Scarica Capitolo funzioni continue e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
Sia (^) LiXCIR -^ IRe^ sia (^) Xo EX (^). La (^) funzione (^) f s (^). dice continua in (^) to se lmsxo hlx)^ = hIxo) La (^) hunzione hs , dice continua in (^) AsX se (^) fé (^) continua in (^) ogn (^) punto Xo E A. Se h (^) é continua in x Se (^) fê continua in (^) X, scriveremo anche (^) hEClx) oppore E COLX ). IL CONCETTO DI FUNZIONE CONTINUA HA SENSO^ SOLO^ SE LA FUNCIONE EDEFINITA NEL PUNTO (^) XO IN^ CUI L SI MINANDOSTAES dalla definicione di^ limite^ - s^ he-^ continua in to (^) se e solo se (^) una delie (^) seguert , affermacions é (^) soddisfatta : Vintorno Vdifixd (^) J un (^) intorno dIxO (^) L YxexLIXIEV ?V VE^3 O JOTOIIXxEX, K^
- xOKd =7 (^1) h1-hIollE e, per^ i^ teorema ponte : V (^) successione (^) Ean } a valor (^) , x (^) econvergente in xo ,^ flan)^
- s (^) hlro) pern-3t^8 PERMANENZA (^) DEL SEGNO DIF CONTINUA se (^) f :IR IX-sIR é (^) continua in (^) xo EX (^) ef^1 xls^0 (risp. (^) co) allora esiste un intorno Udixo tale che (^) hlxl s (^0) (risp (^) col (^) per ognixEUnX (^). ALGEBRA DELLE^ FONZIONI CONTINUE se (^) heg sono^ continue^ in^ xo, allora^ lo^ sono anche^ le^ funzion (^) , fIg, ch, hig. (^) hig. ! anche la^ composicioe di^ funzion eatinue écontinua CONTINUITÁ DI FUNZION , COMPOSTE Siano (^) X,YEIR, hix-Yeg:4-s (^) iR. (^) Se he continua^ in (^) xo Exegécatioa in^ hixo) E4, allora la (^) funzione composta (^) gof:x-7g(hall é^ continua in^ xo. CONTINUITA DA DESTRA E^ SINISTRA Una (^) hunzione LiXEIR - (^) s IR (^) Si dice (^) continua da destra ( (^) risp da Sinistra ) in toEx (^) se la swa restrizione hlkotolnx risp^.^ hl^ - oixomx é continua (^) in to. se (^) xo é (^) punto di (^) accumolazione destro (^) (risp, Sinistrol di (^) domf allora hé continua^ da^ destra^ (risp^ da^ sinistra)^ in^ to^ E)^ him sxot (risp, him tsxo - IhIx) =hlxo)^ IQUINDI Sia (^) f.XEIR-3 IR (^) e 5 id to EX un (^) Punto di (^) accumulazione sia destro sia sinistro (^) per x (^). Allora hé continua^ in^ xo^ =^ hé^ continua^ da^ destra^ e^ da^ sinistra^ in^ to =3 le xsxot hle ) = him xsxo -^ file)^ = hlxol
CONTINUITA (^) DI VALORE (^) ASSOLUTO, PARTI POSITIUA E^ NEGATIVA le (^) seguent , hunzioni sono continue (^) in IR (^) : kx=max{x,0}, (^) x -=maxf-xo}e^ Klexxtx-^ DIM (^). Dimostriamo che 4-3^141 è continua in IR.^ Se^ xo (^) 40, allora kl cancide a (^) -^ x^ in wn intormo d, (^) xo. Siccome la continuita é (^) un concetto locale (^) laoe (^) diperde solo dal (^) comportamento d (^) h definitivamente perx-s (^) xole - x^ é^ continua in^ xo Le un (^) polisormiol, anche 4-3^ Kle^ continua^ in^ xo. Allo (^) stesso modo si (^) dimostra che (^) x-3 141 é continua in (^) ogni punto 4070. Resta da verificare la^ continuità^ in^ to=0, per la^ quale calcoliamo^ separatamente I^ liomiti^ destro^ e sinistro: le (^) ix 1 : lim (^) x xxxot =0 = (03, Cim^141 = him so.^ (-4)^ =0= (^) [o] Xx 0+^ X^ - quindi x-s^141 è^ continua^ anche^ in^ to^ =0. PUNTI (^) DI DISCONTINUITÁ Siano (^) f : IR 2 X-7IR (^) exotX (^).^ Se^ h non é continua (^) in to, to 5. dice^ PUNTO DINON discontinuiTá (^) dif i) DISCONTINUITÀ^ ECIMINABILE^ IN^ Yo^ Se limxo hebesiste FINITO,^ ma^ é^ diverso^ da^ filxo) ')DISCONTINUITÁ^ DI^ PRIMA^ SPECIE^ O^ DI^ SACTO^ in^ to^ se^ esistono^ finit ,^ I^ limit^ ,^ destro^ e^ sinistro ma sono^ divers^ ,^ tra^ loro; in^ tal^ caso, la^ differenza^ : ter axxot fle)-lim h(x) xsxo k^0 to si chiama^ PUNTO^ DI^ SACTO Li) DISCONTINUITÁ^ DI^ SECONDA^ SPECIE^ per (^) fl) quando perx-sxo almeno^ uno des^ due^ limit,, destro o (^) sinistro, è (^) infinito o (^) non esiste (^). u: ro a ? i u ko x >^ x^ > DIS (^). ELIMINABILE DIS (^) ,^ DITIPO^ SALTO DIS^. SECONDA SPECIE DISCONTINULTA DI^ FUNZIONI MONOTONE Sia I EIR^ un intervallo (^) e sid (^) f : I-7 IR monotona in I. (^) Allora fpuoavere (^) punt , di discontinuità solo (^) di tipo salto (^) lo eliminabili (^) se sono (^) agli estrem , dell (^) intervallo) DIm.^ Per^ l'esistenza des^ himit (^) ,^ di^ funzion (^) ,^ monotone^ per (^) ogn , punto interno^ to di I (^) esistono finiti il^ limite^ destro^ e sinistro difperxs^4 o; se cancidono , hecontinua in (^) to; se sono divers, h ha^ una discontinuità di prima specie^.^ Nel^ caso^ in^ cuif^ sia^ definita^ in^ un^ estremo^ di^ I,^ per^ esempio^ nellestremo^ destrob,^ allora esiste limite (^) hinito f = m 5.^ h(x).^ Sel = hlb) la (^) funzione é (^) continua (^) inb, altriment (^) , ha (^) und discontinata eliminabile in b^.
teorema dei valori intermedi Il (^) teorema (^) deglizer. (^5) i poo (^) generalizzare : COROCriO (^). Siano (^) fig : La ,bJ -3 (^) IR continue (^) in aibJetaliche flab glal eflblglbl oppure^ hlakgial e^ flbl s glb) Allora esiste almeno una soluzione (^) yE 19 b) (^) deliequazione bI )=glx). SigIE (^) IR (^) un intervallo (^) (non necessariamente chiuso (^) elo limmitato) esia (^) f : I-3 IR continua in I (^). Allora (^) hassome in (^) I totti (^) , valor , compres (^) , tra infhesupf , ouvero ( sh inf , suph) EfLI ) DIm (^).^ Prendiamo^ un (^) qualunque (^) y tale^ che^ inffcy (^) csuph.^ Per^ la^ definizcione di (^) estremo (^) superiore inferioreesistono (^) a,bEI tale^ che (^) flalcy chlb ). Quind., (^) segue dal^ teorema^ degli zer^ ,^ che^ la^ funzione continua^ hk)-y ha^ uno^ zero^ nelintervallo^ di estremi a eb (^) : in (^) quel punto (^) to, (^) hixd-y=0, ouvero (^) y=flxo). corollario (^5) ia IfIR un intervallo esia (^) f. I-3 (^) IR Continua in I (^). Allora (^) hilé un intervallo (^). nd funzione^ strettamente^ monotona^ é^ iniettiva, ma^ in^ generale il^ viceversa^ é^ falso. Per (^) esempio xs f e inettiva ma non monotona (^) in IR (^) 1903. 11 viceversa (^) é falso anchese il domminio è^ un^ intervallo^ : per esempio, hIx 1-Şx seoexce 3-x se4<X: é (^) imettiva ma non monotona in (^) {0; 2]. 2, sööî se (^) peró (^) hé continua in un (^) intervallo, allora anche (^) il viceversa é vero (^). teorema S.a (^) IElR (^) on intervallo (^) esia (^) f : I-s (^) IR continuae inettinva (^) in I (^). Allora (^) fe strettamente monotona in I. Dim (^). Supponiamo (^) per assurdo^ che^ hron sia monotona in (^) I, cioe che esistano (^) x,4, 2 E^ I^ tal (^) chexcycze. per (^) esempio, hly)s hixl (^3) f 1 al. Per^ il^ teorema^ devalor^ ,^ intermed^ ,^ appicato^ all intervallo^ E4,2] esiste xo E^ 14,2) tale che (^) kIxol - hIx). Ma^ allora (^) hnon e (^) inettina, una contraddizione (^). IN (^) CONCLUSIONE se (^) f è continua in un (^) intervallo, allora he iniettiva^ £ 7 he^ strettamente^ monotora
TEOREMA di WEIERSTRASS CONTINUITÀ (^) DELLE FUNZION , INVERSE la (^) funzione inversa di^ una (^) funzione continuae biettiva non é (^) sempre continua. se invece (^) hé continua^ e mniettina^ in^ un (^) intervallo, allora^ anche^ la^ sua inversa è continua^ ; TEOREMA SULCA CONTINUITA DELLA^ FUNZIONE (^) INVERSA S (^) .a I (^) intervallo, sia (^) f. I-s^ hiIl continua (^) eniettiva (^) in Ie 5.af: LIF )--IR einversa difin I. Allora (^) file continua rel swo domino (^) f(I). DIm. Sappiamo che, esserdo^ fII) continua e (^) mniettiva, allora é^ monotona in I e^ flIle u intervallo. Allora (^) anche Cinversa (^) fle una (^) hunzione strettamente monotona (^) definita sull intervallo (^) hII). se (^) per assordo (^) fil fosse discontinua,1 swa punt , sarebbero disalto loppure (^) eliminabili se s. trouano (^) agli estremi), ma in tal caso la (^) sua (^) immagine non sarebbe un (^) intervallo, mentre F '(KCID)^ =^ I^ lo^ e^.^ Qundi^ file^ continua^. Sia (^) fi : La, b } -3 (^) IR continua in (^) La, b]. Allora quindifcontinua^ in Caib], chiuso^ e^ limitato condizioni essenzial (^). i) esistono^ M:=maxh em:minh Ca,b} cabs;^ ii (^) )hlLa,bl)=Em.MJ DIm (^). La tes (^) , ii) (^) segue dalla (^) i) e (^) guind , basta dimmostrare la i (^) ). Dimostriamo solo besisterza del minimo (^) di hin Laib^ ]: quella del (^) massimo é del (^) tutto (^) analoga. costruzione di^ una^ successione minimizzante. s, pone (^) p=inFFEL-oito). Laib} (^5) ia bph }^ una^ successione^ strettamente decrescente che terde (^) api s (^). pooprendere pn-pte Se PEIR opn --n sep :^ Per la definizione (^) di estremo (^) infervore, per (^) ogn .nEIN esiste Xn E (^) La.b] tale che (^) P = flxn )apn. Per il (^) teorema del (^) confronto, anche (^) fexnt-7P pernsta. conclusione: (^) poiche (^) a = (^) Xneb, la (^) successione Exn (^) } é limitata ,^ e quind^ ,^ per^ il^ teorema di Bolzano^ - Weierstrass na (^) una sottosuccessione convergate (^) , Exñn}: Yhn -7Xo EIR. Poiche (^) a cxn Eb In^ segue dal teorema della (^) permanerza del^ segno che (^) anche a sXo^ =^ b. Per la continuita^ di hi hkxants flxo ) pern
- t. Poiche s^ ,^ ha^ anche filxan)-sp^ si conclude che^ P = hIX &)EIR.
FUNZONI LIPSCHITZIANE Il (^) rapporto incrementale (^) P 1 x,4) di und (^) funzione (^) fi: X-7 IR PLX) =hext-fiud^ xy XiyEX,x 44 rappreseita il^ coefficiente (^) angolare della^ retta^ passante per , punt, (^) ( x, hixle (^) y hlull del^ grafico dif. Le (^) funzions f : X-3 IR (^) il cu (^) rapporto incrementale é (^) limitato (^) indiperdetemente dalla scelta dix (^) t 4 meritano un nome (^). Una (^) funzione f:XEIR-3 IR S (^). DICe LIPSCHIZIANA^ in^ X^ se esiste una costante^ L^20 ( detta costante di Lipschitz) tale^ che^ : Ihixt-hlull ELIx-41 Vx,Y EX se (^) h:XEIR-71R é (^) lipschiziana in (^) x (^) , allora é^ continua in X. DIM.^ Sia^ L^ la^ costante^ di^ Lipschitz (^) dif. Se (^) L :o,^ he^ costante. Altriment, per (^) ogn E^7 o e^ per ogni Xo EX,^ scegliedo (^) 8- E s (^) , otfiere (^) : Thle )-hlxoDl^ ELI-xOKLS=E^ se^ k-xol^ cg S (^). FUNZIONI CINEARI X (^) -7 (^) 141, XEIR 1141-1411 (^) =1 (^) x-y 1 per (^) ogni XIYEIR guind, x-s^11 é^ lipaschitaiona^ con^ L^ =e. FUNZIONI (^) UNIFORMEMENTE CONTINUE Una (^) hunzione LIXEIRSe-7 IR^ S ,IdICe^ UNFORMEMENTE^ CONTINUA^ INX VEJO (^) FOSO:XYEX, IX
- YI 8 =3IhCx)-hlull aE la scelta di 8 nella (^) definizione di catinvita (^) diperde solo das enon da (^) xo (^). TUTTE LE FUNZION (^) , LIP SCHITZIANE SONO^ UNIFORMEMENTE^ CONTINUE (^)? MA NON VALE^ IL UICEVERSA
TEOREMA HEINE CANTOR la dimostrazione utilizza pochi ingredienti, ovvero la continuità di f in [a,b], la disuguaglianza triangolare e la seguente proprietà fondamentale: data una successione {an}, a valori in [a,b], esiste una sottosuccessione {Akn} che converge a un elemento di [a,b]. Sia (^) fi : LaibJ -3^ IR^ continua (^).^ Allora^ fe uniformemante continua in (^) La, bJ. DIMOSTRAZIONe (^). Supponiamo Per assurdo che (^) fnon sia (^) uniformemente continua in (^) La,b]. Questo significa che^ esiste^ s^70 tale^ che Voso Jx0, (^40) E(a,bJ : Io
- Yok elf O (xs)-hluolk?EO Scegliendo (^) o (^) -^ con^1 :1,2...^ escrivedo^ the^ yn^ anziche^ Xh.^ Yh, 5, ottergono due (^) succession (^) , EnseEyn} (^) a valori in (^2) a, bJ, tal (^) , che Ihexnt - hcunls, so e^ lyn-ynk^ f paiche acyn^ :b^ perognin,^ 5.puo^ estrarre^ da^ yn^ una^ sottosuccessione^ Exñn} convergeite in^ un^ punto^ x^ E^ La,b):^ Xan^ "7x^ pern^ - sto. In (^) effett, anche (^) Eyan (^) } converge (^) a x : m^ MEMBRO^1 my^ MEMBROZ^ per^ hp^. M 4 an-Xl - Klyan-Yal tKan (^) - Xll lan-Xanltkxan-xlcatkxan- disuguagcianza triangolareL (^) pern-3to kxtY 1 :^ Kxltlyl Per la (^) catinuita di (^) fin x ,^ flxmnt-s^ hixs e (^) hlumn )^ s^ hixl^ pern-sto,^ quind,^ hlxñnt - hlyan)-70 per n.7to. [ Go (^) eatraddice la (^) prima disuguaglianza e^ dimostra i (^) teorema (^). quindinon 7,^ E^ 0 A
