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FUNZIONE CONTINUA E CONTINUITA’
Una funzione continua in un punto è una funzione reale di variabile reale in cui i due limiti sinistro e destro calcolati nel punto coincidono con la valutazione della funzione nel punto. Una funzione continua su un insieme è una funzione continua in ogni punto dell’insieme. DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO
sia f : Dom ( f ) ⊆ R → R , y = f ( x ) una funzione reale di variabile reale, e sia x 0 ∈ Dom ( f )
un punto di accumulazione per il suo dominio. Si ha che f è una funzione continua nel punto X 0 se lim x → x (^0)
f ( x )= f ( x 0 )
Nel caso di un punto x 0 ∈ Dom ( f ) che sia un punto isolato per il domino diremo che la funzione f
è continua in xo a prescindere. Quindi una funzione è continua in un punto di accumulazione del suo dominio se il limite per x tendente a xo di f(x) coincide con la valutazione della funzione nel punto, ossia con f(xo). Nel caso dei punti isolati del dominio, per i quali evidentemente non è possibile considerare alcun limite, stabiliamo che la funzione è continua senza bisogno di alcuna ulteriore condizione. DEFINIZIONE EQUIVALENTE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO tenendo a mente la definizioni di limite sinistro e destro, possiamo esprimere la condizione lim x → x (^0)
f ( x )= f ( x 0 )
in una forma del tutto equivalente: lim x → x 0 −¿ f ( x )= lim x → x 0 +¿ f ( x )= f ( x 0 ) ¿ ¿ ¿
Una funzione è continua in un punto di accumulazione se:
- I due limiti sinistro e destro esistono finiti ed hanno lo stesso valore;
- Il comune valore dei due limiti sinistro e destro coincide con la valutazione della funzione nel punto. DEFINIZIONE EQUIVALENTE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO CON DELTA ED EPSILON
A prescindere che x 0 ϵ Dom ( f ) sia un punto di accumulazione o un punto isolato, diciamo che f
è una funzione continua nel punto xo se:
∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 per cui se x ∈ Dom ( f )è tale che | x − x 0 |< δ allora risulta che
|f^ (^ x^ )−^ f^ (^ x^0 )|<^ ε^.
La condizione viene soddisfatta solo considerando x = x 0.
DIFFERENZA TRA LE DEFINIZIONI DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO E DI LIMITE In effetti la definizione di continuità in un punto assomiglia alla definizione di limite finito per z tendente a un valore finito. Riguardando la definizione iniziale subito notiamo che viene coinvolto un limite finito con x tendente a un valore finito. Se da un lato, nella definizione di limite, avevamo scritto (^) | f ( x )− c |< ε perché stavamo definendo
la nozione di limite finito con valore c per x → x 0 ,qui sopra abbiamo scritto f ( x )− f ( x 0 ) perché
vogliamo che il valore del limite per x → x 0 sia proprio f(xo).
Ebbene le due definizioni sono simili nella forma ma presentano una differenza che rischia di passare inosservata e che ha enormi conseguenze. Nella definizione di limite era scritto: 0 <| x − x (^0) |< δ Qui abbiamo scritto |^ x^ −^ x^0 |<^ δ
Nella definizione di limite abbiamo escluso per x → x 0 e abbiamo lavorato con un intorno bucato
di xo e lavoriamo con un intorno completo di xo. LA DIFFERENZA TRA LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA E DI LIMITE E TUTTO QUI. Nel definire un limite l’unica cosa che conta è descrivere il comportamento della funzione a sinistra e a destra del punto xo : la funzione in xo può comportarsi in qualunque modo e può anche non essere ivi definita , perché ciò che conta è solamente l’andamento della funzione man mano che i valori di x si avvicinano a xo. Nella continuità invece il comportamento della funzione nell’intorno del punto non basta. Man mano che i valori si avvicinano a xo le valutazioni della funzione devono avvicinarsi proprio al valore f(xo) e devono finire col raccordarsi ad esso in xo. SIGNIFICATO DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO
Diremo che f è continua nel punto xo se per x → x 0 la funzione f ha limite f(x). in questo senso la
parola continuità assume un significato ben preciso : man mano che la x si avvicina al punto xo le
valutazioni f(x ) si avvicinano alla valutazione f ( x 0 ) fino a raccordarsi con essa.
FUNZIONE CONTINUA SU UN INTERVALLO O SU UN INSIEME
