fanno parte i numeri naturali Œ, relativi ‘, ecc. Tuttavia in questo insieme non sono accettate le radici pari di numeri negativi: − 1 = Impossibile − 1 " ‘ Per risolvere questo problema e poter eseguire calcoli con

qualsiasi tipo di numero, è stato creato l’insieme Šdei

numeri complessi. I numeri complessi non esistono nella realtà. Sono solo un modello matematico molto pratico per studiare la realtà.

Definizione del numero complesso L’elemento che distingue i numeri complessi da quelli reali è il termine i o j. E’ definito come: − 1 = i − 1 c Š Un generico numero complesso z è formato da una parte reale e una parte immaginaria: z = x + y $ i ≠( z ) = parte reale = x Æ( z ) = parte immaginaria = y $ i

Dove: x = numero reale y = numero reale i = unità immaginaria, che vale i = − 1

Coniugato di Z Definizione: il coniugato di z è il numero complesso che ha stessa parte reale e parte immaginaria cambiata di segno Significato grafico: il coniugato di z è il numero complesso simmetrico di z rispetto all’asse reale delle X Formula: x − y $ i Simbolo: z = z & Proprietà: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z + z = 2 $ Re( z ) z 1 $ z 2 = z 1 $ z 2 z − z = 2 $Im( z ) z = z g z c R^1 z = (^1) z

Modulo di Z Definizione: il modulo di Z è la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della parte reale e della parte immaginaria Significato grafico: il modulo di z è la distanza dall’origine del punto che rappresenta z nel piano Formula: x^2 + y^2 Simbolo: z Proprietà: z 1 + z 2 < z 1 + z 2 z [ Re( z ) + Im( z ) z 1 $ z 2 = z 1 $ z 2 z 1 + z 2 m z 1 + z 2 z = z Re( z ) [ z Im( z ) [ z z^2 = z $ z

Forme di rappresentazione

Forma cartesiana Forma del numero: ≠( z ) + Æ( z ) Esempio: 5 + 4i Grafico: piano cartesiano con assi perpendicolari Asse X : è rappresentata la parte reale di z Asse Y: è rappresentata la parte immaginaria di z

Forma polare Forma del numero: z =! $ (cos + i $ sen ) ! = modulo del numero complesso, cioè il segmento OZ = fase del numero complesso, cioè l’angolo tra il semiasse positivo X della parte reale di z, e il segmento OZ Esempio: 5 $ (cos 4 + i $ sen 4 ) Grafico: Il grafico di z si ottiene tracciando un segmento OZ di lunghezza !che forma con il semiasse positivo delle X un angolo .

Forma esponenziale Forma del numero: z =! $ e i $ ! = Modulo del numero complesso z = fase del numero complesso z Esempio: z = 5 $ e^4 ^ $ i Grafico: il grafico si realizza utilizzando il piano polare, come nella forma polare (vedi)

Conversioni Da Cartesiana a Polare Modulo! = z = x^2 + y^2

Fase: Metodo A: = (^) yx ==^ !! $$^ sen cos(()) d

= arcos x! = arcsen y!

Metodo B: = ⎧ ⎩

⎨ arctg(^

yx ) se y> arctg( yx ) + se y<

Da Polare a Cartesiana Ricordando la forma polare: z =! $ (cos + i $ sen ) Si può subito scrivere che: ≠( z ) =! $ cos Æ(z)=! $ i $ sen

Formule di Eulero Le formule di Eulero legano le funzioni trigonometriche di variabili complesse con gli esponenziali. Sono quindi lo strumento per svolgere i calcoli trigonometrici con variabili complesse.

sen ( x ) = e^ i $ x 2^ − $^ e i − i $ x cos( x ) = e^ i $ x^ + 2 e − i $ x e i $ x^ = cos( x ) + i $ sen ( x )

Equazioni complesse

Per risolvere le equazioni con i numeri complessi si possono seguire due metodi, il metodo tradizionale e il metodo per sostituzione.

A) Metodo tradizionale Si risolve l’equazione con i tradizionali metodi, e quando si ottiene − 1 si sostituisce i. Per spiegare il concetto è utile un esempio: z^2 + 4 z + 5 = 0 Si utilizza la normale formula risolutiva: z 1,2 = −^2!^14 −^5 = − 2! i z 1 = − 2 + i V z 2 = − 2 − i

B) Metodo per sostituzione

Nell’equazione si applica la sostituzione: z = x + i $ y
Si svolgono i conti
Si raccolgono i termini reali e i termini immaginari, in modo da ottenere la forma: A + B $ i = 0
Si risolve il sistema ⎧ , perchè un numero complesso è nullo quando sono nulli sia la ⎩⎨^

A = 0

B = 0

parte reale che la parte immaginaria. Nota Bene: Il sistema ha come variabili i coefficienti x e y della parte immaginaria e della parte reale di z. Poichè i coefficienti x e y sono reali per definizione, il sistema può avere solo soluzioni reali, e non immaginarie.

Le coppie ⎧ risultato del sistema sono i valori dei coefficienti della parte reale e immaginaria ⎩

⎨ xy^ ⎫ ⎭

delle soluzioni complesse dell’equazione.

Esempio: z^2 + 4 z + 5 = 0 Applico la sostituzione: ( x + y $ i )^2 + 4 ( x + i $ y ) + 5 = 0 Svolgo e raccolgo: ( x^2 − y^2 + 4 x + 5 ) + i $ ( 2 xy + 4 y ) = 0 Risolvo il sistema: ⎧ ⎩

⎨ x

(^2) − y (^2) + 4 x + 5 = 0 2 xy + 4 y = 0

Il sistema si divide in due sottosistemi:

M: ⎧ Il primo sistema ha soluzioni reali, che risultano: ⎩⎨^

x = − 2 y^2 − 1 = 0

⎭⎬^

d ⎧ ⎩⎨^

x 1 = − 2 y 1 = − 1

⎭⎬^

V ⎧

⎩⎨^

x 2 = − 2 y 2 = + 1

N: ⎧ Il secondo sistema ha soluzioni complesse, e non è quindi accettabile. ⎩

⎨ (^) x (^2) + 4 y^ x = +^0 5 = 0

⎬ d

Le soluzioni dell’equazione sono quindi date dalle soluzioni di M:

z 1 = − 2 − 1 $ i z 2 = − 2 + 1 $ i