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IDROSTATICA
L’idrostatica è quella parte dell’idraulica che studia le azioni
esercitate dai liquidi quando si trovano in stato di quiete.
Nei liquidi in quiete le singole particelle non subiscono nel tempo
alcuno spostamento relativo.
In ogni punto della massa liquida, gli sforzi interni non ammettono
componenti tangenziali e sono perciò diretti normalmente
all’elemento.
Lo sforzo in un generico punto di un liquido in quiete è diretto
normalmente all’elemento di superficie sul quale si esercita.
Definiamo come pressione p nel generico punto di una massa
liquida in quiete il modulo dello sforzo nel punto stesso.
IDROSTATICA
Densità ρ = massa per unità di volume Unità di misura: kg m
Pressione P = Forza per unità di superficie : P=F/A Unità di misura: N m
= Pa (Pascal) 1.013 bar = 1’013 millibar = 1 atm = 101’337 Pa 1 bar ~ 1 atm ~ 100’000 Pa Acqua (4°C): ρ = 1.00 × 10 3 kg m
ϒ = 9807 N m
DEFINIAMO…
ϒ = ρ × g
Allo stato di equilibrio statico, i liquidi reali si comportano come liquidi perfetti. L’equazione fondamentale (ammessa l’omogeneità e quindi ϒ = ρ g = cost.) si può scrivere in forma indefinita: Legge di Stevino esprime il fatto che in un liquido (fluido incomprimibile) in quiete, rispetto ad un sistema di riferimento in cui agisce la sola forza peso, la quota piezometrica resta costante. z = altezza o quota geodetica p/ ϒ = altezza piezometrica
Se un corpo viene immerso in un liquido fino ad una certa profondità h sotto il pelo libero, esso è soggetto oltre che alla pressione atmosferica patm che agisce sulla superficie del liquido, anche alla pressione p (pressione relativa) dovuta alla massa di liquido che lo sovrasta. La pressione assoluta pass che agisce sul corpo sommerso è data dalla formula : pass = prel + patm prel = pass - patm Poiché la pressione idrostatica varia con la profondità, possiamo tracciare un diagramma ed analizzarne l’andamento. Sulla parete di fondo la pressione p(relativa) è uniformemente distribuita, mentre sulla parete verticale è linearmente crescente con la profondità.
La quota in cui la pressione della massa liquida è pari alla pressione atmosferica individua il piano dei carichi idrostatici relativi (pressione relativa pari a zero). La quota in cui la pressione assoluta della massa liquida è pari a zero individua il piano dei carichi idrostatici assoluti. Di solito in idraulica si fa riferimento alle pressioni relative. Per la parete verticale, assumendo come asse delle ascisse i valori della pressione e come asse delle ordinate le profondità corrispondenti si ottiene una retta che forma con la verticale un angolo α tale per cui: tg α =p/ h=ϒ α=arc tg ϒ Il diagramma delle pressioni assolute si può facilmente ottenere aggiungendo al diagramma delle pressioni idrostatiche una costante uguale alla pressione atmosferica (patm). p h α
PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI
Se poniamo un coperchio AB capace di esercitare alla quota z 1 la pressione p 1 che esercitava la colonna di liquido di altezza h 1 , avremo formato un recipiente in pressione. Le pressioni crescono proporzionalmente all’affondamento h sotto il piano orizzontale che si chiama piano dei carichi idrostatici (p.c.i.). Il p.c.i. è il piano sul quale il liquido raggiungerebbe la pressione atmosferica, e può essere messo in evidenza con un piezometro, cioè con un tubo di vetro entro cui l’acqua si pone alla quota del p.c.i. Vedi appunti diagramma delle pressioni
Noti ρ e ρm e noti h 1 ed h 2 , calcolare l’indicazione ∆ del manometro semplice a mercurio e la pressione n indicata dal manometro metallico. Esercizio
n=ϒ*h 1 /( 5 )=1.59 bar Δ=h 2 *ϒ/ϒm=0.86 m Dati ϒ=8’825 N/m 3 ϒm=133’362 N/m 3 h 1 =18.00 m h 2 =13.00 m
Definiamo linea di sponda la linea intersezione tra la superficie libera del liquido e il piano contenente la parete in esame. L’integrale della (2) rappresenta il momento statico M della superficie rispetto alla linea di sponda: ௫
SPINTE SU SUPERFICI PIANE
Vogliamo determinare l’azione che UN LIQUIDO ESERCITA SU UNA PARETE PIANA verticale. Spinta elementare: (1) La spinta su tutta l’area: (2) ௭మ ௭భ ௫ ௭మ ௭భ
E’ noto che il momento statico di una superficie rispetto ad un asse è pari al prodotto tra l’area e la distanza tra il baricentro della superficie e l’asse stesso: Così la spinta assume l’espressione: ௫ ீ Che dice che la spinta cercata è data dal prodotto del peso specifico del liquido per il momento statico dell’area piana considerata, rispetto alla linea di sponda. Essa dice anche che la spinta su una superficie piana si ottiene moltiplicando l’area della superficie per la pressione esistente in corrispondenza del suo baricentro. N.B. La zG è la PROFONDITA’ di G. Se si fa la trattazione con il piano inclinato, comparirà x senα che rappresenta ancora zG Determinata l’intensità della spinta, resta da determinare la retta d’azione. Certamente sappiamo che: ௫ ீ
E ricordando che: La diventa: L’integrale rappresenta il momento d’inerzia I della superficie piana rispetto alla linea di sponda. Pertanto possiamo scrivere: Che dice che la z del centro di spinta è data dal rapporto tra il momento d’inerzia e il momento statico della superficie piana rispetto alla linea di sponda. N.B. La zS è la distanza di S dalla linea di sponda. Se si fa la trattazione con il piano inclinato, indicheremo x al posto di z. In generale si ha a che fare con figure simmetriche. Questo ci consente di definire univocamente il centro di spinta mediante la sua profondità zS. ௌ ଶ ௭మ ௭భ ௫ ௫ ௌ ଶ ௭మ ௭భ ௌ ௫ ௫ ௭మ ଶ ௭భ ௭మ ௭భ
Dal calcolo della zS si evince che la posizione del centro di spinta non dipende dal tipo di liquido (neanche dall’inclinazione della superficie). Il momento d’inerzia Ix della figura rispetto ad un asse (linea di sponda) gode della proprietà (teorema di Huygens-Steiner) secondo la quale: ௫ ௫ ீ +^ ீ ଶ A Ossia esso è uguale alla somma del momento d’inerzia della figura rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il baricentro della figura, più il prodotto dell’area della figura, per il quadrato della distanza del baricentro dal primo asse (linea di sponda). Dalle due precedenti relazioni si ricava: ௫ ௌ ௫ ௌ ீ ௫ ீ +^ ீ ଶ A (^) ௌ ீ ூೣ ಸ ௭ಸ ௌ ௫ ௫ ௭మ ଶ ௭భ ௭మ ௭భ
In definitiva: e Caso particolare: parete parzialmente immersa (vedi appunti spinta su paratoia verticale) ponendo z 1 =0 z 2 =h e b=1: ଶ ଶ ଵ ଶ ௌ ଶ ଷ ଵ ଷ ଶ ଶ ଵ ଶ ଶ ௦ Vedi esercizi appunti (area del diagramma delle pressioni) (profondità del baricentro del diagramma delle pressioni) Nel caso di parete completamente immersa, possiamo calcolare la posizione del centro di spinta geometricamente (vedi figura, in cui è individuato il baricentro del trapezio), o analiticamente.
SPINTE SU SUPERFICI CURVE
Per calcolare la spinta idrostatica agente su una superficie curva A si applica l’equazione globale dell’idrostatica: In cui la superficie di contorno σ del volume di controllo V deve contenere la superficie A. h S Pn dA A ఙ Forze di superficie Forze di massa
