Algebra: Formule ed Espressioni Letterali, Monomi e Polinomi, Dispense di Matematica

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IL CALCOLO LETTERALE

La «traduzione» del linguaggio comune in

linguaggio matematico

BREVE STORIA DELL’ALGEBRA…

Dall’algebra sincopata all’algebra simbolica

¢ L’algebra è una disciplina antichissima ma il suo grosso

sviluppo, fino ad essere quella che conosciamo oggi, è

stato nel Rinascimento.

¢ L’algebra è un linguaggio simbolico che utilizza le

lettere al posto dei numeri e con le quali si possono fare

le operazioni come succede con i numeri.

¢ I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo e

che dopo un po’ ci possono apparire naturali sono in

realtà frutto di un lavoro di molti secoli.

BREVE STORIA DELL’ALGEBRA…

¢ I primi matematici moderni che si occuparono di algebra

furono soprattutto Tartaglia, Cardano e Bombelli che però

ancora esprimevano a parole le formule risolutive perché

ancora non erano usati simboli come + e – o gli altri che ci

sono così familiari oggi.

¢ Per poter ricordare meglio le formule, a volte anche molto

complesse, le scrivevano in rima.

¢ Per indicare una quantità ignota che oggi indichiamo con x

si usavano parole come «tanto», «cosa».

Qui a lato un esempio di

algebra sincopata

BREVE STORIA DELL’ALGEBRA…

¢ Il passaggio dall'algebra sincopata

all’algebra simbolica, nella quale il

calcolo con i numeri viene sostituito

dal calcolo con le lettere, ha

richiesto un lungo cammino e il

contributo di numerosi matematici.

¢ Questo cammino si concluse nella

seconda metà del Cinquecento con il

francese Francois Viète, il "padre

dell' algebra" (foto a lato).

¢ Viète ebbe per primo l'intuizione di

"operazione astratta", ne codificò la

notazione simbolica e arrivò a

formulare il cosiddetto calcolo

letterale attuale.

FORMULE ED ESPRESSIONI LETTERALI

¢ Calcola il quoziente fra un numero e il quadrato dello

stesso numero diminuito di 4.

¢ Togliere al doppio di un numero il suo quadrato

¢ L’area del trapezio è data dalla somma della base

maggiore con la base minore moltiplicata per l’altezza e

quindi si divide per due

Come è possibile tradurre le frasi precedenti in «matematichese»?

Ovvero come posso scrivere in linguaggio matematico le tre frasi

precedenti?

Proviamo a vedere ….

FORMULE ED ESPRESSIONI LETTERALI

Calcola il quoziente fra un numero e il quadrato

dello stesso numero diminuito di 4….

Togliere al doppio di un numero il suo

quadrato…

a

a

2

• 4

2 b - b

2

L’area del trapezio è data dalla somma della

base maggiore con la base minore moltiplicata

A =

( B + b ) × h

per l’altezza e quindi si divide per due… (^2)

FORMULE ED ESPRESSIONI LETTERALI

N.B. È possibile che il valore dell’espressione NON ESISTA,

ovvero che non sia possibile calcolarlo.

Lo vediamo attraverso uno degli esempi introdotti in

precedenza …

a Vediamo cosa succede se a = 2

a

2

• 4

2

• 4 4 - 4 0

Ahhhh!!! Una divisione per zero!!!

NON si può fare!

Dunque in questi casi non è possibile trovare

il valore dell’espressione.

POSSIAMO DUNQUE RIASSUMERE QUANTO DETTO CON QUESTO SCHEMA:

a

a

2

a

a

2

• 4

I MONOMI

Il coefficiente

¢ è un numero relativo (è la parte numerica del monomio

ed è scritta sempre per prima)

¢ Se è +1 può essere omesso e viene scritta solo la parte

letterale:

+1ab = ab

¢ Se è - 1 si scrive solo la parte letterale preceduta dal

segno - :

- 1 xy = - xy

¢ Se è 0 (zero) il monomio è detto monomio nullo e si

scrive 0:

0ab = 0

I MONOMI

La parte letterale

¢ Deve essere scritta seguendo l’ordine alfabetico delle

lettere

¢ Deve contenere ciascuna lettera solo una volta (si

usano le proprietà delle potenze)

+2a

2 cb

2 a=+2a

3 b

2 c c

3 b

2 ab

4 =ab

6 c

3

¢ Se compare solo a numeratore (le lettere hanno

esponente positivo) il monomio si dice INTERO

¢ Se compare a denominatore (le lettere hanno

esponente negativo) il monomio si dice FRATTO o

FRAZIONARIO

I MONOMI

¢ Si dice grado del monomio la somma degli

esponenti di tutte le sue lettere

ab

3

Ha grado 4 = 1+

¢ Si dice grado del monomio rispetto ad una

lettera l’esponente con cui quella lettera compare

nel monomio

a

2

b

3

Ha grado 2 rispetto alla lettera a

Ha grado 3 rispetto alla lettera b

OPERAZIONI CON I MONOMI

¢ SOMMA ALGEBRICA :

— La somma algebrica di due o più monomi simili è un

monomio simile a quelli dati che ha come coefficiente la

somma algebrica dei coefficienti.

2

ab

3

• ab

3

=

10 + 15

ab

(^3) =

25

ab

3

=

5

ab

3

3 15 15 3

2

a

2

b - a

2

b +

3

a

2

b =

• 10 - 15 + 9

a

2

b =

4

a

2

b

3 5 15 15

— La somma algebrica di due o più monomi non simili si

ottiene scrivendo i monomi uno accanto all’altro con il

relativo segno

7 a - 4 b + 2 c

OPERAZIONI CON I MONOMI

¢ MOLTIPLICAZIONE :

La moltiplicazione tra due o più monomi è un monomio che

ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte

letterale le lettere che compaiono nei vari monomi scritte una

sola volta e con esponente la somma degli esponenti con cui

compaiono nei monomi fattori.

Prodotto da calcolare … applichiamo

le proprietà della moltiplicazione

Proprietà commutativa

Proprietà associativa

Proprietà delle potenze

(- 5 ab )(- 7 a

2

b

3

) =

= (-5)(-7)( aa

2

)( bb

3

) =

= +35( aa

2

)( bb

3

) =

= + 35 a

3

b

4

OPERAZIONI CON I MONOMI

¢ MOLTIPLICAZIONE :

Vediamo altri esempi

æ 2 ö æ 9

ö éæ

1

3 (^2) öæ 9 3

ç

• xy

3

÷

× ç

• x

2

yz ÷

=

êç^

• ÷ç

   ö 

ù

x

1 + 2

y

3 + 1

z = +

x

3

y

4

z

è

3 ø è

16 ø (^) ëè

1

3 øè

16

÷ú

8

8

æ

abc

ö

×

æ

a

2

b

3

c

2 öæ^

a

3

bc

2 ö^

ç

÷ ç

֍

÷

è ø è øè ø

æ

1 (^5) ö æ

1 (^2) ö æ 1

(^3) ö

1 + 2 + 3 1 + 3 + 1 1 + 2 + 2

ç

÷

×

ç

÷

×

ç

÷

a b c =

è 2 ø è 3

1

ø è ø

a

6

b

5

c

5