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integraldefiniti^ in
INTEGRALE di^ RiEMANN - D^ un intervates Lavoziano (^) temple con F:^ [a,b]^
- > R, f^ limitata PEF Dato^ [a,bJ R, f limitata (^) & (^) - diaocb = 3X0,X.,...,Xn
N
I Si (^) definiece (^) SOMMA OUPERIORE dif (^) =-- rispetto a^ o^ it^ numecs^ rease^ * & (^5) (t,0):=^ (Sup f)(Xk - xx- 1) dX.^ Ye*s'xoxob D k= 1
IR
oppoce
Mk =^ -Up f(x)^ 3
extermo tup deleaf
fullintervalo (^) X. - 1,Xk
xE[Xx- 1, Xve]^ "ALLEZZA
n (^) obare S(f,0): =^ Mx.cxx -^ xx^ -^ 1)^ ->Somma (^) area x = 1 Si (^) definite SOMMAINFERIORE
& B
sommd
I= 1 ep/ 5 (f,0):="linff)(xx^ - xx-1 3 ->^ deeee
it
atthe
are
oppoce ezemo inf^
per dif
mn
= inf f(x) 3 della f
xt[Xy -1,Xy] "alTEZZA"
a
d
extremi di
U (^) -integrazione x(7,0) = mx.[Xx
k= 1
Gemma F: (^) [a,bJ - >IR, ot
&(a,b] v
pic (^) fine
5(7,0) =^ 5(7,0)^11 I^ I^ &^ 10,
I 7 ↓ I
dim info (^) csupf Go H inff(Xk
Xx+
TEOREMA (^) F.Ca,bJ->IR, flimitata
0, 0,^ Erca,b>
tate che^00 00,
Alloca approxima male on e'integrate definite^ catcola
v e'area sotto ea mia f(x)
- s(f,0)=5(7,0,3 need'^ intervale (^) [a,b]
- 6(7,60)>5(7.5,3 * COROLLARiO (^) 8: [a,bJ^ ->1R, f^ limitata 80,0,tr(a,b] = 5(F,0)45(7,0.
dim
dia (^) Oz= 00U0, Alloca, accome^ of (^) e'picifine*di to riba x(f,00) = 5(f,02),5(F,02) =5(7.0) =>o(f,00) = ((f.0.) (^) A Ogni somma inferioze^ e' minoce o vquate di (^) qualunque
Somma superioze
↑ costante, Quindi (^) sup 5(f,0) = b(7.0) (^) Go invece varia nell'
Oot &^ insieme defee
scomposizioni o Poiche' (^) Uo., oot& siha
vale
~(F,5)15(7,0)
D (^) dup 5 (F.0) esempio di^ f^ limitata^ ma^ non^ integrable I
8 xEQ f: [a,b] ->R
Foertabj ·In^ contiene^ via^ punti f(x) =^ di (^) che di (^) IRIQ (^) per an 1xEIRICQ
inff=
0,jupf = 1 =^ ((X,0)= 0e5(x,y)= 15p(xk
IK
now BUD ·(f,0) = 0 inf^ 5(f,0)^ =^1 = (3x
TF => integrabite oeb OtR Esempio f:la,b]^ -^ IR
f(x) = C
C
-(x,0) = intF.(xy
xn-^ 1)
tot rho^ f(x)=^ cUxElk = 5(f,0) =^ "apF.(Xu- Xx- 1) k= 1 xC
-^ c(b^ -^ a)( =(f =(F = c(b- a) = b](f(x)dx = c(b- a) CONDiZONE di^ REIMANN A:la.bJ->IR, f^ limitata^
fe are "aree" distance pace
SzRta.bJCUCtR Jotl^ '((f.0) - p(f.o)cc) dim oia (^) fERCabJe via ECIRT =>J=^ inf (^) 5(F, o
Bebta,b)(5(7.0) =Jbf^ + 1 = dps(f,0) 70c(67,0)-lf (^) -
- I^ I ⑰ (^) - I (^) S + (^) E -E I 0 = 0,000-pir (^) fine dientzamb=fcRtab
to
xpir'precios d(t.0)=5(7,0) =^ (af^ + x((,0) = 5(7,0) =Sf
- z = - 5(7,0) - fabF + =>5((,0) - 5(7,0) =(f + 2 + E
537 = Poor toware (^) una (^) composizione the mipermetta di
auricinate ses
->foso setRates (^) the (^) JoeR16(5.0) - 5(f.0) << ftRtab]? (^50) Che: (^) x(X,0) = (^) (f =(f =5(7.0)
PER IPOTENT
=ox
j
- jf (^) =5(5,0) - 5(7.0)EE perf'acbitzacietal die,^ che^ pup effort^ piccolisaims I (^) I
C F^ DfGRea.b] PROPRIETA' dell'^ INTEGRA Ie'integrate e' (^) una (^) operazione lineate Biano (^) f.gERCabJ, NEIR ·(x
g)
(3x
6g
a
·b (ax+ = xf
l'integrate
e'monotono
·diafERCabJ, fx0,^ alloza^ ( fc
dim EoRema della media
integrate IbffinfF>
IT
b - a ofiano (^) f.gtRea,bi, fxg, alloca: jf (^) >(g a dim (^) f- = x(((
- g) - 0 b b^ b =( - (g = 0 = x(F = (g B a (^) a a a #I.P'integrate a additivo^ dopetto all^ dominio^ di^ integre Dato (^) CEJa, (^) b, F:[a,bJ-PR FERTa,b]c=>ftRea,cyefGR[c,b] evale (^) (3x = 6 +^ 6E
TEOREMA f(b)* Fila,b] d(f,0) - 5(f,0) =^ E^ Exam^ REINMANN
TEOREMA
f: (^) [a,b] ->IR. f^ continua^ = DFEREa.b]
dum f continua
EoRema di fha^ max^ emin,
on un interally weights quindie' limitata
↑continua (^) on (^) [a,b] =^ Funiform. Continua on (^) [a,b]
Topema di^ Heine^ - CantoR
be no^2 punti cioe' UEIRF6seRT, (^) Ux'x"ela,b] con vicini^ quaeunque etsi (^) riano, (^) alexa 1x - x"cbc = x(f(x) - f(x))cb202s
f Satanno
uicine.
rceego of (^11101) bc alloca Exe91, (^) ..., n^ -> OX'x" (^) cIk rate f(x)- f(x)c(f(x) - f(x))ca
imaxrimi eteemi
deet' intervaled
=>sup-Inff=a IK I l 5(f,0)
- 5(7,0) V U (^) E -^ - ..(spf -inff)(Xx^
xk-^ 1) I^ b -^ ac(xy^
xm-^ 1) =Ea(b
- a) = 2 =>5(7,0) - 5(7,0)<@T TEOREMA (^) ④ f:la,b]-bIR, f^ limitata ↑continua (^) on (^) Ja, bt (^) -ofERta,bT of the
Non mi interesa dicora succede
agli
extermi
COROLLARIO dia (^) fila,b] -R, f^ limitata · ican^ ofanin tale the (^) e'insieme dei (^) punti di
discontinuita'e' FiNiTs.
=D (^) fe(ta,bJ a b c d^ e e'integrable
in ciason interall
e it to
integrate elea^ somma ( = (b
ju
j is
de vari
integrati
PROPRIETA'deU'INTEGRACE TEOREMA (^) FEREa,b]
Sid
G:
E->IR
O uniform. (^) Continua e (^) limitata Tate the (^) FCCa,b]) CE => gofta,b] e'Rea,b] BeEe'compatto =Dbarta^ che^ foia^ continual Cppichete di^ consequenza unif.Cont
per Heine^ Cantozede'limitata^ per
waestrass)
CORSLLARiO Bia
fERLa,b] f([a,b]) (^) -E, p:
E->IRe continua.
Alloza (^) GofGRCa,b] COROULRiO (^) FERIa.bJ =D^ F*CREa,b]
f C
dim Δ *
F
&of e'Rea,bJ^ gof = x(f) = f2t COROLURiO figERIa,bJ =DfGCRea,b]
dim
fg
z (x+ g)
TEOREMA
fEREa,b] =PIfltRea,b] e (^) vi ha (^) tale (^) time: (7 (^) =j dim (^) Ifle'Rea,b] =*^ per (^) cyCt) =^ 1t1 (^) (of EREa,b]
- (f(x))(f(x)=1f(x)) mount (^) dell'integrate
(91=) =(f
=> (53+1=f
- BEacB ->(x1 TEOREMA CfnSneIN oucc.^ di^ funzioni,^ fntREa,bT Se fn IDF^ CONUUNiF (^) =DFERta,bT e
S ha:
jy
kms on necessaria^ fo a (^) cow, (^) unit. (^) poece- b teapota^ le (^) propheta
as
folia
in
geotn-lim I^ In a^ permette^ ep
n ->0a scambio limiti
COROLLARiO via (fn) (^) neN ·Cesarone^ di^ frnzroni.^ AneRea,b] eo fn convergente^
unit.
on [a,b]
n= 1 = Ita (^) comma della recie (Rea,b] o "fr I. (^) to (^) someca (^) not Ia comerge Jony numer ·jon = 3
n=^1 a I fro^ ->^ Somma delle^ race contro esempid fr:[0, 15-pI
O
xe903uSh, 13 O O
g
fr(x)= S (^) n (^) xt J0, hE^ I^10 o Carcuna (^) ne'limitata ⑤ o
e
D Cfn(x) Sif
cor, (^) puntuate
O *FO
Sin
Jn
Sn
6
n(t
m = 1
In
= Em 'n^ = -up (^) (Fn(x) - f(x) = UnfuD
* E(0,
cow.non equindi (^) 1=lw 'An (^) Son = 1
x= 0
unit.
dim Bia (^) X, 2I, dimotes the OFe' continue in^ X, ·Dex,e'punto interns^ di^ Fallora^ FreR+tate^ che e'intervale (^) [x,-1.x.tr] F(x) - F(x) = (^) M(X. -X =>tim F(x) = F(x,
x->X,
perci (^) Fe.continua n X, e (^) per Parbitratietais O Sia (^) x.xI,reafico the him^ F(X.the-F(x.> PENizone n -+^0 MOSTROche e'< (^) di (^) qualcosa ohe (^) ->
per x->X.
F(X+ h) -^ F(x)^
L =>
h(f(x)(X,th
(ct)dt)
f(x))=*,
f(x)
h
= f(x.)
St a- S xdt = seego una h adequata
I
continua in x,
significa che f(x)^ -f(x.) R F(x) = (Ct)ct xotI = D F(x)= f(x) oss Data^ f: (^) I->R, I intervaleo (^) diR, seFeG Sono due^ primitive dif, aeloza: F - G = 2*cotante difalti: Oe'fa dezivata odi (^) una (^) costante (I- G)' = F1 - 6 = F- F =^0 =>F-ce' (^) definita on I intervallo ed (^) e'costante TEOReMA di TORRiCELLi F: (^) I->IR. f continua be d:I-PIR^ e'una (^) primitiva (d'=f), date^ abel: D I f(t)dt^ = d(b)
INTEGRALI GENERALIZZAT I (^) intervalloai^ IR, f: (^) I-R, feocalmente integrable.
Ipus' esece^ di tee^ tupi: · Ja,b] · [a,bI · Ja, bI
DEF
I dia (^) a,beIR, acbE (^) to F: (^) Ia,bE ->R
conf eocaemente
integrableC
5)dice the fe' INTEGRABICE IN SENT GENERALIZZATO
on [a,bt rxexote^ FINiTO
M-pvaloze (^) big lim Jaf(t)dti = M -^ xb^ (f(x)dx epft1, +^0
- P(R f(x) = y Non^ e'integr · O 1 dx
x)"dx = [enxTM = diverge = en (^) M-On 1 x^ +^ c
I M^ - x
NB Non^ e'un
integrable
di Reimann
= (^) o
Go'accade of no^ intervale
funzone
limitata
esf(x) =
\
jz+dx^
1 +^ x
(^5) Fxdx
[actg
x
J = axctgM
arctgM-b *e
M -^ DO
5 x2ax = f+x
j-x =
Taectg].+[arctgJc^
argx
axctg(
p)
+ I
P ->^ B 2 -> I
M - y
DEF I.^ BiabtR.-OCacb, F:^ ja,bJ-PR A (^) localmente integrabite; oi^ dice^ the^ 80' INTEGRABIE
IN BENSO GENERALZZATO On^ Ja,b], re existe^ FINITO
it limite
lin I
f(x)dx =^ = f
b
f(x)dx
2 - xad
valoze picolo
Ch
esempio f.R->R f(x) = exjbex = 1 90exdx = [exy = 1 - e33b -
c
③ 1 quindi f.ex=
DEF (^) -0 exxc
I 5 dx= jexdx
Se xdx
- s ~^ I L
- I trimto Ide-dx=1+aim--e-xr M -> (^) c^ O
- 1 + lim1 -e-M^ =^1
M->^0 - O
f(x) g(x)EXπ dopo un^
cento
numezs I
a seconda^ di^ cosa
+b
6F
(^5) TNRfa q (^) converge
on
#^ CONFRONIO^ AriNIDDiCS Fg: Ja, (^) +0t-pIR; feg eocalmente integrabili dello stess^ vegno. Se
+ 20 nanno
per x-pa^ G
stess
per x-xo^ Egy^
a e Sa caraltere 1.j5 (^) + x+19x^ e'Temple positiva^ e^ in^ a^ vate^ A, quindi e'estzemo^ disinised^ non mida' (^) pesblemi. x=x +1-aPeRx^
CONCERGE PER 12
· cowcoerce
(x+
CRit.dee CONFRONCs
I ASNCODiCD.
PS-f
invece e'^ un
integrate
di Reinmann
O o none'net^ dominio, ma^ controll c.f
pen(1 + x) (^) come eat or
composta di^ vicino.
x
See' un limite finto^
postoignocate ie (^) problema.
tim
en(1+x)
= +O
dev (^) spezzare
x->^ Ot x^ 3e
-en(1 +^ x) (^) en(1+ (^) x) ↓ Jo x 32
dX
x 3/
~ 3 =
xa
So
converse -
(*^
CONCERGE
xc
CONUERGENEA (^) ABSOLUTA DEF I^ intervallo^ di^ IR, F:^ I->IR, f^ localmente integrable, 5.dice che e' (^) ABOSWIAMENTE INEECRABICE
in senso
generate
be a
funzione x (^) -If(xle' integrable in^ senso^ gen.
cive'
& Ifcxl (^) concernorge
I
TEOREMA Fadlitamente (^) if (^) integrable integrabite
in zenso
gen dim UXE^ I o (f(x)^
- f(x)=21f(x))pepoter =>per it criterio^ del confronts |f(x))^
- f(x)e)
i.5.6.
d'aetza (^) parte f(x) =^ 1f(x))^ -^ [(f(x))^ -^ f(x)) =>e'la (^) Somma dif150= (^) Coe'anche
f(x) F
oso Ci^
zonofunzioni integrabili^
in sense
genezate
ma non^ absolutamente
esempio f(x) =
*enx
g(x) =c05X x 2 x 2 Le due^ funzioni sonointed
in senso
gen. On
[a, +Bt^ cow^ a^ -0e6s0^ ma^ song
asspeutamente
integrabier
beesoto be^ 8>
· (^) 5x I (^) A faccio^ unc sen (^) x( 1 =^
-time
be due f eg converg
=D
↓tuxzdx gomezge> asotutamente^ e
anche hotmalmente
