Gara Aste, Scienza delle Finanze, Dispense di Scienza delle Finanze

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Scienza delle finanze

Aste

Strategie

Acquirente: Prezzo e Probabilità (vincere e contenere la spesa); trade off

• Venditore: ricavare quanto più possibile dall’asta
• Esempio di comportamento strategico (utilizza gli strumenti della teoria dei giochi strategici)

Valutazioni private

Ogni offerente attribuisce un valore personale all’oggetto messo all’asta che non è noto agli altri (informazione privata): valutazione

• Diverse valutazioni dipendono dalla diversità delle preferenze e dei livelli di reddito
• Sulla base di tale valutazione ciascuno formula la propria offerta in presenza delle valutazioni degli altri partecipanti che non gli sono note e che pertanto egli tratta come se fossero variabili aleatorie

ESEMPIO

Supponiamo di partecipare ad un’asta per un quadro non particolarmente importante.

Per ciascuno dei partecipanti il valore del quadro dipende ad esempio dai gusti in fatto di pittura. Ciascuno sa quanto vale il quadro per lui, ma non per gli altri.

Supponiamo che A pensi che gli altri assegnino al quadro un valore compreso tra 3000 e 6000 euro e consideri egualmente probabile ogni valore compreso in questo intervallo.

Poiché tutti i numeri sono egualmente probabili il valore atteso delle estrazioni è 4500 euro.

Quattro tipi di asta

• Asta inglese "pubblica" (oggetti d’arte)

• Asta al primo prezzo (in busta chiusa) (appalti)

• Asta al secondo prezzo (in busta chiusa)

• Asta olandese "pubblica" (bulbi di tulipano)

Asta efficiente: asta che assegna il bene all’offerente che ne da la valutazione più elevata.

Equilibri: asta inglese (pubblica, secondo prezzo)

• Valutazione: 5000
• offerta (banditore): p
• Surplus = 5000 - p
• Strategia ottima: offrire fino a che p è inferiore a 5000 e poi non offrire più.

L’asta termina quando non resta in gara che un offerente e cioè quando il concorrente con la seconda valutazione più elevata cessa di rilanciare.

Il concorrente con la valutazione massima, non offre di più e si aggiudica l’asta al prezzo corrispondente alla valutazione del secondo miglior offerente.

Equilibri: Asta al secondo prezzo (in busta chiusa)

Avrebbe fatto meglio ad offrire un po’ di più della sua valutazione? ad esempio 5010?

Dividiamo i valori di b in tre fasce: -se b < 5000 surplus = 5000-b; si aggiudica l’asta -se b > 5010 surplus = 0; perde l’asta -se 5000 < b <= 5010, surplus<0 si aggiudica l’asta

In questo caso se avesse offerto 5000 avrebbe ugualmente perso l’asta ma avrebbe avuto un surplus pari a 0.

Offrire 5010 è pertanto una strategia dominata: ogni offerta superiore alla propria valutazione è una strategia dominata; analogamente lo è offrire un prezzo inferiore alla propria valutazione.

Efficienza ed equivalenza

Sia nell’asta inglese sia in questa in busta chiusa al secondo miglior prezzo esiste una strategia dominante: offrire un prezzo uguale alla propria valutazione.

In equilibrio con strategie dominanti otteniamo l’efficienza: il partecipante con la valutazione più elevata vince l’asta e paga il prezzo corrispondente alla seconda valutazione più elevata

Equilibri: Asta al primo prezzo (in busta chiusa) e "olandese"

Di quanto il prezzo offerto deve (può) essere minore della valutazione?

Supponiamo che tutti conoscano la valutazioni degli altri e che A abbia la valutazione più elevata.

Esiste un equilibrio in cui A offre il prezzo appena superiore alla seconda migliore valutazione e i suoi avversari offrono prezzi uguali alle rispettive valutazioni del bene. Infatti:

• se A offre di più della seconda migliore valutazione, vince, ma ottiene un surplus inferiore;
• se A offre di meno, il partecipante con la seconda migliore valutazione può batterlo ed A ha un surplus di 0. - Pertanto A non ha alcun incentivo a deviare dall’equilibrio. Anche gli altri partecipanti non hanno alcun incentivo a deviare in

quanto perdono comunque la gara e ottengono surplus nullo e quindi sono indifferenti tra le varie alternative.

Equilibri: Asta al primo prezzo (in busta chiusa) e "olandese"

Nel caso in cui le valutazioni degli antagonisti siano sconosciute?

• A = 5000 euro; - valutazione dei concorrenti distribuite uniformemente nell’intervallo 3000-6000. Innanzitutto si deve comportare come se dovesse vincere

la gara e quindi deve considerare l’intervallo 3000-5000:

• ogni partecipante deve comportarsi come se la sua valutazione fosse la più elevata e stabilire quale sia la seconda migliore valutazione attesa dopo la sua sulla base dei suoi beliefs (credenze) rivisti;
• infatti offrendo un prezzo pari ad essa ciascun partecipante massimizza il suo surplus atteso.

Equilibri: Asta al primo prezzo (in busta chiusa) e "olandese" - valutazioni sconosciute

ESEMPIO (no incentivo a deviare)

Se A offre più di 4000 euro aumenta la probabilità di vittoria, ma riduce il suo surplus nel caso di vincita.

Es. supponiamo che offra 4100 invece che 4000.

• Batterà tutti coloro che hanno una valutazione inferiore a 5200; infatti uno che valuta il quadro 5200 supporrà che la valutazione di A sia compresa tra 3000 e 5200 e quindi offrirà 4100.
• La probabilità che la valutazione dell’avversario sia minore di 5200 è: ( 5200 − 3000 )/( 6000 − 3000 ) = 2200 / 3000 = 0. 733.
• Quindi il surplus di A in caso di vittoria sarà: 5000(valutazione)- 4100(prezzo offerto)=900 e il surplus atteso = 0.733 *900= 657 euro (inferiore a quello precedente).

Se A offre meno di 4000 euro,ad es. 3900, riduce la sua probabilità di vittoria, ma aumenta il surplus in caso di vincita; analogamente è possibile dimostrare che il suo surplus atteso è inferiore a quello di 4000.

Strategia ottima

Quindi nel caso ci sia un solo avversario la strategia ottima è la seguente:

• partendo dalla propria valutazione come prezzo base da offrire
• aggiustarla verso il basso sottraendo la metà della differenza tra la propria valutazione e quella minima possibile.

Tale formula vale anche se ci sono più partecipanti all’asta. Se per esempio ci sono 4 partecipanti A dovrà aggiustare verso il basso la sua valutazione in ragione di 14 della differenza tra tale valutazione e quella minima possibile. Con 10 in ragione di 1/10.

Quindi l’offerta di A aumenta al crescere del numero dei partecipanti. Ne consegue che il venditore che vuole massimizzare il prezzo d’asta dovrebbe cercare di assicurare la più alta partecipazione possibile all’asta: più partecipanti, offerte più alte e maggiore ricavo per il venditore.

Equivalenza dei ricavi

Il punto di vista del venditore implica che per massimizzare i ricavi egli scelga la forma d’asta che gli assicura il prezzo più alto;

E’ possibile dimostrare che se le diverse forme d’asta danno strategie ottime diverse per gli acquirenti, sono sostanzialmente EQUIVALENTI per i venditori. In

effetti in tutti e quattro i tipi di asta vince l’offerente con la valutazione massima. Confrontiamo ora i prezzi.

Equivalenza dei ricavi: Tutti e quattro i tipi d’asta generano un equivalente ricavo atteso

• Asta inglese: prezzo di aggiudicazione = seconda migliore valutazione attesa;
• Asta al secondo prezzo: prezzo di aggiudicazione = seconda migliore valutazione attesa
• Asta al primo prezzo e asta olandese: prezzo di aggiudicazione = offerto dal partecipante che da la valutazione massima, corrisponde a quella che il vincitore si aspetta essere la seconda migliore valutazione