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Lezione 2 - Calcolo Differenziale.
Derivate parziali.
Data una funzione f : A ⊂ R^2 → R, con A aperto, e un punto (x 0 , y 0 ) ∈ A, diamo la seguente definizione.
Definizione. Le derivate parziali di f nel punto P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ A sono
fx(x 0 , y 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + h, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) h
e
fy (x 0 , y 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 , y 0 + h) − f (x 0 , y 0 ) h
se i limiti esistono finiti.
Ci sono molte notazioni per indicare le derivate parziali di f , ad esempio
fx(x 0 , y 0 ), ∂xf (x 0 , y 0 ),
∂f ∂x
(x 0 , y 0 ),
∂x
f (x 0 , y 0 ), Dxf (x 0 , y 0 )
sono simboli equivalenti per la derivata parziale di f rispetto a x nel punto (x 0 , y 0 ). ♦ Le derivate parziali di f non sono altro che le derivate (rispetto alle variabili x e y rispettivamente) delle due tracce di f con y = y 0 e x = x 0. Ad esempio, la traccia sul piano y = y 0 `e una funzione della sola variabile x
g(x) = f (x, y 0 )
e se g e derivabile in x = x 0 , cioe , se esiste finito il limite del rapporto incrementale, troviamo
g′(x 0 ) = lim h→ 0
g 1 (x 0 + h) − g 1 (x 0 ) h
= fx(x 0 , y 0 ).
In modo del tutto simmetrico avremo fy(x 0 , y 0 ) = g′(y 0 ), avendo definito questa volta la traccia g(y) = f (x 0 , y). ♦ Dunque per calcolare le derivate parziali possiamo ricorrere alle usuali regole di derivazione per le funzioni di una variabile.
Definizione. Se in un punto (x, y) esistono entrambe le derivate parziali si dice che f e derivabile in (x, y). Inoltre, se fe derivabile in ogni punto (x, y) ∈ A, si dice che f `e derivabile in A.
Il vettore le cui componenti sono le derivate parziali di f in un punto (x, y) si chiama gradiente di f : ∇f (x, y) = (fx(x, y), fy(x, y))
Derivabile NON implica continua!
La funzione
f (x, y) =
{ (^) xy x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
non e continua in (0, 0): infatti lim(x,y)→(0,0) f (x, y) non esiste. Pero
f (0 + h, 0) − f (0, 0) h
h
h · 0 h^2 + 0^2
= 0 =⇒ lim h→ 0
f (0 + h, 0) − f (0, 0) h
quindi la derivata parziale rispetto a x in (0, 0) esiste e vale 0. Analogamente si dimostra che fy (0, 0) = 0.
Derivate successive. Il Teorema di Schwarz.
Se f (x, y) e una funzione derivabile in un aperto A ⊂ R^2 , le sue derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y) sono funzioni di due variabili e possono essere a loro volta deriv- abili. Ad esempio, se fx(x, y)e derivabile, `e possibile calcolarne le derivate parziali rispetto ad x e ad y, che verranno indicate rispettivamente con i simboli equivalenti
fxx(x, y),
∂^2 f ∂x^2
(x, y),
∂x
∂f ∂x
(x, y)
fxy(x, y),
∂^2 f ∂y∂x
(x, y),
∂y
∂f ∂x
(x, y).
Tali derivate sono dette derivate parziali seconde di f rispetto alle variabili cor- rispondenti. Le 4 derivate seconde di f vengono disposte, per motivi che esporremo fra poco, sotto forma di matrice 2 × 2 nel modo seguente
Hf (x, y) =
fxx(x, y) fxy(x, y)
fyx(x, y) fyy (x, y)
Questa matrice `e detta matrice hessiana di f in (x, y).
Definizione. Se esistono le quattro derivate seconde di f nel punto (x, y) si dice che f e derivabile due volte in (x, y). Se tali derivate esistono in ogni punto di un aperto A ⊂ R^2 , si dice che fe derivabile due volte in A. Se tutte le derivate parziali seconde sono funzioni continue in A diremo che f `e di classe C^2 e useremo la notazione f ∈ C^2 (A).
Teorema di Schwarz. Se f ∈ C^2 (A) allora si ha
fxy (x, y) = fyx(x, y) ∀(x, y) ∈ A.
z = f (x 0 , y 0 ) + fx(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy(x 0 , y 0 )(y − y 0 )
dista dal grafico di f per una quantita che va a zero piu rapidamente di quanto ci si avvicini al punto. E quindi ragionevole attribuire a questo piano il nome di` piano tangente al grafico della funzione f nel punto P = (x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )).
♦ ATTENZIONE. Per funzioni di una variabile la differenziabilitae equivalente alla derivabilita , mentre tale equivalenzae falsa per funzioni di pi`u variabili.
Una condizione sufficiente per la differenziabilit`a
Teorema. Sia f : A ⊂ R^2 → R, con A aperto, tale che
- f sia derivabile in A,
- fx(x, y), fy (x, y) siano continue in A,
ovvero f ∈ C^1 (A). Allora f `e differenziabile in ogni punto di A.
Derivate direzionali.
Una direzione nel piano `e determinata da un versore v = (a, b), con a^2 + b^2 = 1. I punti di coordinate (x 0 + ha, y 0 + hb)
descrivono, al variare di h in R, la retta nel piano xy passante per (x 0 , y 0 ) e parallela a v.
Definizione. La derivata direzionale di f in (x 0 , y 0 ) nella direzione individuata dal versore v = (a, b) si indica con Dvf (x 0 , y 0 ) e vale
Dvf (x 0 , y 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + ha, y 0 + hb) − f (x 0 , y 0 ) h
se il limite esiste.
In altre parole, si considera la funzione di una variabile ottenuta componendo f con la retta parametrizzata P (h) = (x 0 + ha, y 0 + hb):
g(h) = f (x 0 + ha, y 0 + hb).
Se g `e derivabile in h = 0, si ottiene subito Dvf (x 0 , y 0 ) = g′(0).
In particolare le derivate parziali si ottengono da questa definizione scegliendo v = (1, 0) per fx e v = (0, 1) per fy.
Conseguenze della differenziabilit`a
Abbiamo gia osservato che una funzione puo essere derivabile in un punto senza essere necessariamente continua. Se invece la funzione e differenziabile in (x, y), allorae continua.
Teorema. Se f e differenziabile in (x, y) allora fe continua in (x, y).
Proof. Basta passare al limite nella definizione di differenziabilita : la linearita del limite permette di scrivere
lim (h,k)→(0,0)
f (x + h, y + k) = f (x, y) + lim (h,k)→(0,0)
fx(x, y)h
fy(x, y)k + lim (h,k)→(0,0)
o(
h^2 + k^2 ).
Siccome h e k tendono a 0, i tre termini tendono a 0 e si trova
lim (h,k)→(0,0)
f (x + h, y + k) = f (x, y)
ovvero f `e continua in (x, y).
Teorema (formula del gradiente). Se f `e differenziabile in (x, y) allora f ammette derivate direzionali in (x, y) in ogni direzione. Inoltre, per ogni versore v = (a, b) si ha Dvf (x, y) = fx(x, y)a + fy (x, y)b.
Proof. Scriviamola formula di differenziabilit`a per h = a∆t e k = b∆t, osservando che h^2 + k^2 = (∆t)^2 (a^2 + b^2 ) = (∆t)^2 :
f (x + a∆t, y + b∆t) = f (x, y) + fx(x, y)a∆t + fy(x, y)b∆t + o(|∆t|).
Dividendo per ∆t 6 = 0 e passando al limite per ∆t → 0 si ottiene la tesi.
