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Proprietà delle circonferenze
Vengono riportate alcune proprietà (teoremi) delle circonferenze.
- TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITA’ DELLA CIRCONFERENZA: Per tre punti non allineati
passa una ed una sola circonferenza.
- TEOREMA DEL DIAMETRO: Se in una circonferenza consideriamo un diametro ed un’altra
corda che non passa per il centro, allora il diametro è maggiore della corda.
In virtù di questo teorema si dice anche che, in una circonferenza, un diametro è una corda massima.
IPOTESI
A O B ( ; r); AB diametro ; CD corda non passante per il centro
C D TESI
AB > CD
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo il centro O della circonferenza con gli estremi della corda CD in modo da
costruire il triangolo COD. La corda CD è un lato di tale triangolo per cui essa è minore della
somma degli altri due lati (Teorema del lato). Di conseguenza, possiamo scrivere OC + OD >
CD. I lati OC ed OD sono però due raggi, quindi la loro somma è un segmento congruente al
diametro AB. Pertanto, AB > CD ossia il diametro è maggiore della corda (c.v.d.).
- TEOREMA DELL’ASSE: Se in una circonferenza consideriamo una retta passante per il centro e
perpendicolare ad una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano
divisi in due parti congruenti da tale retta.
Per costruire tale circonferenza si considerano su di un generico piano tre punti non allineati
qualsiasi A , B, e C. Dopo di ciò, si congiunge uno di essi con gli altri due in modo da ottenere
due segmenti. Dei segmenti così ottenuti si tracciano poi gli assi corrispondenti i quali s’intersecheranno
in un punto O che, appartenendo ai due assi, è equidistante contemporaneamente da A , B, e C e,
quindi, è il centro della circonferenza cercata. Infine, si punta il compasso in O e con apertura OA
oppure OB oppure OC si traccia la circonferenza.
Questa costruzione può essere utilizzata sia per disegnare la circonferenza passante per tre
generici punti non allineati del piano sia per individuare il centro di una circonferenza a partire
da tre dei suoi infiniti punti.
Osserviamo anche che se i tre punti fossero allineati (appartenenti, cioè, alla stessa retta) gli assi
risulterebbero paralleli con l’impossibilità quindi di determinare il centro dell’ipotetica circonferenza.
Questo teorema può essere utilizzato per dividere in due parti congruenti un
arco oppure un angolo al centro dividendo al loro posto la corda corrispondente.
Basterà, infatti, tracciare la retta passante per il centro della circonferenza e
perpendicolare alla corda o, se si preferisce, la retta passante per il centro della
circonferenza e per il punto medio della corda (asse della corda).
IPOTESI: ( ; r); AB corda ; a AB ; O a
TESI: AM MB ;
AOC COB
AC CB
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo il centro O della circonferenza con gli estremi della corda AB in modo da
costruire il triangolo AOB. Quest’ultimo è isoscele perché i lati OA ed OB sono due raggi.
Pertanto, il segmento OM è altezza in quanto, per ipotesi, a AB. In un triangolo isoscele
(Teorema del vertice) l’altezza è mediana, quindi AM MB, e bisettrice, quindi
AOC COB.
Inoltre, in una circonferenza ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti (1°
teorema sulle figure corrispondenti), per cui è anche
AC CB (c.v.d.).
- TEOREMA DELLE DISTANZE: Condizione necessaria e sufficiente affinché due corde
siano congruenti, è che abbiano la stessa distanza dal centro; se le corde sono non
congruenti quella maggiore (minore) ha distanza minore (maggiore) dal centro e viceversa.
Le due corde possono appartenere alla stessa circonferenza oppure a circonferenze congruenti.
D
C
Questo teorema può essere utilizzato per
confrontare le distanze del centro di una
circonferenza da due corde, misurando la
lunghezza delle corde anziché le distanze
stesse.
a
x x
AB>CD OH
6. TEOREMA DELLE CORDE:
Se due corde qualsiasi di una generica circonferenza (O; r) s’intersecano, allora i segmenti che si
formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda corda sono, rispettivamente, i medi e gli
estremi di una stessa proporzione.
IPOTESI
( ; r); AB, CD corde; AB CD =
E ;
E interno a
TESI
AE : CE = ED : EB
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo A con D e B con C in modo da costruire i triangoli AED e BEC. Questi due triangoli
sono simili per il primo criterio di similitudine dei triangoli perché hanno
AED BEC , in quanto
angoli opposti al vertice, e
DAB DCB , perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso
arco
BD. I lati omologhi sono AE e CE , ED ed EB , AD e BC. Pertanto, vale la proporzione
AE : CE = ED : EB (c.v.d.).
7. TEOREMA DELLE SECANTI:
Se da un punto P esterno ad una generica circonferenza (O; r) si conducono due secanti e si
considerano i segmenti che hanno un estremo in P e l’altro in ciascuno dei punti d’intersezione,
allora i segmenti che si formano sulla prima secante e quelli che si formano sulla seconda secante
sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione.
IPOTESI
(O ; r) P (esterno) s , s' secanti condotte da P
s A ;
B
s ' C ; D
TESI PA : PC = PD : PB
s
P
A
B
C
D
O
E
.
.
A
B
C
D
O
s'
8. TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE:
Se da un punto P esterno ad una generica circonferenza (O; r) si tracciano una secante ed una
tangente, allora il segmento di tangente che ha per estremi il punto P ed il punto di contatto è medio
proporzionale tra i segmenti di secante che hanno per estremi P e ciascuno dei punti d’intersezione.
IPOTESI
(O ; r) P (esterno)
s secante condotta da P s A ; B
t tangente condotta da P t T
TESI PA : PT = PT : PB
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo A con D e B con C in modo da costruire i
triangoli PAD e PCB. Questi due triangoli sono simili per il
primo criterio di similitudine dei triangoli perché hanno
l’angolo
P
in comune e
B D
, perché angoli alla
circonferenza che
insistono sullo stesso arco
AC
. I lati omologhi sono AD e BC , PA e PC , PD e PB. Pertanto, vale la
proporzione PA : PC = PD : PB (c.v.d.).
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo il punto di tangenza T con i
punti A e B , in modo da costruire i triangoli
PAT e PBT. Questi due triangoli sono simili
per il primo criterio di similitudine dei triangoli
P
P
B
C
D
A
A
B
perché hanno l’angolo
P
in comune e
P TA PBT
, perché angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco
AT
. I lati omologhi sono AT e BT , PA e PT , PT e PB. Pertanto, vale la
proporzione PA : PT = PT : PB (c.v.d.).
T
T
.
A
.
P
.
P
A
B
C
D
O
P
s'
s
B
O
P
s
t
T
.
