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GEOMETRIA EUCLIDEA
Introduzione alla matematica
La matematica è un prodotto storico e come tale si è evoluto nel tempo, in forme diverse tra loro. È sbagliato credere che esiste una sola matematica universale, da sempre immutata e uguale a sé stessa, di cui si possa dare una definizione univoca. Le concezioni matematiche sono mutate nel corso dell’evoluzione storica e, quindi, è impossibile caratterizzare la matematica fuori dal tempo.
Concetto di DEFINIZIONE
La matematica non deve partire dalle definizioni ma dall’esperienza del concetto in gioco. Il senso delle definizioni deve essere costruito attraverso l’esperienza concreta degli alunni, ma poi queste devono essere studiate per poterle richiamare nei problemi.
Le definizioni in matematica sono frasi per descrivere classi di oggetti e le loro proprietà. Per comprendere una definizione matematica, è necessario:
- Conoscere il significato dei termini presenti della definizione e le espressioni usate
- Riconoscere se un oggetto matematico possiede la proprietà richiamata nella definizione
- Riconoscere enunciati equivalenti tra loro
- Utilizzare la definizione nella dimostrazione dei teoremi
Il pensiero geometrico e la geometria euclidea
Concetto di SPAZIO e GEOMETRIA
Le forme geometriche sono onnipresenti fin dalle prime esperienze infantili (cerchio della luna, palla, cilindri dei tronchi degli alberi, ecc.). Si tratta di forme che fanno parte dell’esperienza visiva, tattile e motoria del bambino, ma anche dell’adulto: queste forme si presentano in forme concrete ma, in realtà, sono astrazioni.
Origine della GEOMETRIA
La geometria nasce come tentativo di condurre un’indagine che porti a conclusioni vere sulla forma e sull’estensione, per questo si allontana dall’esperienza concreta creando un mondo di forme astratte e di relazioni fra le forme , per elaborare teoremi ossia regole caratterizzate da validità universale, vere in ogni situazione e non in singoli casi specifici.
La geometria si propone di mostrare la necessità logica di ogni conclusione sugli oggetti astratti attraverso il metodo della dimostrazione geometrica, con l’eccezione dei postulati ossia verità geometriche indimostrabili e da accettare come vere, senza dimostrazione.
Le definizioni e i postulati traducono i procedimenti empirici della prassi nelle figure e nelle operazioni astratte della geometria.
DISEGNO e FIGURA
La figura non deve essere confusa con la sua rappresentazione , che può essere un disegno nello spazio grafico ma anche un oggetto dello spazio sensibile.
La FIGURA geometrica è l’oggetto della geometria euclidea, è una costruzione dello spirito, un oggetto ideale , costituito dall’unione di un referente teorico (es. idea di cubo) e di tutti i suoi possibili disegni o rappresentazioni (es. dado).
Il DISEGNO è invece una delle possibili rappresentazioni materiali dell’oggetto teorico.
Natura degli Enti geometrici
L’ipotesi più avvalorata per giustificare la nascita della geometria (e quindi degli enti geometrici) è quella secondo cui gli oggetti matematici provengono non dall’ astrazione di oggetti reali , ma da un processo di oggettualizzazione delle procedure. Essi non derivano da una realtà esterna, indipendente dall’uomo , di cui rappresenterebbero l’essenza depurata dalla impurità materiali, ma formalizzano l’operare umano.
Gli ENTI GEOMETRICI , con tutta probabilità, nascono in Egitto , secoli prima di Euclide, grazie agli agrimensori egizi (chiamati dai greci “arpedonapti”, annodatori di funi): questi uomini avevano il compito di dividere i terreni che il faraone distribuiva per coltivarlo e pagarci sopra le tasse. Erano chiamati “ annodatori di funi ” perché le funi (e i picchetti con cui le funi venivano fermate) erano gli strumenti che utilizzavano per dividere il terreno. I picchetti rappresenterebbero quindi il primitivo concetto di punto , mentre le funi sarebbero le rette.
La geometria che è arrivata fino ai giorni nostri ha sicuramente altre definizioni: gli Enti fondamentali della geometria euclidea sono il PUNTO , la LINEA e il PIANO = concetti primitivi, non definibili (di cui però Euclide ha dato una definizione “astratta”)
I matematici, che anticamente prendevano per certe tutte le definizioni euclidee , ultimamente discutono di come non si possa precisare il significato di tali concetti mediante un’opportuna definizione. Si sono resi conto che è impossibile definire “tutto”, in quanto la pretesa di definirlo conduce ad un “ circolo vizioso ” (per definire una parola , servono altre parole , il cui significato dev’essere stato precisato in precedenza mediante parole ).
Elementi di Euclide: idee generali e strutture
Euclide : fondatore della geometria
Elementi : opera suddivisa in 13 libri, che unisce in maniera organica tutte le conoscenze matematiche e geometriche ritenute elementari all’epoca (300 a.C.). In quest’opera, Euclide presenta il “nome” di una serie di oggetti geometrici corredandoli con la loro definizione.
Fondamenti di Geometria euclidea
Angoli
Definizione di ANGOLO = due semirette ( LATI ) che condividono la stessa origine ( VERTICE )
- ANGOLO CONCAVO > 180° , contiene al suo interno il prolungamento dei suoi lati
- ANGOLO CONVESSO < 180°
ANGOLO PIATTO = 180°
ANGOLO GIRO = 360° (concavo) ANGOLO NULLO = 0° (convesso)
BISETTRICE di un angolo = semiretta che ha come origine il vertice dell’angolo e lo divide in due parti congruenti
ANGOLO RETTO = 90° ANGOLO ACUTO = minore di 90° ANGOLO OTTUSO = maggiore di 90° ma minore o uguale a 180°
- ANGOLI CONSECUTIVI = hanno in comune il vertice e uno dei due lati
- ANGOLI ADIACENTI = angoli consecutivi (vertice e un lato in comune) in cui il lato non in comune si trova uno sul prolungamento dell’altro due angoli adiacenti sono sempre supplementari = insieme formano un angolo piatto di 180°
ANGOLI COMPLEMENTARI = due angoli che insieme formano un angolo retto ( 90° ) ANGOLI SUPPLEMENTARI = insieme formano un angolo piatto ( 180° ) ANGOLI ESPLEMENTARI = insieme formano un angolo giro ( 360° )
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE = due angoli convessi in cui il lato dell’uno è il prolungamento del lato dell’altro
Teorema : due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti = entrambi sono supplementari dello stesso angolo di riferimento
Retta, semiretta e segmento
RETTA = ente fondamentale della geometria euclidea: linea, insieme di punti che si estende senza limite da entrambi i lati
SEMIRETTA = retta dotata di un verso o direzione, presa in considerazione a partire da un punto di origine
Postulato : Per due punti passa una e una sola retta = due rette che hanno più di un punto in comune si dicono coincidenti, ossia di fatto sono la stessa retta
RETTE PARALLELE = due rette che non hanno nessun punto in comune RETTE INCIDENTI = due rette che hanno un punto in comune RETTE PERPENDICOLARI = due rette incidenti in cui le quattro semirette che hanno come origine il punto di incidenza formano quattro angoli retti (90°)
FASCIO DI RETTE
- FASCIO PROPRIO DI RETTE = insieme di tutte le rette di un piano che passano per un punto dato, detto centro del fascio
- FASCIO IMPROPRIO DI RETTE = insieme di tutte le rette di un piano parallele a una retta data (retta compresa)
ASSE del segmento = retta perpendicolare a un segmento passante per il suo punto medio
SEGMENTO = insieme di tutti i punti di una retta compresi tra due punti dati ( ESTREMI ): distanza tra due punti
- SEGMENTI CONSECUTIVI = due segmenti aventi in comune solo un estremo
- SEGMENTI ADIACENTI = due segmenti consecutivi i cui estremi sono sulla stessa retta
- SEGMENTI COINCIDENTI = due segmenti i cui estremi coincidono: due segmenti che hanno in comune più di un punto, devono giacere necessariamente sulla stessa retta
- SEGMENTI SOVRAPPOSTI = due segmenti uno sopra l’altro in cui un solo estremo coincide
PUNTO MEDIO del segmento = punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti
PROIEZIONE ORTOGONALE = dato un segmento e una retta, la proiezione ortogonale è quel segmento ottenuto tracciando le rette perpendicolari alla retta data passante per gli estremi del segmento dato
DISTANZA = segmento perpendicolare che unisce un punto dalla sua proiezione ortogonale sulla retta
Triangoli
TRIANGOLO = poligono composto da tre lati e tre angoli
Elementi del TRIANGOLO :
- LATI = segmenti che compongono un triangolo
- ANGOLI = vertici che compongono un triangolo, formati dagli estremi dei segmenti
Lati e angoli possono essere:
OPPOSTI rispetto al vertice/lato che non gli appartiene ADIACENTE rispetto agli angoli che hanno come vertice un suo estremo / rispetto ai lati che hanno come estremo un suo vertice
Classificazione dei TRIANGOLI secondo Euclide
- CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI Si dice triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, triangolo isoscele quella che ha SOLTANTO due lati uguali, triangolo scaleno quella che ha i tre lati disuguali.
TRIANGOLO ISOSCELE
Triangolo che ha due lati congruenti Due definizioni in contrasto: “ Il triangolo isoscele è un triangolo che ha SOLTANTO due lati uguali ” (secondo Euclide) o “ Il triangolo isoscele è un triangolo che ha ALMENO due lati uguali ” (secondo la definizione moderna)? La definizione moderna permette di descrivere il triangolo equilatero , ossia il triangolo con tutti e tre i lati uguali, come un “ triangolo isoscele che ha anche la base congruente agli altri lati ”; infatti, il triangolo equilatero possiede tutte e proprietà del triangolo isoscele.
BASE = lato che non è congruente agli altri due ANGOLI ALLA BASE = angoli adiacenti alla base ANGOLO AL VERTICE = angolo rimanente
Proprietà del triangolo isoscele
- Gli angoli alla base devono essere sempre acuti e congruenti tra loro
- La mediana e l’ altezza relative alla base sono congruenti; inoltre, l’altezza e la mediana relative alla base, l’asse della base e la bisettrice dell’angolo al vertice giacciono tutte sulla stessa retta
- Ortocentro , baricentro , circocentro e incentro giacciono tutti sulla stessa retta
- Le altezze e le mediane relative ai lati congruenti tra loro, sono congruenti
TRIANGOLO EQUILATERO
Triangolo che ha tutti e tre i lati congruenti Poligono regolare formato da tre lati e tre angoli congruenti (60° ciascuno): avere tre lati congruenti è condizione necessaria e sufficiente per avere anche tre angoli congruenti (ciò non avviene nel caso dei quadrilateri = quattro lati congruenti non vincola ad avere anche quattro angoli congruenti)
Proprietà del triangolo equilatero
- Dato un lato qualsiasi, il suo asse , l’ altezza relativa, la mediana relativa e la bisettrice dell’angolo opposto giacciono tutti sulla stessa retta. Tutte le mediane e tutte le altezze sono congruenti tra loro
- Ortocentro , baricentro , circocentro e incentro giacciono tutti sulla stessa retta
- Tutti gli angoli interni misurano 60° gradi
TRIANGOLO SCALENO
Triangolo che ha i tre lati diversi tra loro
2. CLASSIFICAZIONE IN BASE AGLI ANGOLI
Si dice triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
TRIANGOLO ACUTANGOLO
Triangolo che ha tutti gli angoli acuti
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
Triangolo che ha un angolo ottuso
TRIANGOLO RETTANGOLO
Triangolo che ha un angolo retto
CATETI = lati perpendicolari IPOTENUSA = lato opposto all’angolo retto
Proprietà del triangolo equilatero
- È unico tipo di triangolo in cui valgono il teorema di Pitagora e i due teoremi di Euclide.
- La mediana relativa all’ipotenusa misura la metà dell’ipotenusa stessa.
Punti notevoli di un triangolo
- ALTEZZA = segmento perpendicolare che congiunge il vertice di un angolo con la retta che contiene il suo lato opposto È la distanza di un vertice dalla retta che contiene gli altri due vertici; è sempre relativa ad un lato. In un triangolo rettangolo = l’altezza relativa al cateto coincide con l’altro cateto In un triangolo ottusangolo = le altezze relative ai lati dell’angolo ottuso sono sempre esterni ai lati stessi
- MEDIANA = segmento che congiunge il vertice di un angolo con il punto medio del lato opposto
- BISETTRICE = semiretta che ha come origine il vertice di un angolo e lo divide in due parti congruenti
- ASSE = retta perpendicolare ad un segmento passante per il suo punto medio
- ORTOCENTRO = punto d’intersezione delle ALTEZZE Proprietà : può essere un punto interno (triangoli acutangoli), un punto esterno (triangoli ottusangoli) o coincidere con il vertice dell’ angolo retto (triangoli rettangoli)
- BARICENTRO = punto d’intersezione delle MEDIANE Proprietà : è sempre un punto interno e divide la mediana in due segmenti (uno il doppio dell’altro, il più grande è quello che ha per estremo il vertice)
- INCENTRO = punto d’intersezione delle BISETTRICI degli angoli interni Proprietà : è sempre un punto interno , è il centro della CIRCONFERENZA INSCRITTA al triangolo
- CIRCOCENTRO = punto d’intersezione degli ASSI dei lati Proprietà : può essere un punto interno (triangoli acutangoli), un punto esterno (triangoli ottusangoli) o il punto medio di uno dei lati (triangoli rettangoli); è il centro della CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA al triangolo, equidistante dai suoi vertici
CIRCONFERENZA INSCRITTA = circonferenza interna al triangolo tale che i lati del triangolo siano tangenti alla circonferenza Condizione di TANGENZA = il raggio che congiunge il punto di tangenza è perpendicolare al lato (retta) tangente
CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA = circonferenza esterna al triangolo tale che i vertici del triangolo stiano sulla circonferenza data
RETTA DI EULERO = retta contenente tre punti notevoli di un triangolo: ortocentro – baricentro – circocentro (non incentro): punti sempre allineati che giacciono sulla medesima retta
Criteri di congruenza dei triangoli
Tre criteri di congruenza = condizioni sufficienti per stabilire se due triangoli sono tra loro congruenti.
1. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA ( LAL )
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’ angolo tra essi compreso , allora sono congruenti Primo criterio di congruenza “speciale” Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e un angolo – compreso tra i lati, oppure non compreso ma non acuto – , allora sono congruenti
2. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA ( ALA )
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso , allora sono congruenti Secondo criterio di congruenza “generalizzato” Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e un lato, allora sono congruenti
3. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA ( LLL )
Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati , allora sono congruenti
In generale , due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti :
- due lati e un angolo qualsiasi non acuto (retto o ottuso)
- due lati e l’ angolo tra essi compreso
- due angoli e un lato qualsiasi
- tre lati
Quadrilateri
QUADRILATERO = poligono avente quattro lati
Classificazione dei QUADRILATERI secondo Euclide
Delle figure quadrilatere, è quadrato quella che è insieme equilatera e ha angoli retti, rettangolo quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide (o parallelogramma) quella che ha i lati e gli angoli opposti uguali fra loro ma non è né equilatera né ha gli angoli retti. Le figure quadrilatere oltre questi si chiamano trapezi.
Criteri di CLASSIFICAZIONE dei quadrilateri
dal GENERALE al PARTICOLARE trapezio – parallelogramma – rettangolo – rombo – quadrato dal PARTICOLARE al GENERALE quadrato – rombo – rettangolo – parallelogramma – trapezio
1. TRAPEZIO
Quadrilatero che ha ALMENO una coppia di lati opposti paralleli
BASI = due lati paralleli tra loro: BASE MAGGIORE BASE MINORE LATI OBLIQUI ALTEZZA = distanza tra le basi DIAGONALI = segmenti che collegano tra loro i vertici opposti
Classificazione dei TRAPEZI:
- TRAPEZIO ISOSCELE = se i due lati obliqui sono congruenti
- TRAPEZIO RETTANGOLO = se uno dei due lati obliqui è perpendicolare ad una base (e quindi anche all’altra)
- TRAPEZIO SCALENO : se non ha particolari proprietà
Proprietà del trapezio Un trapezio è isoscele se e solo se gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti In un trapezio, gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari (180°). In un trapezio isoscele , anche gli angoli opposti sono supplementari Le diagonali di un trapezio si tagliano in parti proporzionali
- PARALLELOGRAMMA ( romboide )
Trapezio che ha due coppie di lati opposti paralleli
Tutti i parallelogrammi sono trapezi Tutti i rettangoli , rombi e quadrati sono particolari tipi di parallelogrammi Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se possiede una tra le seguenti proprietà :
- lati opposti congruenti a due a due
- angoli opposti congruenti a due a due
- angoli adiacenti a ciascun lato supplementari
- punti medi delle diagonali coincidenti
- due lati opposti paralleli e congruenti
Poligoni regolari
POLIGONO REGOLARE = poligono con n lati che è contemporaneamente equiangolo (con tutti gli angoli interni congruenti ) ed equilatero (con tutti gli lati congruenti )
Principali poligoni regolari: TRIANGOLO EQUILATERO , QUADRATO , PENTAGONO REGOLARE, ESAGONO REGOLARE, ecc.
Ciascun poligono regolare ammette una CIRCONFERENZA INSCRITTA e una CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA , che hanno il medesimo centro chiamato CENTRO del poligono regolare.
APOTEMA = raggio della circonferenza inscritta ad un poligono regolare ; è un segmento perpendicolare ad uno dei lati del poligono nel suo punto di tangenza con la circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza
POLIGONO INSCRITTO ad una circonferenza = i suoi vertici stanno sulla circonferenza data la CIRCONFERENZA si dice CIRCOSCRITTA al poligono
POLIGONO CIRCOSCRITTO ad una circonferenza = i suoi lati sono tangenti alla circonferenza data la CIRCONFERENZA si dice INSCRITTA nel poligono
Teorema : Dati tre punti nel piano, esiste sempre una unica circonferenza che li unisce
TRIANGOLO = si può sempre inscrivere in una circonferenza e circoscrivere ad una circonferenza
TRIANGOLO RETTANGOLO = è sempre inscrivibile in una semicirconferenza : l’ ipotenusa è il diametro della circonferenza, il suo centro è il punto medio del triangolo
QUADRILATERO = condizioni di inscrivibilità e circoscrivibilità :
- può essere INSCRITTO in una circonferenza se e solo se due angoli opposti sono supplementari (180°) QUADRATI , RETTANGOLI e TRAPEZI ISOSCELI sono sempre inscrivibili in una circonferenza
- può essere CIRCOSCRITTO ad una circonferenza se e solo se la somma dei due lati opposti è congruente alla somma degli altri due QUADRATI e ROMBI sono sempre circoscrivibili ad una circonferenza
Estensione
ESTENSIONE = porzione di piano occupata da una figura. Ciascuna figura ha una sua estensione ( area ), che è una grandezza attraverso la quale si possono confrontare le figure.
GRANDEZZA = caratteristica che può essere misurata
MISURARE = confrontare la grandezza considerata con un’ unità di misura , ossia una grandezza a essa omogenea. Significa determinare quante volte quest’unità di misura è contenuta nella grandezza considerata.
In Euclide vi sono due concezioni di UGUAGLIANZA :
- CONGRUENZA = sovrapponibilità delle figure (uguaglianza in tutte le sue dimensioni: es. uguale forma, perimetro, area , ecc.)
- EQUIVALENZA o UGUAGLIANZA DI ESTENSIONE = uguale estensione dello spazio/area del piano occupata dalla figura. E’ una relazione più generale di “sovrapponibilità” ( uguali aree )
EQUIESTENSIONE
Due figure piane che hanno la stessa estensione sono EQUIVALENTI/ EQUIESTESE. Due figure equiestese posso avere la stessa forma ma anche forme diverse e area auguale.
L’EQUIESTENSIONE è una relazione di equivalenza/uguaglianza tra le superficie piane, le cui proprietà sono:
- Ogni superficie è equivalente a sé stessa = proprietà riflessiva
- Se A è una superficie equivalente a B, allora anche B è equivalente ad A = proprietà simmetrica
- Se A è equivalente a B e B è equivalente a C, allora A è equivalente a C = proprietà transitiva
Date due superfici A e B, la somma tra le due (A+B) è la superficie composta da tutti i punti di A e B. Data la superficie somma C, la superficie differenza è data da A = C-B
EQUISCOMPONIBILITA’
Due poligoni convessi si dicono EQUISCOMPONIBILI se uno di essi può essere scomposto in un numero finito di parti che, ricomposte in maniera diversa, formano l’altro poligono.
L’ EQUISCOMPONIBILITA’ è una relazione di equivalenza , poiché due poligoni equiscomponibili sono anche equivalenti / equiestese e viceversa, poiché sono costituiti dalle stesse parti disposte in maniera differente.
N.B. Per le figure piane che non siano poligoni , questo NON vale = due figure equiestese non sono per forza anche equiscomponibili
Solidi platonici o poliedri regolari
POLIEDRO REGOLARE = solido convesso le cui facce sono tutte poligoni regolari composti da uno stesso numero di lati
I poliedri regolari sono conosciuti anche come SOLIDI PLATONICI = esistono solo cinque solidi platonici o poliedri regolari :
- TETRAEDRO REGOLARE = 4 facce – triangolo
- CUBO (o ESAEDRO REGOLARE) = 6 facce – quadrato
- OTTAEDRO REGOLARE = 8 facce – triangolo
- DODECAEDRO REGOLARE = 12 facce – pentagono regolare
- ICOSAEDRO = 20 facce – triangolo
Un POLIEDRO è detto REGOLARE se e solo se soddisfa TUTTE le seguenti condizioni :
- le facce devono essere tutti poligoni regolari
- le facce devono essere tutte congruenti tra loro
- in ogni vertice deve arrivare lo stesso numero di facce
Altri SOLIDI ( non platonici = non regolari ) DI ROTAZIONE sono = CILINDRO , CONO , SFERA , oltre alla PIRAMIDE (solido non di rotazione)
FORMULA DI EULERO = La somma tra il numero delle facce e dei vertici di un poliedro è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2
F + V = S + 2
Relazione tra facce, vertici e spigoli :
- F = numero di FACCE del poliedro
- V = numero di VERTICI del poliedro
- S = numero di SPIGOLI del poliedro
CUBO = 11 sviluppi del cubo + 35 esamini (= poligoni formati da 6 quadrati uguali)
Oggetti nello spazio 3D
FIGURE SOLIDE (3D)
PIANI (2D) = ogni faccia del solido appartiene ad un solo piano
PIANI PARALLELI PIANI INCIDENTI = si intersecano in una retta
RETTE (1D)
RETTE COMPLANARI = due rette appartenenti allo stesso piano, possono essere parallele oppure incidenti (caso particolare: rette parallele)
RETTE SGHEMBE = due rette non complanari INTERSEZIONI DI PIANI = ciascuna retta è “contenuta” in infiniti piani
PUNTI (0D)
ANGOLI :
nel piano: ANGOLI nello spazio: si chiamano DIEDRI SPIGOLO = retta in comune tra i piani SEZIONE NORMALE = angolo che si ottiene sezionando il diedro con un piano perpendicolare allo spigolo
DIAGONALE del poliedro = segmento che congiunge due vertici non consecutivi , ossia non appartenenti allo stesso spigolo; può essere:
- DIAGONALE DELLA FACCIA
- DIAGONALE INTERNA Es. tetraedro = nessuna diagonale interna; cubo = 4 diagonali interne
SEZIONE = figura piana ottenuta sezionando una figura solida mediante un piano secante che interseca il piano di appartenenza del solido ; può variare a seconda della posizione reciproca di piano secante e figura solida
Sezioni del CONO = si ottiene un cerchio , se si interseca un cono retto con un piano perpendicolare all’asse del cono ; si ottiene un’ ellisse , se si interseca il cono retto con un piano inclinato rispetto alla posizione di perpendicolarità dell’asse del cono Sezioni del CUBO = si ottiene un quadrato congruente alle facce del cubo, se il piano secante è parallelo ad almeno una faccia del cubo ; si possono ottenere anche altre figure piane quali un rettangolo , un triangolo equilatero , un pentagono , un esagono regolare , ecc.
