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INTEGRALI
Test di autovalutazione
- Sia f una funzione continua su IR, e F una primitiva di f tale che F (2) = 5. Allora: (a) esiste k ∈ IR tale che F (x) − f (x) = k , ∀x ∈ IR (b) F (x) =
2
x (^) f (t) dt (c) F non `e derivabile in x 0 = 2 (d) F (x) = 5 +
2
x (^) f (t) dt
- Sia I = [a, b], (a < b) e sia f una funzione continua su I. Allora: (a) Pu`o esistere una primitiva di f su I che ha un punto angoloso (b) f ha primitive su I. (c)
a
b (^) f (x) dx non `e nullo. (d) esiste un punto c ∈ [a, b] tale che f (c) =
a
b (^) f (x) dx
- Sia F (x) = x^2 + ex^ + 1 una primitiva di f (x). Allora: (a) f (x) =
∫ (^) x 1 F^ (t)^ dt (b) F (x) =
∫ (^) x 1 f^ (t)^ dt (c) Non esiste nessun valore di a ∈ IR per cui F (x) =
∫ (^) x a f^ (t)^ dt (d) f (x) = 2x + ex^ + c (c ∈ IR)
- Sia F (x) =
1
x (^) sinh t dt. Allora: (a) F ′(1) = 0 (b) F ′(1) = e 2 − (^21) e (c) F non e derivabile in x 0 = 1 (d) F none continua in x 0 = 0
- E’ data la funzione integrale F (x) =
5
x (^) cosh √t (^2) − 9 dt. Allora: (a) (F −^1 )′(0) = (^) cosh 4^1 (b) la tangente al grafico di F nel punto x 0 = 5 ha equazione y = 5+(cosh 4)(x−5) (c) F ha un punto critico in x 0 = 5 (d) F `e invertibile su IR
- La funzione integrale F (x) =
0
x (^) (t (^3) − 4 t) dt: (a) `e sempre crescente (b) ha un punto di minimo in x 0 = 2 (c) ha un punto di massimo assoluto in x 0 = 0 (d) non si annulla mai
- Se A =
− 1
√ (^3) x (^5) dx, allora:
(a) A = 2
0
√ (^3) x (^5) dx
(b) A = 0 (c) A = 38 x (^23)
(d) A = x
− 1
√ (^3) x (^2) dx
- L’area A della regione di piano compresa tra le curve y =
x e y = x^2 vale: (a) A = (^13) (b) A = (^23) (c) A =
0 (x
(^2) − √x) dx (d) A = 1
- L’area A compresa tra il grafico di f (x) = √1+2xx 2 e l’asse delle x, x ∈ [− 2 , 0], vale: (a) A = − 1 (b) A =
0 √^ x 1+2x^2 dx (c) non `e limitata (d) A = 2
- Siano f (x) = x^3 + 1, x ∈ [− 1 , 1] e μ il valor medio integrale di f su [− 1 , 1]. Allora (a) non esiste nessun valore c nell’intervallo [− 1 , 1] per cui f (c) = μ (b) μ = 2 (c) μ =
− 1
(x^3 + 1) dx (d) μ = 1
- Sia I =
0 e
√x dx. Allora: (a) I < 0 (b) 0 ≤ I < 4 (c) 4 ≤ I ≤ 40 (d) I > 40
- Sia f (x) = x + 1, e sia μ il valor medio integrale di f su [0, 2]. Allora : (a) la funzione g(x) = f (x) + 3 ha lo stesso valor medio integrale su [0, 2] (b) μ = 4 (c) se c = 1 si ha f (c) = μ (d) esiste un punto c ∈]0, 2[ tale che f (c) = f^ (2) 2 −−f 0 (0)
- Sia f (t) =
sin t se 0 ≤ t < π 4 cos t se π 4 ≤ t ≤ π 2 e sia F (x) =
∫ (^) x π 4 f^ (t)^ dt.^ Allora: (a) F e continua e derivabile in π 4 (b) Fe continua ma non derivabile in π 4 (c) f non e n´e continua n´e derivabile in π 4 (d) fe continua e derivabile in π 4
- RISPOSTA ESATTA:(b). Infatti, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, F ′(x) = sinh x e dunque F ′(1) = sinh(1) = e−e − 1 2 =^
e 2 −^
1 2 e. Dunque (b) e vera mentre (a)e falsa. La risposta (c) e errata, in quanto, poich´e F (x)e una primitiva di f (x) su IR e f e continua , Fe derivabile (con derivata continua) su IR e dunque anche in x 0 = 1.
Lo stesso ragionamento prova che F (x) e derivabile, e dunque continua, in x 0 = 0; pertanto la (d)e falsa.
- RISPOSTA ESATTA:(a). Infatti (F −^1 )′(0) = (^) F ′^1 (5) , in quanto F (5) = 0. Inoltre F ′(x) = cosh
x^2 − 9 e dunque
F ′(5) = cosh
25 − 9 = cosh 4. Dunque (a) e vera e (c)e falsa, perch´e F ′(5) = 0. La tangente al grafico di F nel punto di ascissa x 0 = 5 e la retta di equazione y = F (5) + F ′(5)(x − 5) e dunque y = (cosh 4)(x − 5). Pertanto la risposta (b)e errata.
La risposta (d) e errata: e vero che F ′(x) = cosh
x^2 − 9 > 0 , ∀x ∈Dom(F ), ma Dom(F ) = IR.
- RISPOSTA ESATTA:(b). Poich´e F (0) = 0, la (d)
e falsa. Inoltre esistono valori di x ∈ IR per cui F (x) > 0 (ad esempio, F (10) > 0). Quindi anche (c)e falsa.
Si ha F ′(x) = x^3 − 4 x = x(x − 2)(x + 2). Dunque i punti di ascissa x = 0, x = ± 2 sono punti critici di F. Dallo studio del segno di F ′^ e degli intervalli di monotonia di F si deduce che F e decrescente negli intervalli ] − ∞, −2[ e ]0, 2[ ; si ricava inoltre che il punto x = 0e un punto di massimo relativo, mentre i punti x = ±2 sono punti di minimo relativo. Dunque (a) e falsa mentre (b)e vera.
- RISPOSTA ESATTA:(b). La funzione f (x) = 3
x^5 e dispari. Dunque (b)e esatta, mentre (a) e (c) sono errate. La (d) e errata, perch´e x non puo essere portata fuori dal segno di integrazione.
- RISPOSTA ESATTA:(a). La regione di piano `e situata nel primo quadrante, delimitata sopra dalla curva y =
x e sotto dalla parabola y = x^2. Pertanto la sua area si calcola come A =
x − x^2 ) dx, e vale 13.
- RISPOSTA ESATTA:(b). La funzione f (x) = √1+2xx 2
e continua. Dunque l’area cercatae un valore finito. Pertanto (c) `e falsa.
Si osservi che f (x) assume valori negativi se x ∈ [− 2 , 0]. Pertanto l’area richiesta `e data da A = −
− 2 √^ x 1+2x^2 dx^ =^
0 √^ x 1+2x^2 dx. Dunque (b) `e vera. Eseguendo il calcolo, si trova:
A =
0 √^ x 1+2x^2 dx^ =^
1 2
[√
1 + 2x^2
]− 2
Dunque (d) e falsa. La risposta (a)e errata, in quanto un’area per definizione `e un numero positivo.
- RISPOSTA ESATTA:(d). Per definizione, μ = (^12)
− 1 f^ (x)dx. Eseguendo il calcolo si trova^ μ^ = 1. Pertanto (d) `e vera, mentre (b) e (c) sono false.
La risposta (a) `e errata, perch´e contraddice il teorema della media integrale.
- RISPOSTA ESATTA:(c). Se x ∈ [0, 4] , si ha 0 ≤
x ≤ 2 e dunque 1 ≤ e
√x ≤ e^2. Pertanto : ∫ (^4) 0 1 dx^ ≤^
0 e
√x dx ≤
0 e
(^2) dx e dunque 4 ≤ ∫^4 0 e
√x dx ≤ 4 e^2. Dunque (c) `e vera mentre (a), (b) e (d) sono false.
- RISPOSTA ESATTA:(c). Per definizione μ = (^12)
0 (x^ + 1)dx^ = 2 =^ f^ (1)^ =^
1 2
0 (x^ + 3)dx.^ Dunque (c) `e vera mentre (a) e (b) sono false.
La risposta (d) e falsa in quanto f^ (2) 2 −−f 0 (0) = 1. Ora f (x) = 1 se e solo se x = 0, mentre in ] 0, 2 [ il punto x = 0 none compreso.
Si ricordi che, per il teorema di Lagrange, esiste invece un punto c ∈ [0, 2] tale che f ′(c) = f^ (2) 2 −−f 0 (0).
- RISPOSTA ESATTA:(a). La funzione f (t) `e continua su
[
0 , π 2
]
ma non `e derivabile in x = π 4. Dunque (c) e (d) sono false.
Essendo f (t) continua, per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione integrale F (x) `e derivabile (e dunque continua) in
[
0 , π 2
]
Dunque (a) e vera mentre (b)e falsa.
