Idrostatica dei corpi fluidi, Appunti di Idraulica

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APPUNTI DI IDRAULICA

Corso tenuto dal Prof. CHIAIA Giancarlo

Capitolo II - Idrostatica dei corpi fluidi

Politecnico di Bari

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

A.A. 2021 - 2022

Capitolo 2

Idrostatica

L’Idrostatica e la branca che si occupa del calcolo delle spinte, cioe delle forze che un fluido esercita sulla superficie su cui agisce. Abbiamo visto nel Capitolo 1 che lo stato tensionale in un generico punto e noto quando sono note le componenti del tensore degli sforzi. Nel caso specifico dell’Idrostatica, tale matrice si riduce alle sole componenti della diagonale principale, e, per il corollario del teorema del tetraedro di Cauchy, il modulo di tali sforzie associato alla pressione. Per cui, la (1.9) diventa:

τ =

σx 0 0 0 σy 0 0 0 σz

con componenti tangenziali τ = 0 in assenza di moto da parte del fluido.

2.1 Equazione indefinita della statica dei fluidi

Si consideri di estrarre dal dominio di appartenenza un elemento infinitesi- mo di fluido avente forma di parallelepipedo di lati dx, dy, dz. Risulta possibile considerare tale elemento come un sistema continuo, per cui `e possibile individuare le forze di massa e di superficie su di esso agenti.

(1) Le forze di massa sono ricavate partendo dall’equazione di Newton F = m ·a⃗. Essendo l’elemento di fluido infinitesimo, il valore della massa infini- tesima dm la si ricava dalla densit`a ρ del fluido stesso, pari al rapporto tra la sua massa (dm) e il volume (dW ). Si ha dunque che:

F⃗ = ρ · dW · f⃗ (2.2)

zi possono essere chiamati pressioni. Sulla prima faccia, in concordanza al verso dell’asse x, agir`a la pressione p, mentre sulla faccia opposta agisce la pressione p′. Studiamo la relazione che agisce tra le due pressioni. Si ha che:

p′^ = −

p + ∂p ∂x

dx

ove la variazione infinitesima della pressione `e dovuta all’approssimazione di sistema continuo. Per cui le forze che agiscono sui due piani sono:

F 1 = p · dydz F 2 = −

p + ∂p ∂x

dxdydz

Sommando le due forze di superficie considerate si ha:

p · dydz −

p +

∂p ∂x

dxdydz = −

∂p ∂x dxdydz⃗i

Ragionando in modo analogo per le altre quattro facce del prisma si otten- gono complessivamente le seguenti relazioni:

asse x − ∂p ∂x dxdydz⃗i

asse y − ∂p ∂y

dxdydz⃗j

asse z − ∂p ∂z dxdydz⃗k

Le relazioni di (2.3) rappresentano le forze di superficie complessive. Abbiamo esaurito tutte le forze che entrano in gioco. A questo punto si impone la relazione di d’Alambert:

X^ n

i=

F⃗i = m ·a⃗ = m · d⃗v dt

non essendoci moto (v⃗ = 0). Inserendo la (2.2) e la (2.3) si ha:

ρ · dxdydz · f⃗ −

∂p ∂x

∂p ∂y

∂p ∂z

dxdydz = 0 (2.4)

Semplificando il termine comune dW = dxdydz e portando a secondo mem- bro il termine negativo si ottiene l’equazione indefinita dell’idrostatica:

ρ · f⃗ =

∂p ∂x

∂p ∂y

∂p ∂z

che pu`o essere scritta come:

ρ · f⃗ = grad (p) (2.6)

avendo associato al secondo membro della (2.5) l’operatore matematico gra- diente, ossia l’operatore in grado di trasformare una quantita scalare, in questo caso la pressione, in un vettore, le cui componenti sono le derivate parziali rispetto gli assi. L’equazione trovata si dice indefinita perche e indefinitivamente valida per ogni singolo punto della massa fluida. Essa indica genericamente che la pressione cresce nel verso delle forze di massa. Il suo difettoe che, poichee valida solo per i punti, la possiamo applicare per tutti i punti della massa, cosa poco pratica. Tale difetto lo si puo eliminare integrando al dominio: si ottiene cosı l’equazione globale dell’idrostatica.

2.2 Equazione globale dell’equilibrio idrostatico

Se l’equazione indefinita scritta in (2.6) deve essere applicata ad una por- zione di fluido, si dovra applicare l’equazione agli infiniti punti che formano la porzione, ma cio `e molto difficile da eseguire; in questi casi si preferisce usare una equazione di carattere globale.

Figura 2.3: Volume di integrazione

Sia W il volume di questa porzione di fluido e sia A la superficie che ricopre il volume. Possiamo prendere i due termini dell’equazione indefinita e moltiplicarli per una costante. Supponiamo che la porzione sia infinite- sima: sia dW il suo volu- me. Moltiplichiamo per dW ambo i membri della (2.6):

ρ · f⃗ · dW = grad (p) · dW

ed integriamo sul volume W , detto volume di controllo perchee il volume formato

prevede il prodotto della massa infinitesima ρ · dW con l’accelerazione f⃗. Si e inoltre detto che, per i fluidi, tale accelerazionee sostituibile con l’accele- razione gravitazioneg⃗ , essendo la maggior parte di tali fluidi coinvolti dal campo gravitazionale terrestre. Prendiamo un sistema di riferimento con asse delle z rivolto verso l’alto. Volendo rappresentare il vettore gravita, questo sarebbe di verso opposto, normale al piano xy e con modulo pari a circa 9, 81 m/s^2. L’approssimazione sopra descritta puo essere riportata come:

f⃗ = −g · grad(z)

Sostituendola all’equazione indefinita di (2.6) si ottiene:

−ρ g grad(z) = grad(p)

Ricordando che γ = ρ · g:

−γ grad(z) = grad(p)

dividendo per γ ambo i membri:

−grad(z) = grad

p γ

e spostando il termine negativo a secondo membro, ossia:

grad

z +

p γ

si ottiene la seguente relazione:  z + p γ

= cost (2.10)

La (2.10) prende il nome di legge di Stevino; essa afferma che, dato un fluido, per ogni punto di esso, la quota piezometrica data dalla somma tra la quota geoidica del punto e l’altezza piezometrica, risulta essere costante. Questo spiega il motivo per cui i piani orizzontali sono piani isobarici, cio`e a pressione costante. Un esempio pratico: si consideri un recipiente contenente un fluido e si individuino due generici punti, A e B. Assunto un piano di riferimento z = 0 per le quote di carattere geoidico, ci si rende conto che zA > zB. Le pressioni invece, essendo direttamente

Figura 2.4: Applicazione legge di Stevino

proporzionali alla profondita rispetto il piano dei carichi idrostatici (come mostrato in seguito) risultano essere cosı correlate: pA < pB. Applicando Stevino, per`o, essendo il peso specifico del fluido lo stesso (γ), si ha che:

zA + pA γ = zB + pB γ

Si consideri adesso il medesimo recipiente contenete un fluido dallo stesso peso specifico e si individuino tre punti M 0 , M 1 e M 2 , disposti come rappre- sentato. Per ciascun punto risulta possibile calcolare il carico piezometrico

Figura 2.5: Andamento lineare delle pressioni

h, conoscendo le quote geoidiche calcolate rispetto il fondo del recipiente (z = 0) e le altezze piezometriche. Si ha che: Punto M 0 hM 0 = zM 0 + pM 0 γ = h + 0 → pM 0 = 0

Punto M 1 hM 1 = zM 1 + pM 1 γ

→ pM 1 = γ · (h − z 1 )

piastra piana in rosso di forma qualsivoglia. Sian⃗ il versore ortogonale alla piastra; consideriamo un punto A e un’area infinitesima dA nell’intorno di quel punto. Per calcolare la pressione in A occorre individuare il piano dei carichi idrostatici relativo e usare la formula p = γ · h. Il punto A `e individuato dalla coppia di coordinate (x, y), mentre h = x sin α. Quindi: p = γ · h → p = γ · x · sin α

La spinta elementare, ossia la forza esercitata dal liquido sulla porzione infinitesima dA di superficie, vale:

dS = p⃗ndA (2.11)

Queste spinte elementari sono tutte parallele fra loro e ammettono perci`o una risultante S⃗. Infatti, noi vogliamo calcolare la spinta complessiva che il liquido esercita su A, integrando la (2.11) sull’intera area:

S⃗ =

Z

A

dS =

Z

A

p⃗ndA =

Z

A

γx sin α⃗ndA = γ sin α⃗n

Z

A

xdA (2.12)

Le coordinate del baricentro della superficie A sono (x 0 , y 0 ), ove:

x 0 =

R

A xdA A

Z

A

xdA = x 0 · A

sostituendo nella (2.12) si ha:

S⃗ = γ · x 0 · A · sin α = γ · h 0 · A = P 0 · A (2.13)

La spinta su una superficie piana e pari in modulo al valore della pressione nel baricentro della superficie moltiplicata per l’area della superficie. Sie individuata, quindi, una spinta che ha direzione ortogonale alla piastra, verso che va dal liquido alla piastra e il cui punto di applicazione non coinci- dente con G (ossia il baricentro della piastra), ma si trova ad una profondit`a maggiore di G.

2.5 Calcolo del centro di spinta

La spinta sull’intera piastra vale dunque:

S⃗ = γh 0 A = γx 0 sin αA = γ sin αM

avendo sostituito con M = A·x 0 il momento statico dell’area rispetto all’asse coincidente con la retta di sponda, mentre x 0 `e la distanza del baricentro

da quest’ultima. Il centro di spinta, punto di applicazione della spinta, non coincide con il punto G ma si trova ad un affondamento maggiore di quello che ha il punto G. Prendiamo in considerazione un’area infinitesima dA, intorno del punto A; su tale area la spinta infinitesima sar`a:

dS = p⃗ndA

Possiamo, quindi, considerare le spinte infinitesime dS che agiscono sulle infinite aree infinitesime in cui possiamo suddividere l’area A. Si ha una moltitudine di vettori (cioe infiniti vettori), tutti paralleli tra loro e con lo stesso verso:e un problema di equivalenza tra questa moltitudine di vettori infinitesimi dS e un vettore S complessivo, che deve essere sostitutivo della moltitudine a tutti gli effetti. Quindi, il punto di applicazione di questo vettore sostitutivo non puo essere casuale: il criterio con cui si sceglie tale puntoe l’equivalenza tra il vettore S e un sistema reale di infiniti vettori dS. Dal punto di vista della traslazione il vettore S deve essere equivalente al sistema degli infiniti vettori dS paralleli tra loro. Ci sono dei problemi legati alla rotazione: il sistema degli infiniti vettori tende a far ruotare la piastra rispetto agli assi x e y.

Rotazione intorno all’asse y Il momento alla rotazione dato dal sistema di vettori dS deve essere uguale al momento alla rotazione dato dal vettore S:

dS · x = pdA · x = γhxdA = γ(sin α)x^2 dA (2.14)

ove p = γh, ossia la pressione che insiste su dA; Quindi dS ·x, prodotto della forza infinitesima dS che insiste sull’area dA per il braccio x, rappresenta il momento alla rotazione di dS intorno all’asse y. Dovendo considerare il contributo alla rotazione di tutte le forze infinitesime dS, occorre integrare su tutta l’area A: Z

A

dS · x =

Z

A

pdAx =

Z

A

γhxdA =

Z

A

γ(sin α)x^2 dA

Il momento complessivo alla rotazione dato da tutte le forze infinitesime dS rispetto all’asse y `e: Z

A

dS · x =

Z

A

γ(sin α)x^2 dA

Il punto C, centro di spinta, deve essere posizionato in modo tale che il momento alla rotazione dato dal sistema degli infiniti vettori dS sia uguale

Ponendo l’uguaglianza si ha che la coordinata y del centro di spinta `e:

yc = Ixy M

In conclusione, le coordinate del centro di spinta sono date da:

xc = ξ =

I

M

yc = η = Ixy M

La (2.17) mostra che la posizione del centro di spinta e indipendente dalla inclinazione α; essa rimane inalterata al ruotare del piano della superficie intorno alla retta di sponda. Inoltre, la coordinata yc = η si annulla se l’asse delle xe un asse di simmetria della superficie A; il centro di spinta si trova cioe sull’eventuale asse di simmetria di A se questo coincide con una linea di massima pendenza. Infine, il centro di spintae sempre pi`u distante del baricentro dalla linea di sponda; infatti detto I 0 il momento di inerzia della superficie rispetto all’asse baricentrale parallelo alla retta di sponda, risulta:

I = I 0 + A · x^20

2.6 Formula di Mariotte

La formula di Mariotte `e una formula utilizzata per calcolare lo spessore delle tubazioni. Si consideri una tubazione di lunghezza infinitesima e la si tagli con un piano passante per l’asse centrale.

Figura 2.7: Sezione di tubo

Considerata una sezione trasversale, come quella rappresentata in figura, e possibile rappresentare le diverse forze agenti: vie la pressione, nella parte interna, in ogni pun- to ortogonale alla superficie, e le forze dT che rappresentano l’aderenza della tubazio- ne con la parte superiore, che e stata eli- minata. Volendo rappresentare schemati- camente tutte le forze, a queste due si ag- giunge il peso del fluido presente all’interno della meta considerata, di entit`a inferiore rispetto le altre forze in gioco, e dunque trascurabile. Ponendo l’uguaglianza ricavata dall’equazione dell’equilibrio statico si ha:

⃗ Π + dT⃗ = 0

ove: ⃗ Π = pndA = p · D · dL

e dT `e pari a: dT = σ · e · dL

Risulta dunque: p · D · dL = 2 · σ · e · dL

da cui si ricava lo spessore della tubazione e:

e = pD 2 σ

con σ coefficiente di resistenza in relazione al materiale di cui `e costituita la tubazione.

Eserciziario Idrostatica

Segue una raccolta di esercizi commentati riguardanti il Capitolo 2.