Scarica geometria seconda superiore e più Appunti in PDF di Matematica solo su Docsity!
GEOMETRIA Cap. 6: LA CIRCONFERENZA
6 .1 - DEFINIZIONI
Siano: O un punto fissato del piano, r un segmento fissato.
Si dice “ circonferenza ” di centro O e raggio r
il luogo dei punti del piano
la cui distanza da O è uguale a r.
Si dice “ cerchio ” di centro O e raggio r
il luogo dei punti del piano
la cui distanza da O è minore o uguale a r.
Con simbologia insiemistica avremo:
P piano / OP r
P piano / OP r
circonferenza di centro O e raggio r
cerchio di centro O e raggio r
= ∈ =
= ∈ ≤
Quindi il “cerchio” è l'insieme formato dai punti di una circonferenza, più anche tutti i punti interni a questa.
E perciò, mentre la CIRCONFERENZA è una LINEA, il CERCHIO è una SUPERFICIE.
E’ evidente (e, volendo, facilmente dimostrabile, con considerazioni su movimenti rigidi e sovrapposizioni) che
se due circonferenze, o due cerchi, hanno ugual raggio allora sono uguali (=congruenti, sovrapponibili esattamente).
Un segmento che congiunga due punti
di una circonferenza prende il nome di " corda ".
Si dice " diametro " ogni corda passante per il centro.
Tutti i diametri di una stessa circonferenza sono uguali fra loro,
essendo ciascuno il doppio del raggio.
E’ facile dimostrare (vedi figura) che
una corda non passante per il centro è sempre minore del diametro :
basta congiungere le estremità della corda col centro, e ricordare che
in un triangolo ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due.
Si dice " arco " una parte di circonferenza
compresa fra due punti della circonferenza stessa
(detti "gli estremi" dell'arco in questione)
Nella figura
qui a sinistra:
i due archi
p AB e
q ACB
L'arco di estremi A, B si indica col simbolo
p AB. Poiché, tuttavia, esistono non uno solo, ma DUE archi
di estremi A e B, in caso di ambiguità si prenderà un altro punto qualsiasi C all'interno dell'arco che si
vuole considerare, e si parlerà di arco ( = arco che va da A fino a B, passando per C).
q ACB
Si suol dire che l'arco
q AB "sottende" la corda AB (e, quindi, si dirà che la corda AB "è sottesa" dall'arco
p AB ).
Una corda divide il cerchio
in due parti:
ciascuna di queste due superfici
si dice
" segmento circolare a una base ".
" Segmento circolare a due basi "
è la parte di cerchio compresa
fra due corde parallele
(in altre parole, l'intersezione
di un cerchio con una striscia).
Anche tracciando due raggi
il cerchio ne risulta
suddiviso in due parti:
ciascuna di queste prende il nome
di " settore circolare ".
Si dice " angolo al centro " un angolo che abbia il suo vertice nel centro della circonferenza.
E' facile dimostrare (immaginando di sottoporre il cerchio ad un
movimento rigido e precisamente a una rotazione intorno al centro O)
che in uno stesso cerchio, ad angoli al centro uguali corrispondono
archi uguali, corde uguali e settori uguali ; e che
valgono anche i vari "viceversa" di questo teorema.
Ovviamente, le stesse affermazioni restano valide anche se, invece
di pensare ad un solo cerchio, ci si riferisce a due cerchi uguali.
6 .2 - TEOREMI FONDAMENTALI SULLA CIRCONFERENZA
TEOREMA
Per tre punti non allineati (cioè: che non giacciono su di una stessa retta)
passa una circonferenza ed una sola.
I POTESI
A, B, C non allineati
T ESI
Esiste
una
e una sola
circonferenza,
che passa per i tre punti A, B, C
Dimostrazione
ESISTENZA
Siano a, b gli assi dei due segmenti AB e BC.
Osserviamo che le due rette a, b devono per forza incontrarsi, perché sono perpendicolari a due rette incidenti.
Più in dettaglio: se, per assurdo, a e b fossero parallele, allora a, oltre ad esser perpendicolare ad AB,
cadrebbe perpendicolarmente anche sul prolungamento di BC (in quanto parallela ad una perpendicolare a BC),
e si formerebbe un triangolo con due angoli retti, il che è impossibile.
Sia dunque D il punto di incontro dei suddetti due assi a, b.
Ricordiamo che l'asse di un segmento (cioè, la perpendicolare a quel segmento nel suo punto medio) risulta essere
il luogo geometrico dei punti del piano aventi la proprietà di essere equidistanti dagli estremi del segmento dato.
Perciò, poiché D appartiene all'asse di AB, avremo DA=DB;
e poiché D appartiene anche all'asse di BC, sarà pure DB=DC.
In definitiva, avremo DA=DB=DC e, di conseguenza, puntando il compasso in D con apertura DA,
la circonferenza tracciata passerà anche per B e per C.
L'esistenza di una circonferenza passante per tutti e tre i punti A, B, C è così dimostrata.
UNICITA'
Tale circonferenza è poi unica, perchè la posizione del suo centro è univocamente determinata.
Infatti, esclusivamente il punto D della costruzione da noi effettuata
ha la proprietà di essere equidistante da A, B e C:
se un punto O è tale che OA=OB=OC, allora O deve stare sia sull'asse di AB (per il fatto che OA=OB)
che sull'asse di BC (per il fatto che OB=OC),
quindi deve per forza coincidere col punto di intersezione di tali due assi, ovvero con D.
OSSERVAZIONE
Il teorema precedente si potrebbe anche enunciare dicendo che
"Tre punti non allineati INDIVIDUANO una circonferenza ed una sola".
Il termine "individuare" in Matematica è adoperato per indicare che
"ad un certa cosa si può associare, in modo unico, una certa altra cosa".
Altri esempi:
- Due punti distinti su di un piano "individuano" una retta.
- Una coppia ordinata di interi, il secondo dei quali ≠ 0 , "individua" un numero razionale
TEOREMA
La perpendicolare ad una corda condotta dal centro
della circonferenza dimezza la corda stessa (quindi, ne è asse).
Per la dimostrazione, basta congiungere gli estremi della corda col centro: si forma
un triangolo che è isoscele, perciò l’altezza relativa alla base fa anche da mediana.
TEOREMA
L'asse di ogni corda passa per il centro.
Conseguenza del teorema precedente.
Oppure, in modo ancora più diretto, si può ragionare così:
il centro è equidistante dagli estremi della corda, perciò appartiene all'asse di questa.
TEOREMA
(the “Hat” Theorem = il Teorema “del Cappello”!)
Vedi anche pagina successiva a questo riguardo
Se da un punto esterno si conducono le due tangenti ad una circonferenza,
allora:
I) i due segmenti di tangente sono uguali;
II) la congiungente il punto esterno col centro è bisettrice
- sia dell’angolo formato dalle due tangenti,
- sia dell’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto;
III) infine, tale congiungente è l’asse della corda avente per estremi i punti di contatto.
I POTESI
PA, PB tangenti
TESI
I) PA =PB
II)
l l P 1 = P ; O 2 1 =O 2
III) PO è l’asse di AB
DIMOSTRAZIONE
I) Basta confrontare i due triangoli POA, POB.
Essi sono entrambi rettangoli
perché una tangente è sempre perpendicolare al raggio che va al punto di contatto,
e sono uguali per il Criterio Particolare di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli
(ipotenusa OP in comune, OA = OB perché raggi di una stessa circonferenza).
Segue subito la tesi.
I I) Conseguenza immediata dell’uguaglianza di triangoli dimostrata per la parte I)
III) Il punto P è equidistante dagli estremi del segmento AB (infatti PA = PB come già dimostrato);
quindi, P appartiene all’asse di AB. Lo stesso dicasi del punto O:
si ha OA = OB perché entrambi raggi, quindi O appartiene all’asse di AB.
Ma allora PO, congiungente due punti dell’asse di AB, è l’asse di AB, c.v.d.
Vedi la pagina a fianco per una trattazione molto sintetica, in Inglese, dell’argomento “rette tangenti”,
compreso il precedente “Teorema del Cappello”.
Potrai osservare come in lingua Inglese diversi nomi di teoremi siano particolarmente azzeccati!
Nel nome, infatti, sovente abbiamo anche una schematizzazione molto efficace dell’enunciato.
Già avevamo visto a suo tempo come i tre Criteri di Uguaglianza dei Triangoli
vengono detti, in Inglese, rispettivamente:
- the Side-Angle-Side Theorem (SAS): 1° Criterio
- the Angle-Side-Angle Theorem (ASA): 2° Criterio
- the Side-Side-Side Theorem (SSS): 3° Criterio
Qui potrai notare altre denominazioni molto “indovinate”, quali:
- the “Hat” theorem appunto
- the Hypotenuse Leg Postulate,
ossia quello che noi avevamo chiamato
“Criterio Particolare di Uguaglianza dei Triangoli Rettangoli”:
“Se due triangoli rettangoli hanno rispettivamente uguali
l’ipotenusa (Hypothenuse) e un cateto (Leg),
allora sono uguali”.
L’uso qui del termine “Postulate” anziché “Theorem” ci fa capire che nella loro
organizzazione della Geometria, gli autori del sito www.regentsprep.org da cui è tratta la pagina
hanno ritenuto di inserire questo enunciato fra gli Assiomi o Postulati anziché fra i Teoremi.
NOTA: lato (di triangolo, o di poligono) = Side ; cateto , in un triangolo rettangolo = Leg
Dal sito www.regentsprep.org:
Tangents and Circles
A tangent to a circle is a line in the plane of the circle that intersects the circle in exactly one point.
If you spin an object
in a circular orbit
and release it,
it will travel on a path
that is tangent
to the circular orbit.
Theorem:
If a line is tangent to a circle,
it is perpendicular to the radius
drawn to the point of tangency.
IF: AB is a tangent
D is point of tangency
THEN: OD ⊥AB
Theorem:
Tangent segments to a circle
from the same external point
are congruent.
(You may think of this as
the "Hat" Theorem
because the diagram looks like
a circle wearing a pointed hat.)
IF: AB is a tangent to circle O at A
CB is a tangent to circle O at C
THEN: CA = CB
This theorem can be proven using congruent triangles and the previous theorem.
The triangles shown below are congruent by the Hypotenuse Leg Postulate for Right Triangles.
The radii (legs) are congruent and the hypotenuse is shared by both triangles.
By using Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent, this theorem is proven true.
COROLLARIO 1
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su di uno stesso arco sono uguali.
Infatti sono tutti uguali a metà dello stesso angolo al centro!
Nella figura:
l l l l V = V ' = V'' = V''' =...
perché sono tutti uguali a
l
1
AOB
2
COROLLARIO 2
Un angolo alla circonferenza che insiste su di una semicirconferenza
(o, come si preferisce dire, che "è inscritto" in una semicirconferenza;
o, come si suole anche dire seppure impropriamente, che "insiste su un diametro"),
è RETTO.
Nella figura, l’angolo alla circonferenza
l AVB
" insiste " sulla semicirconferenza
che va da A fino a B, e NON passa per V;
si può anche dire (e, in effetti, si preferisce dire)
che " è inscritto " nell’ altra semicirconferenza
(quella che va da A fino a B, passando per V).
Bene! è retto, perché è metà
l AVB
dell’angolo al centro corrispondente
l AOB
che è piatto.
IN ALTERNATIVA ,
la dimostrazione dello stesso enunciato
si potrebbe anche effettuare
applicando, al triangolo ABV, il teorema secondo cui
"se in un triangolo la mediana relativa ad un lato
è metà del lato stesso,
allora il triangolo è rettangolo
(e, precisamente, l'angolo retto
è quello opposto al lato in questione)".
COROLLARIO 3
In un triangolo rettangolo, la circonferenza avente per diametro l'ipotenusa
passa per il vertice dell'angolo retto.
Questo teorema, che può essere pensato come l'inverso
del precedente corollario 2, si può dimostrare in diversi modi.
Ad esempio, è bella la seguente dimostrazione per assurdo.
Sia ABC un triangolo rettangolo in C;
se la circonferenza di diametro AB non passasse per C,
allora intersecherebbe il lato BC (o il suo prolungamento)
in un punto D distinto da C.
Perciò l'angolo
l ADB sarebbe retto perché inscritto in una
semicirconferenza, ed essendo pure retto (per ipotesi) l'angolo
l ACB ,
dal punto A si potrebbero condurre alla retta BC
due distinte perpendicolari,
mentre sappiamo che la perpendicolare
per un punto dato a una retta data è unica.
L’assurdo trovato dimostra la tesi.
6.5 - POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE
Due circonferenze (per tutte le figure di questa pagina, s’intende di indicare i due raggi con r ed r ')
possono essere: esterne, tangenti esternamente, secanti, tangenti internamente, interne.
Nel caso di due circonferenze ESTERNE si ha
OO' > r + r'
(vale a dire, la distanza fra i centri
è maggiore della somma dei raggi)
NOTA - Dire che
“la congiungente i due centri
passa per il punto di contatto”
equivale, evidentemente, a dire che
“i due raggi tracciati
da ciascun centro al punto di contatto
stanno uno sul prolungamento
dell’altro (=formano angoli di 180°)”
Nel caso di due circonferenze TANGENTI ESTERNAMENTE
i due centri e il punto di contatto sono allineati
(in altre parole, la congiungente i due centri
passa per il punto di contatto; vedi NOTA ).
Ciò è del tutto evidente all’intuizione
per motivi di simmetria; ma è anche dimostrabile
(vedi APPROFONDIMENTO 1 alla pagina successiva).
Ne deriva che OO' = r + r'
( la distanza fra i centri è uguale alla somma dei raggi )
Nel punto di contatto, le due circonferenze
ammettono una retta tangente comune :
infatti la perpendicolare ad OO '
passante per il punto di contatto T
- è tangente alla circonferenza di centro O
(perché perpendicolare al raggio OT nel suo estremo)
- ed è anche tangente alla circonferenza di centro O '
(perché perpendicolare al raggio O 'T nel suo estremo)
Nel caso di due circonferenze SECANTI , si ha
OO' < r + r'
E’ inoltre facile dimostrare
(APPROFONDIMENTO 2 alla pagina successiva)
che la congiungente i centri ( OO')
è l’asse della corda comune (AB)
Anche nel caso di due circonferenze
TANGENTI INTERNAMENTE si può dimostrare
(come d’altronde si intuisce per evidenti motivi di simmetria)
che i due centri e il punto di contatto sono allineati ,
ossia che la congiungente i due centri, se prolungata,
passa per il punto di contatto , oppure, volendo, che
i due raggi aventi un estremo nel punto di contatto
sono parzialmente sovrapposti ).
Ne deriva che OO' = r − r' (se r 'è il raggio più piccolo):
la distanza fra i centri è uguale alla differenza dei raggi.
La perpendicolare ad OO 'nel punto di contatto T,
essendo simultaneamente perpendicolare ai due raggi OT e O' T
nel loro estremo, è tangente ad entrambe le circonferenze.
Nel caso
delle
circonferenze
INTERNE ,
si avrà
OO' < r − r'
Un caso particolare
di circonferenze interne
è rappresentato da due
circonferenze
CONCENTRICHE
( = aventi lo stesso centro).
6 .6 - POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA
Definizione
Un poligono si dice:
" inscritto in una circonferenza" se
tutti i suoi vertici stanno sulla circonferenza
" circoscritto ad una circonferenza" se
tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza
Se un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che questa circonferenza è " circoscritta " al poligono;
e se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, questa si dirà “ inscritta " nel poligono.
PROPRIETA’ DEI QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
TEOREMA
In un quadrilatero inscritto, o inscrivibile, in una circonferenza,
gli angoli opposti sono supplementari.
I POTESI ABCD inscritto (o inscrivibile) in una circonferenza
TESI
l l l l A + C = 180 ,° B + D = 180 °
Dimostrazione
l l
l l
l l l l
l l
( )
(angolo alla circ., angolo al centro corrispondente) convesso
concavo
convesso concavo
convesso concavo
1
A BOD
2
1
C BOD ( "
2
1 1
A C BOD BOD
2 2
1 1
BOD BOD 360 180
2 2
=
=
= + = ⋅ ° = °
)
… e analogamente, tracciando OA e OC, per la somma
l l B + D.
TEOREMA (inverso del precedente)
Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una circonferenza.
IPOTESI ABCD ha gli angoli opposti supplementari:
l l l l A + C = 180 ; B° + D = 180 °
TESI ABCD è inscrivibile in una circonferenza
( = esiste una circonferenza, che passi per tutti e quattro i punti A, B, C, D)
Dimostrazione
Consideriamo la circonferenza (certamente esistente, per un teorema noto)
che passa per i tre punti A, B, C: vogliamo dimostrare che essa contiene anche D.
Infatti, se, per assurdo, tale circonferenza NON passasse per D,
allora intersecherebbe la retta CD in un punto E, distinto da D (NOTA).
Il quadrilatero ABCE sarebbe dunque inscritto in una circonferenza, e di conseguenza, per il teorema diretto,
avrebbe gli angoli opposti supplementari; in particolare,
l AEC sarebbe supplementare di.
l B
Ma anche
l ADC è, per ipotesi, supplementare di , quindi si avrebbe :
l B
l l AEC =ADC
entreremmo così in contraddizione col Teorema dell’Angolo Esterno (applicato al triangolo AED).
NOTA:
il punto E potrebbe trovarsi all’interno del segmento CD, oppure su uno dei suoi prolungamenti;
comunque il ragionamento da farsi è, in entrambi i casi, il medesimo.
TEOREMA. In un quadrilatero circoscritto, o circoscrivibile, ad una circonferenza,
la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due.
IPOTESI ABCD circoscritto (o circoscrivibile) ad una circonferenza
TESI AB+DC = AD+BC
Dimostrazione
Molto semplice, basata sul
“teorema del Cappello”,
quello secondo il quale
i due segmenti di tangente
condotti a una circonferenza
da un punto esterno sono uguali. (^) AB DC AD BC
AE AH
BE BF
CG CF
DG DH
AE BE CG DG AH BF CF DH
=
=
=
=
TEOREMA (inverso del precedente)
Un quadrilatero in cui la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due,
è circoscrivibile ad una circonferenza.
IPOTESI AB+DC = AD+BC
TESI ABCD è circoscrivibile ad una circonferenza
( = esiste una circonf., che sia tangente a tutti e quattro i lati di ABCD)
Dimostrazione
Consideriamo la circonferenza tangente a TRE dei quattro lati,
ad esempio ai lati AD, AB e BC (NOTA);
vogliamo dimostrare che tale circonferenza è tangente anche al lato rimanente DC.
Infatti, se, per assurdo, la circonferenza in questione non fosse tangente a DC,
allora, conducendo da D l’altra tangente (oltre a DA) alla circonferenza,
tale tangente sarebbe una retta distinta da DC,
e, quindi, andrebbe a intersecare la retta BC in un punto E, distinto da C.
Il quadrilatero ABED risulterebbe, dunque, circoscrivibile ad una circonf., e di conseguenza, per il teor. diretto,
la somma di due suoi lati opposti sarebbe uguale alla somma degli altri due: AB + DE = AD + BE.
Tuttavia si ha anche, per ipotesi, AB + DC = AD + BC…
… quindi da quanto scritto seguirebbe, sottraendo membro a membro, che DC − DE = BC − BE.
Ma BC − BE =CE, e allora nel triangolo CDE un lato sarebbe uguale alla differenza degli altri due: assurdo.
NOTA Occorre però, se si vuol esser rigorosi, dimostrare l’ESISTENZA di detta circonferenza.
A tale scopo, consideriamo la bisettrice a dell’angolo e la bisettrice b dell’angolo.
l A
B
Ciascuno dei due angoli e è minore di un angolo piatto;
l A
B
quindi la somma delle loro metà è minore della somma di due retti, ossia minore di un piatto.
Insomma,
l l A 1 + B 1 < 180 ° e quindi le due rette a e b, non formando
angoli coniugati interni supplementari, non sono parallele: si devono incontrare.
Indichiamo con W il loro punto di intersezione, e proiettiamo W su AD, AB, BC.
Poiché W appartiene alla bisettrice di , avremo , e poiché W
l A WH =WK
appartiene anche alla bisettrice dell’angolo , avremo pure.
B WK =WS
In definitiva, è WH = WK = WS. Se noi ora puntiamo il compasso in W
con apertura uguale a WH = WK = WS, la circonferenza che tracceremo:
I) passerà per H, K, S;
II) e sarà tangente, in questi punti, alle tre rette AD, AB e BC, per il fatto che
ciascuna di queste tre rette è perpendicolare ad un raggio nel suo estremo.
La nostra tesi (l’esistenza di una circonf., tangente a tutte e tre le rette AD, AB, BC) resta così provata.
TEOREMA
Per ogni TRIANGOLO, esistono sempre
sia la circonf. inscritta che la circonf. circoscritta.
♪ Il centro della circonferenza INSCRITTA
coincide col punto di incontro delle BISETTRICI,
ossia con l’ INCENTRO;
♫ il centro della circonferenza CIRCOSCRITTA
coincide col punto di incontro degli ASSI,
ossia col CIRCOCENTRO.
La dim. è basata su enunciati già acquisiti
… comunque, puoi vederla a pag. 185.
RIPASSO della circonferenza
tramite il sito www.mathsisfun.com
Tangent Angle
A tangent is a line that just touches a circle at one point.
It always forms a right angle
with the circle's radius as shown here.
Ti ricordi la dimostrazione (per assurdo)?
Inscribe dAngle:
an angle made from points sitting
on the circle's circumference
A and C are "end points"; B is the "apex point"
Inscribed Angle Theorems
An inscribed angle a°
is half of the central angle 2a°
(called the Angle at the Center Theorem )
Sapresti fare la dimostrazione
con riferimento alla figura qui a fianco?
Ti ricordi quali sono gli angoli alla circonferenza
“di seconda specie”?
Vale anche per essi il teorema?
And (keeping the endpoints fixed)
the angle a° is always the same,
no matter where it is on the circumference
( Angles Subtended by Same Arc Theorem )
Perché questo teorema è un corollario del precedente?
Angle in a Semicircle
An angle inscribed in a semicircle
is always a right angle
(the end points are either end of a circle's diameter,
the apex point can be anywhere on the circumference)
Ti ricordi come si dimostra?
Cyclic Quadrilateral
A "Cyclic" Quadrilateral
has every vertex on a circle's circumference
A Cyclic Quadrilateral's opposite angles add to 180°:
a° + c° = 180°; b° + d° = 180° [gradi = degrees]
Ti ricordi come si dimostra?
E qual è, invece, la proprietà caratteristica
dei quadrilateri CIRCOscritti?
Dimostrala, utilizzando la figura qui a destra
V, W, X and Y →
are points on the
circumference.
Chords VX and WY
intersect
at the point Z.
^ XVW = 72°
and ^VXY = 38°.
What is the size
of ^VZW?
Le RISPOSTE
sono le soluzioni
delle seguenti equazioni:
( ) ( )
2 2
x + 12 = x + 4 5 x + 106 ↑
(^3) ( x + (^1) ) + 64 = (^5) ( x − (^1) ) →
RS and RT are tangents
to the circle center O.
^SUT = 72°
What is the size
of ^SRT?
8) ESERCIZIO SVOLTO
In una circonferenza di centro O, sia AB un diametro.
Condotte le tangenti alla circonferenza in A e in B,
e una terza tangente
che incontri le altre due in C e in D,
dimostrare che è retto.
l COD
HP AB diametro, T punto della circonferenza
AC, BD, CD (per T) tangenti
TH
l COD = 90°
NOTA
♥ In generale, quando si traccia
una tangente ad una circonferenza,
è sempre consigliabile
evidenziare con un quadratino
gli angoli retti che essa forma
con il raggio che va ai punti di contatto.
DIMOSTRAZIONE
E’ noto che quando da un punto esterno partono due tangenti a una circonferenza,
la congiungente il punto esterno col centro è bisettrice
sia dell’angolo formato dalle due tangenti,
sia dell’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto.
Ora, pensando alle due tangenti che si tagliano in C, ne consegue
l l O 1 =O 2
e pensando alle due tangenti che si tagliano in D, ne deriva
l l O 3 =O 4
Allora, poiché
l l l l O 1 + O 2 + O 3 + O 4 = 180 ° , si avrà
l l l l
l l
l l
l l
l
2 2 3 3
2 3
2 3
2 3
2 2
2
O O O O 180
O O 180
O O 180
O O 90
ossia
COD 90 , c.v.d.
- Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due tangenti,
l’angolo da queste formato e l’angolo formato dai due raggi che vanno ai punti di contatto
sono fra loro supplementari.
10) Ö Siano PA e PB le due tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno P.
Sia C un punto arbitrario, preso sul più piccolo dei due archi di estremi A e B.
Si tracci la tangente in C e si indichino con D, E i punti in cui questa tangente interseca PA e PB.
Dimostrare che il perimetro del triangolo PDE rimane costante, al variare del punto C.
1 1) ☼ ( dimostrazione guidata a pagina 186 )
Prese due circonferenze concentriche (sia O il centro comune),
e un punto A esterno ad entrambe,
si tracciano le due tangenti AB, AC alla circonferenza maggiore,
e le due tangenti AD, AE alla minore (con B, D situati dalla stessa parte rispetto ad AO).
E’ richiesto di dimostrare che:
I.
l l BAD =CAE
II. BCED è un trapezio isoscele
III. il punto di incontro delle diagonali di BCED sta su AO.
1 2) ESERCIZIO SVOLTO
In una circonferenza di centro O
è inscritto un triangolo ABC (vedi figura).
Si tracciano l’altezza AH e il diametro AD.
E’ richiesto di dimostrare che
i due angoli sono uguali
l l BAH e DAC
HP ABC triangolo inscritto
AH ⊥BC
TH
l l BAH = DAC
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo C con D.
L’angolo è retto perché inscritto in una semicirconferenza.
l ACD
Gli angoli e
l B
l D sono uguali perché angoli alla circonferenza che insistono su di uno stesso arco.
Allora i due triangoli ABH e ADC,
poiché hanno due angoli rispettivamente uguali,
avranno uguale anche l’angolo rimanente:
l l l l l l BAH = 180° − AHB − B = 180° − ACD −D = DAC
1 3) ☼ (vedi figura; dimostrazione guidata a pagina 187 )
Considera un angolo alla circonferenza
l BAC ,
con B e C sulla circonferenza,
tracciane la bisettrice, fino ad incontrare la circonferenza in D,
poi per D traccia la parallela al lato AB dell’angolo,
che incontri la circonferenza in E.
Dimostra a questo punto che DE = AC.
14) Ö Se i punti V, V ', V '', V ''', ...
“vedono un segmento dato AB sotto lo stesso angolo”,
vale a dire:
se
l l m m AVB = AV 'B = AV ''B = AV '''B = ...,
allora i punti A, B, V, V ', V '', V ''', ...stanno su di una stessa circonferenza
( dimostra, per assurdo,
che la circonferenza passante per i 3 punti A, B, V
deve necessariamente passare anche per V’ )
- Dimostra che la circonferenza, avente per diametro uno dei lati di un triangolo,
interseca gli altri due lati nei piedi delle altezze ad essi relative.
- Siano PA e PB le due tangenti a una circonferenza condotte da un punto esterno P.
Sia F un punto arbitrario, preso sul maggiore dei due archi di estremi A e B.
La somma
l l PAF + PBFrimane costante, al variare del punto F: dimostralo.
17) Ö La tangente nel punto medio di un arco è parallela alla corda sottesa dall’arco stesso;
e viceversa ,
se in una circonferenza una tangente è parallela a una corda, allora
il punto di contatto è il punto medio dell’arco che sottende la corda.
NOTA - Ricorda che in una circonferenza ad angoli al centro uguali
corrispondono archi uguali e corde uguali, e viceversa.
- (importante; ESERCIZIO SVOLTO)
Per ogni TRIANGOLO, esiste sempre la circonferenza INSCRITTA.
Il suo centro coincide col punto di incontro delle BISETTRICI, ossia con l’ INCENTRO.
Sia ABC un triangolo qualsiasi.
Tracciamo le bisettrici dei tre angoli interni:
esse, come sappiamo, si incontreranno in uno stesso punto
(l’ incentro , indicato in figura con I).
E’ noto che ogni punto della bisettrice di un angolo è equidistante
dai lati dell’angolo stesso: quindi si avrà IH = IK = IS.
Perciò, se si punta il compasso in I con raggio IH = IK = IS,
la circonferenza tracciata passerà per i 3 punti H, K, S,
che appartengono ai lati del triangolo e in corrispondenza dei quali
tali lati, formando angoli retti col raggio, risulteranno tangenti alla circonferenza stessa. Il triangolo ABC
sarà perciò circoscritto alla circonferenza tracciata, e questa sarà a sua volta inscritta nel triangolo dato.
- (importante; ESERCIZIO SVOLTO)
Per ogni TRIANGOLO, esiste sempre la circonferenza CIRCOSCRITTA.
Il suo centro coincide col punto di incontro degli ASSI dei lati, ossia col CIRCOCENTRO.
Che per tre punti distinti e non allineati passi una (e una sola)
circonferenza ci è già noto. Qui è però anche richiesto di dimostrare
che il centro di tale circonferenza coincide col circocentro del triangolo.
Sia ABC un triangolo qualsiasi. Tracciamo gli assi dei tre lati:
essi, come sappiamo, si incontreranno in uno stesso punto
(il circocentro , indicato in figura con J).
E’ noto che ogni punto dell’asse di un segmento è equidistante
dagli estremi del segmento stesso: quindi si avrà JA = JB = JC.
Perciò, se si punta il compasso in J con raggio JA = JB = JC,
la circonferenza tracciata passerà per i 3 punti A, B, C
e sarà dunque la circonferenza circoscritta in questione.
Le parole “INcentro” e “CIRCOcentro”, usate per indicare risp.
il punto di incontro delle bisettrici e degli assi dei lati in un triangolo,
sono dovute proprio al fatto che tali punti notevoli coincidono
col centro della circonferenz aINscritta e CIRCOscritta.
Altri esercizi ( TEOREMI MOLTO IMPORTANTI , DA TENERE A MEMORIA !)
☼ Un trapezio inscritto in una circonferenza è sempre isoscele ( figura ; dim. guidata a pag. 188 )
☼ In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti supera l’ipotenusa di un segmento
uguale al diametro della circonferenza inscritta nel triangolo ( figura ; dim. guidata a pag. 188 )
- ☼ Se un trapezio è circoscritto ad una SEMIcirconferenza (cioè, se la sua base maggiore sta
sulla retta del diametro, e lati obliqui e base minore sono tangenti alla semicirconferenza), allora
la base maggiore è uguale alla somma dei due lati obliqui ( figura ; dim. guidata a pag. 188 )
COROLLARIO: In un trapezio ISOSCELE circoscritto ad una SEMIcirconferenza
la base maggiore è il doppio del lato obliquo
( = il lato obliquo è metà della base maggiore). Vedi figura.
- In ogni triangolo, oltre alle circonf.
inscritta e circoscritta, esistono anche
le tre circonferenze “ex-inscritte”,
ciascuna tangente a un lato e ai
prolungamenti degli altri due lati.
Dove stanno i loro centri? Ö
☼ DIMOSTRAZIONI GUIDATE di alcuni fra gli esercizi (freccia = link alla dimostrazione completa)
Ö
DIM.
HP: PA =QB
TH: PO =QO
Dal centro O, tracciamo la perpendicolare OH alla corda AB.
Un teorema noto ci assicura che H è il punto medio di AB: HA = HB.
Dunque, per differenza di segmenti uguali, è HP = HQ:
HP = ... − ... = ... −... = HQ oppure
HP (^) HQ
HA = HB
... = ...
HA − ... = HB −...
Ora, confrontando i due triangoli OHP e OHQ, li si dimostra subito uguali per il … da cui la tesi.
Ö
DIM.
HP: AB, AC, AD, AE
tangenti a due
circonferenze
concentriche
TH
I)
l l BAD =CAE
II) DE &BC, BD =CE
III) il punto di incontro
delle diagonali di BCED
sta su AO
I) E’ noto che quando da un punto esterno si conducono le due tangenti ad una circonferenza,
la congiungente il punto esterno col centro fa da … per l’angolo formato dalle due tangenti. Perciò
l
l
l l
OAB ...
OAD ...
... ... ... ...
BAD CAE
=
=
− = −
=
II) Lo stesso teorema sulle due tangenti condotte a una circonferenza da un punto esterno afferma pure
che la congiungente il punto esterno col centro è … della corda che ha per estremi i punti di contatto.
Quindi AO ⊥ BC, AO ⊥DE
e di conseguenza BC e DE, essendo entrambe perpendicolari ad AO, sono … fra loro.
Con ciò resta provato che BCED è un trapezio.
Per far vedere che si tratta di un trapezio isoscele, occorre dimostrare che BD = … ;
a tale scopo basta rilevare che i due triangoli ABD e ACE sono uguali per il … avendo:
AB = AC perché … ; AD = AE per lo stesso motivo; come già dimostrato.
BAD =CAE
III) Come sappiamo, in un trapezio isoscele le diagonali si tagliano in parti … Detto perciò W il punto
di intersezione delle diagonali del nostro trapezio isoscele BCED, si ha WB = … , WD = ….
La prima uguaglianza ci dice che W è equidistante dalle estremità del segmento BC,
quindi appartiene all’ … di BC. Ma l’asse di BC, come abbiamo visto al punto II),
è la congiungente AO! Quindi W appartiene ad AO, c.v.d.
