3. I quattro prodotti notevoli
I prodotti notevoli possono essere definiti come un “pacchetto” di tecniche utili e veloci
che possono essere applicati durante la risoluzione di esercizi relativi alla
semplificazione di polinomi, in particolare andremo ad analizzare quattro tipologie di
prodotti notevoli con l’aiuto di uno schema riassuntivo. (video)
(x+y) (x-y) = x^2 – y^2
Il primo prodotto notevole viene chiamato somma per differenza perché è rappresentato
dal prodotto di due binomi costituiti dalla somma e dalla differenza tra due monomi che
in questo caso equivalgono a x e y e possiamo osservare che quando siamo in presenza
di una somma per una differenza possiamo individuare nei due binomi rispettivamente
una coppia di termini uguali e che quindi appaiono nei due binomi con lo stesso segno ed
una coppia di termini opposti e che quindi appaiono con segni opposti nei due binomi.
Adesso procediamo con il calcolo del prodotto tra i due binomi applicando le regole del
prodotto tra polinomi ottenendo
(x+y) (x-y) = x^2 – xy + xy + y^2
A questo punto osserviamo che il secondo e il terzo termine del polinomio sono opposti e
quindi si possono semplificare (cancellare -xy+xy) e si ottiene il risultato indicato
all’inizio.
Il secondo prodotto notevole viene chiamato quadrato di binomio.
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2
Dobbiamo innanzitutto osservare che il quadrato di un binomio rappresenta una potenza
che ha esponente 2 si può esprimere come il prodotto dello stesso binomio per se
stesso, quindi:
(x+y) ^2 = (x+y) (x+y), quindi applicando le regole di risoluzione di un prodotto tra
polinomi otteniamo:
x^2+xy+xy+y^2
considerato che il secondo e terzo termine del polinomio ottenuto sono simili possiamo
sommarli ottenendo:
x^2 + 2xy + y^2
a questo punto possiamo affermare che risulta valida l’uguaglianza proposta all’inizio,
quindi possiamo concludere che il quadrato di un binomio equivale alla somma algebrica
di 3 monomi: il quadrato del primo termine più il doppio prodotto del primo termine per il
secondo ed il quadrato del secondo termine.
Occupiamoci adesso del terzo prodotto notevole, il quadrato di trinomio (x+y+z)^2 Per
capire come sviluppare il trinomio ci facciamo aiutare dalla seguente rappresentazione
grafica
