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Luoghi Geometrici
Capita, talvolta, che tutti i punti di una figura geometrica godano di una proprietà esclusiva, nel senso che nessun altro punto del piano gode della stessa proprietà. In tal caso, la figura geometrica si dice luogo geometrico rispetto a quella proprietà. È possibile pertanto dare la seguente definizione: si definisce luogo geometrico , o semplicemente luogo, ogni figura geometrica costituita da tutti e soli i punti di un piano che godono di una data proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo. Due esempi di luogo geometrico sono l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo. Infatti, i punti di un asse hanno come proprietà caratteristica quella di essere equidistanti dagli estremi del segmento, mentre i punti di una bisettrice sono equidistanti dai lati dell’angolo.
Dimostriamo la veridicità di tali proprietà (teoremi) per un generico punto P. Nel caso dell’asse di un
segmento si ha:
a IPOTESI
a - asse del segmento AB
P a
A B
TESI PA PB
Invece, nel caso della bisettrice di un angolo si ha: a angolo convesso IPOTESI
O Om – bisettrice
aOb ; P Om ;
H Oa , PH Oa ; K Ob , PK Ob
b TESI: PH (^) PK (segmenti perpendicolari) m O
M
P
X X P X X K
H
Piede della perpendicolare Piede della perpendicolare
La circonferenza ed il cerchio
L’esempio più comune di luogo geometrico è, comunque, quello della circonferenza. Si definisce circonferenza il luogo dei punti di un piano che sono equidistanti da un punto dato, detto centro. Il segmento che ha per estremi il centro di una circonferenza ed un punto qualsiasi di questa si dice raggio. Ovviamente, tutti i raggi sono congruenti. Inoltre, la loro lunghezza rappresenta la distanza comune tra i punti della circonferenza ed il centro e viene solitamente indicata con la lettera r. Si definisce poi cerchio la figura geometrica formata da una circonferenza e dalla parte di piano da essa delimitata. raggio OA Cerchio Circonferenza O
S
A
Poiché una circonferenza è sempre associata ad un cerchio, esse verranno indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto greco (solitamente ) simbologia usata, come sappiamo, per indicare i piani e le parti di piano.
Una generica circonferenza di centro O e raggio r viene solitamente indicata con la seguente simbologia:
O; r)
Le parti della circonferenza e del cerchio
Si definisce corda ogni segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza. In particolare, ogni corda che passa per il centro della circonferenza è detta diametro. Si dice anche che un diametro è il doppio del raggio. Si definisce arco la parte di circonferenza compresa tra due suoi punti. I due punti della circonferenza che delimitano l’arco si dicono gli estremi dell’arco. In particolare, l’arco i cui estremi coincidono con gli estremi di un diametro prende il nome di semicirconferenza. È possibile indicare un arco con due lettere maiuscole, quelle relative agli estremi, sormontate da un archetto.
r
diametro raggio corda O
Osserviamo che i lati di un angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti, che sono gli estremi di un arco. Analogamente al caso delle corde, si dice che l’angolo al centro sottende tale arco oppure che insiste su tale arco e, viceversa, che l’arco è sotteso dall’angolo al centro. In particolare, l’angolo al centro corrispondente ad una circonferenza è un angolo giro, mentre l’angolo al centro corrispondente ad una semicirconferenza è un angolo piatto. Si chiama poi arco nullo, arco i cui estremi coincidono, l’arco corrispondente ad un angolo al centro nullo. Si definisce settore circolare la figura geometrica formata da un arco, dai raggi che hanno un estremo negli estremi dell’arco e dalla parte di cerchio da essi delimitata. In particolare, se i due raggi sono perpendicolari il settore circolare prende il nome di quadrante circolare o, semplicemente, quadrante, mentre se i raggi sono adiacenti il settore che si ottiene è un semicerchio. Osserviamo anche che disegnando due raggi si individuano due settori circolari e non uno. Si definisce segmento circolare ad una base , o semplicemente segmento circolare, la figura geometrica formata da un arco, dalla corda che lo sottende e dalla parte di cerchio da essi delimitata. Si definisce segmento circolare a due basi la figura geometrica formata da due corde parallele, dai due archi che hanno per estremi gli estremi di tali corde e dalla parte di cerchio da essi delimitata. segmento circolare segmento circolare a due basi Ogni volta che si disegna una corda si vengono ad individuare due segmenti circolari, mentre se si disegnano due corde parallele restano determinati un segmento circolare a due basi e due segmenti circolari ad una base. settore circolare quadrante circolare semicerchio diametro semicirconferenza semicirconferenza
O
O
Le figure corrispondenti di una circonferenza
Ogni volta che su di una generica circonferenza si considerano due punti A e B qualsiasi, risultano
determinati senza ambiguità l’arco
AOB , la corda AB, l’angolo al centro
AOB , il settore circolare
AOBC ed il segmento circolare ABC. Più in generale, ognuna delle figure precedenti determina
univocamente le altre, per cui esse si dicono figure corrispondenti. a A O C B b Valgono, a tale proposito, i seguenti teoremi. 1° TEOREMA SULLE FIGURE CORRISPONDENTI: Se due corde, oppure due angoli al centro, oppure due archi, oppure due settori circolari, oppure due segmenti circolari sono congruenti, allora anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate sono congruenti. 2° TEOREMA SULLE FIGURE CORRISPONDENTI: Se due corde, oppure due angoli al centro, oppure due archi, oppure due settori circolari, oppure due segmenti circolari sono non congruenti, allora anche le restanti figure corrispondenti a quelle considerate sono non congruenti (con la stessa relazione di disuguaglianza!). I teoremi precedenti valgono anche quando i due elementi in questione (corde, angoli al centro, archi, settori circolari e segmenti circolari) si riferiscono a circonferenze congruenti^1 anziché alla stessa circonferenza. Un discorso analogo non può essere invece fatto nel caso di circonferenze non congruenti (vedi, ad esempio, gli archi corrispondenti ad angoli al centro di 90° in due circonferenze non congruenti). (^1) Condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano congruenti, è che i loro raggi siano congruenti (Criterio di congruenza delle circonferenze).
