfabeto
greco^ è^ utilizzata
per
convenzione
per^ indicare
l’ampiezza^ della
classe:^ va
k^
chiaramente
approssimata
al^ numero^ intero
più^ vicino
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Lezione^ n° 03
16 – Classi
aperte^ e^
chiuse
I^ l^
i di^
l^ è^
t^ hi^
d^ t^
i i t^ i^ tili
l^
t
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,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
In^ generale
per^ indicare
se^ una^ classe
è^ aperta^ o^
chiusa^ a^ destra
o^ a^ sinistra
si^ utilizza^ la
seguente
notazione: x^ ‐|^ x^ oppure i‐^1 i^
(x,^ x^ ]^ ‐>^ i‐^1 i
la^ classe^ è^ chiusa
a^ destra^ e^ aperta
a^ sinistra^ (le
unità^ che^ presentano
x^ i‐^1
non^ sono^ incluse
nella^ classe,
quelle^ che^
presentano
x^ invece^ loi^
sono)
x^ |‐^ x^ oppure i‐^1 i^
[x^ ,^ x^ )^ ‐>^ i‐^1 i
la^ classe^ è^ aperta
a^ destra^ e^ chiusa
a^ sinistra^ (le
unità^ che^ presentano
x^ i‐^1
sono^ incluse
nella^ classe,
quelle^ che^
presentano
x^ invece^ noni^
lo^ sono)
x^ ‐^ x^ oppure i‐^1 i^
[x^ ,^ x^ ]^ ‐> i‐^1 i
la^ classe^ è
chiusa^ a^ destra
e^ sinistra^ (sia
le^ unità^ con
x^ che^ quellei‐^1
che
presentano
x^ sono^ inclusei^
nella^ classe)
Corso^ di^ Laurea:
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a^ Statistica (Iparte) Docente: G.Latorre, D.Costanzo, M.Misuraca
Lezione^ n° 03
17 – Rappresentazione
dei^ dati
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Una^ volta^ ottenute
le^ classi^ e^ “contate”
quante^ sono
le^ unità^ statistiche
appartenente
ad^ ogni
classe^ abbiamo
di^ fatto^ ottenuto
una^ distribuzione
di^ frequenze
assolute^ come
quelle^ viste
nelle
precedenti^
lezioni,^ con
la^ differenza
che^ non^ abbiamo
tutte^ le^ modalità
osservate^ ma
intervalli
p^
di^ modalitàCosì^ come^ per
le^ distribuzioni
di^ frequenze
è^ possibile
leggere^ in^ modo
differente^ i
dati,^ ad
esempio^ considerando
le^ frequenze
relative^ o^ percentuali,
oppure^ calcolando
le^ frequenze
cumulate^ (assolute
o^ relative) In tutti i casi in cui è necessario effettuare delle operazioni sulle distribuzioni in classe risultaIn^ tutti^ i^ casi
in^ cui^ è^ necessario
effettuare^
delle^ operazioni
sulle^ distribuzioni
in^ classe^ risulta
difficile^ ritornare
ad^ una^ distribuzione
di^ frequenze
o^ unitaria:^
a^ tal^ scopo^
per^ convenzione
si^ fa
riferimento
ad^ un^ valore
rappresentativo
dell’intera^
classe,^ detto
“valore^ centrale”,
che^ può
essere^ calcolato
dalla^ semisomma
degli^ estremi
inferiore^ e^
superiore^ d
i^ ciascuna^ c
lasse
esse e ca co ato da a se
so^ a deg
est e^
e o e e supe o e d c ascu a c asse
estr. inferiore + estr. superiore
valore centrale=^ valore centrale 2
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Lezione^ n° 03
19 – Esempio
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
Consideriamo la seguente distribuzione unitariaper un collettivo di 200 unità statistiche
ω^ non^ eqquiampie ω^ equiamppie
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Lezione^ n° 03
20 – Esercizio
Docente:^ G.Latorre
,^ D.Costanzo,^ M.Misuraca
A^150 studenti
iscritti^ al^ Corso
di^ Laurea^ Triennale
in^ Economa
e^ Commercio
è^ stato^ chiesto
il
Numero^ di^
Crediti^ Formativi
ottenendo
il^ seguente
elenco^ grezzo
di^ modalità: C l^ l^ il^
di^ l^ i ‐^ Calcolare^
il^ numero^ di
classi ‐^ Costruire^
delle^ classi^
equiampie chiuse a sinistrachiuse^ a^ sinistra ‐ Calcolare^ il
valore^ centrale
