Scarica I numeri complessi operazioni e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity!
Numeri complessi
Un numero complesso è un’espressione della forma a + ib, dove a , b ∈ R e i^2 = −1. i è detta unità immaginaria e, naturalmente, non è un numero reale. L’insieme dei numeri complessi si indica con C.
La somma e la moltiplicazione di due numeri complessi segue le solite regole del calcolo algebrico, ricordando sempre che i^2 = −1. Dunque:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
e
(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i^2 bd = = ac + iad + ibc − bd = (ac − bd) + i(ad + bc).
Se z = a + ib ∈ C, allora a è detta parte reale di z e b è detta parte immaginaria di z e scriviamo:
a = Re(z) e b = Im(z).
I numeri complessi con parte immaginaria nulla sono numeri reali, mentre i numeri complessi della forma ib sono detti immaginari puri.
Sia z = a + ib ∈ C. Il numero complesso:
z = a − ib
è detto coniugato di z. Osserviamo facilmente che:
z + z = 2 a
zz = (a + ib)(a − ib) = a^2 − i^2 b^2 = a^2 + b^2_._
Chiaramente, z è il coniugato di z, per cui z = z. Un numero complesso è reale se e solo se coincide con il proprio coniugato. Inoltre, per ogni z , v ∈ C si ha: z + v = z + v , zv = zv ,
Re(z) = z + z 2 e Im(z) = z − z 2 i
Si vede facilmente che per ogni z ∈ C, z 6 = 0 si ha:
z−^1 = z−^1_._
Osserviamo, infine, che:
z · (v + w ) = zv + zw , ∀z , v , w ∈ C_._
Questo vuol dire che l’insieme dei numeri complessi C con queste operazioni di somma e prodotto è un campo.
È importante osservare che non è possibile introdurre un ordinamento su C, cioè non ha senso scrivere disuguaglianze tra numeri complessi. I numeri reali vengono rappresentati su una retta. I numeri complessi possono essere rappresentati in un piano. Si parla di piano complesso o piano di Gauss (o anche di Argand-Gauss).
Nel piano complesso i numeri reali vengono rappresentati sull’asse delle ascisse, mentre sull’asse delle ordinate vengono rappresentati i numeri immaginari puri.
Re
Im
O a
b
(a , b) ↔ z = a + ib
Piano complesso
Il modulo di un numero complesso z = a + ib è il numero reale |z| =
a^2 + b^2. Se z è un numero reale, allora il modulo di z coincide con il suo valore assoluto. Per ogni z , w ∈ C, valgono le seguenti proprietà:
I (^) |z| ≥ 0, I (^) |z| = 0 se e solo se z = 0, I (^) |z| =
zz, I (^) z−^1 = z |z|^2
I (^) |z + w | ≤ |z| + |w | (proprietà triangolare), I (^) |zw | = |z||w |.
Forma trigonometrica di un numero complesso
Dato un numero complesso z = a + ib, sappiamo che possiamo identificarlo con il punto di coordinate P = (a , b) del piano complesso. Possiamo, dunque, associare a questo punto le sue coordinate polari ( ρ, θ ), dove ρ =
a^2 + b^2 = |z| e θ ∈ [ 0 , 2 π [, detto argomento di z, è l’angolo che il segmento OP forma con l’asse delle ascisse. Scriviamo θ = arg(z).
Re
Im
O
ρ
θ a
b P^ = (a ,^ b)
Quindi: a = ρ cos θ e b = ρ sin θ.
Non è difficile osservare che, dati due numeri complessi z , z′:
z = ρ (cos θ + i sin θ ) e z′^ = ρ ′(cos θ ′^ + i sin θ ′) ,
con ρ = |z|, ρ ′^ = |z′|, θ = arg(z) e θ ′^ = arg(z′), si ha:
zz′^ = ρρ ′[cos( θ + θ ′) + i sin( θ + θ ′)].
Inoltre, per ogni n ∈ N si ha:
z n^ = ρn [cos(n θ ) + i sin(n θ )] (Formula di de Moivre).
Radici n -esime di un numero complesso
Proposizione
Siano z ∈ C, z 6 = 0 , ρ = |z|, θ = arg(z), e n ∈ N, n ≥ 1. Allora l’equazione x n^ = z ha n soluzioni distinte date da:
x k = n
ρ
[ cos
( θ + 2 k π n
)
( θ + 2 k π n
)] ,
con k = 0 , 1 ,... , n − 1. In generale si dimostra:
Teorema (teorema fondamentale dell’algebra)
Ogni polinomio complesso di grado maggiore o uguale a 1 ha almeno una radice complessa.
