Funzioni Continue in Matematica Generale, Appunti di Analisi Matematica I

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Corso di Matematica Generale

M-Z

Dipartimento di Economia

Universit´a degli Studi di Foggia

FUNZIONI CONTINUE

Giovanni Villani

FUNZIONI CONTINUE∗

Definizione 1 Sia f : X → R ed x 0 ∈ X. Dire-

mo che f ´e continua in x 0 se vale una delle due seguenti condizioni:

• x 0 ´e un punto isolato;
• x 0 ´e un punto di accumulazione per X e

x^ lim→x 0

f (x) = f (x 0 )

Definizione 2 Diremo che f ´e continua in X se ´e continua in ogni x 0 appartenente ad X.

Teorema 1 ( sulla continuit´a delle funzioni montone)

Sia f : X → R. Se f ´e monotona ed il suo codo-

minio f (X) ´e un intervallo, allora f ´e continua in X. ∗Appunti Mat.Gen M-Z - Villani Giovanni 1

Teorema 5 ( degli zeri)

Sia f : [a, b] → R, f continua. Se f (a)·f (b) < 0 ,

allora:

∃x 0 ∈]a, b[ t.c. f (x 0 ) = 0.

Da dimostrare.

Teorema 6 (di Bolzano)

Sia f : X → R; se X ´e un intervallo ed f ´e

continua allora f (X) ´e un intervallo.

Da dimostrare.

PUNTI DI DISCONTINUIT´A

1. Sia f : X → R ed x 0 ∈ X, x 0 punto di

accumulazione per X. Se ∃ (^) xlim→x 0

f (x) = L 6 = f (x 0 ) allora x 0 ´e un punto di discontinuit´a eliminabile.

2. Sia f : X → R ed x 0 ∈ X, x 0 punto di

accumulazione a destra e a sinistra per X. Se ∃ lim x→x+ 0

f (x) = L 1 ∈ R ed ∃ lim

x→x− 0

f (x) =

L 2 ∈ R con L 1 6 = L 2 , allora x 0 dicesi punto

di discontinuit´a di I specie.

3. Sia f : X → R ed x 0 ∈ X, x 0 punto di

accumulazione per X a destra e a sinistra. Se ∃ lim x→x+ 0

f (x) ed ∃ lim x→x− 0

f (x) di cui almeno

uno ´e infinito, allora x 0 dicesi punto di discontinuit´a di II specie.