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NUMERI COMPLESSI
Esercizi svolti
- Calcolare le seguenti potenze di i:
a) i^2 , b) i^3 , c) i^4 , d)
i
, e) i^34 , f ) i−^7
- Semplificare le seguenti espressioni:
a) (
2 − i) − i(1 −
2 i) , b) (3 + i)(3 − i)
( 1
5
i
)
,
c)
(1 − i)(2 − i)(3 − i)
, d) z + 3i
- Verificare che z = 1 ± i soddisfa l’equazione z^2 − 2 z + 2 = 0.
- Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi :
a) 1 + i −
i
1 − 2 i
, b) (1 + i)(1 − i)(1 +
3 i) , c)
( 1 + i
1 − i
) 2
- Mettere in forma trigonometrica e in forma esponenziale i seguenti numeri complessi:
a) z = i , b) z = 1 + i , c) z =
3 + 3i
d) z =
4 i √ 3 + i
, e) z = (1 + i)(2 − 2 i)
- Siano:
a) z =
3 − i
i
, b) z =
1 + i
2 − 2 i
Scrivere in forma algebrica, in forma trigonometrica e in forma esponenziale i numeri complessi z^2 , z^6 , z^22.
- Trovare le radici dei seguenti numeri complessi e disegnarle sul piano di Gauss.
a)
4
2 , b)
√ 1 −
3 i , c)
3
√ 1 − i +
2 i
- Sia z = e
−i π 6
−i π 2 .
a) Esprimere z sia in forma algebrica sia in forma trigonometrica.
b) Esprimere le radici cubiche di z in forma esponenziale.
- Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni delle seguenti equazioni:
a) z^2 + 3iz + 4 = 0 , b) z^4 + 2z^2 + 4 = 0 ,
c) z|z| − 2 z + i = 0 , d) zz − z +
i
4
e) z^3 = |z|^2
- Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni dei seguenti sistemi:
(a)
{ Re [z(z + i)] ≤ 2
Im z ≥ 0
(b)
{ z^6 + 7z^3 − 8 = 0
Re(z) = 1
- E’ data la funzione f : C → C cos`ı definita f (z) =
1 + iz
iz + i
a) Trovare tutti gli z ∈ C per cui f (z) = z.
b) Trovare le controimmagini di 3 + i.
- Sapendo che 1 + i `e radice del polinomio p(z) = z^4 − 5 z^3 + 10z^2 − 10 z + 4 , trovare le altre radici.
Decomporre p(z) in fattori irriducibili su IR e su C.
- Verificare che il polinomio :
p(z) = z^3 + (1 + 2i)z^2 + [(−
3 + 2)i − 2]z − i
si annulla per z 0 = −1 e trovare le altre radici.
Decomporre p(z) in fattori irriducibili.
- Trovare un polinomio p(z) ∈ IR[z] di grado 5, avente a = 3 come radice semplice, b = 2 − 3 i come
radice di molteplicit`a 2, e tale che p(0) = 1.
- (a) z = i
Il modulo di z `e |z| = 1. Posto θ = Arg (z) , si ha: {
cos θ = 0 sin θ = 1
=⇒ θ =
π
2
Pertanto in forma trigonometrica e in forma esponenziale:
z = 1 ·
(
cos
π
2
π
2
)
= cos
π
2
π
2
, z = 1 · eiπ/^2 = eiπ/^2
(b) z = 1 + i ; |z| =
- Se θ = Arg (z) :
cos θ =
sin θ =
=⇒ θ =
π
4
In forma trigonometrica e in forma esponenziale :
z =
(
cos
π
4
π
4
)
, z =
2 eiπ/^4
(c) z =
3 + 3i
1 + i
1 − i
(1 − i)(1 + i)
1 − i
1 − i^2
(1 − i)
|z| =
- Se θ = Arg (z) :
cos θ =
sin θ = −
=⇒ θ = −
π
4
In forma trigonometrica e in forma esponenziale:
z =
(
cos
(
−
π
4
)
(
−
π
4
))
, z =
e−iπ/^4
(d) z =
4 i √ 3 + i
4 i(
3 − i)
(
3 + i)(
3 − i)
3 i − i^2 )
3 − i^2
3 i
|z| =
1 + 3 = 2. Se θ = Arg (z)
cos θ =
sin θ =
=⇒ θ =
π
3
In forma trigonometrica e in forma esponenziale
z = 2
(
cos
π
3
π
3
)
, z = 2 eiπ/^3
(e) z = (1 + i)(2 − 2 i) = 2(1 + i)(1 − i) = 2(1 − i^2 ) = 4
|z| = 4. Se θ = Arg (z) {
cos θ = 1 sin θ = 0
=⇒ θ = 0
In forma trigonometrica ed esponenziale
z = 4(cos 0 + i sin 0) , z = 4 ei^0
- (a) z =
3 − i
i
3 + i)
3 − i^2
i
i^2
3 + i
2
− i =
i
|z| =
3 + 1 = 1. Se θ = Arg (z)
cos θ =
sin θ = −
=⇒ θ = −
π
6
Calcoliamo adesso i numeri z^2 , z^6 , z^22.
- |z^2 | = 1^2 = 1 , Arg (z^2 ) = 2 Arg (z) = − π 3
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z
2 = cos
(
−
π
3
)
(
−
π
3
)
, z
2 = e
−i π 3 , z
2
− i
- |z^6 | = 1 , Arg (z^6 ) = 6 Arg (z) = −π = π − 2 π.
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z^6 = cos π + i sin π , z^6 = eiπ^ , z^6 = − 1
22 ) = 22 Arg (z) = − 11
π
3
π
3
− 4 π
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z
22 = cos
π
3
π
3
, z
22 = e
i π 3 , z
22
(b) z =
1 + i
2 − 2 i
1 + i
1 − i
(1 + i)^2
1 − i^2
(2i) =
i
|z| =
, Arg z =
π
2
Calcoliamo adesso z^2 , z^6 , z^22
( 1
2
) 2
=
Arg (z^2 ) = 2 Arg (z) = π
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z
2
(cos π + i sin π) , z
2
e
iπ , z
2 = −
( 1
2
) 6
=
, Arg (z
6 ) = 6 Arg (z) = 3π = π + 2π
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z^6 =
(cos π + i sin π) , z^6 =
eiπ^ , z^6 = −
, Arg (z
22 ) = 22 Arg (z) = 11π = π + 10π
In forma trigonometrica, in forma esponenziale ed in forma algebrica:
z
22
(cos π + i sin π) , z
22
e
iπ , z
22 = −
(c) Dobbiamo calcolare z =
3
√ 1 − i +
2 i.
Calcoliamo prima
2 i =
i
Il numero complesso i ha modulo 1 e argomento
π
2
; dunque le sue due radici quadrate avranno
modulo 1 e argomenti
π 2 + 2kπ 2
(k = 0, 1) , cio`e
π
4
e
5 π
4
Dunque:
2 i) 1 =
( 1 √ 2
)
= 1 + i
2 i) 2 =
(
−
− i
)
= − 1 − i
Dobbiamo adesso calcolare i numeri complessi
w =
1 − i + 1 + i =
t = 3
1 − i − 1 − i = 3
− 2 i =
−i
Poich´e | 1 | = 1 e Arg (1) = 0 , le tre radici cubiche di 1 avranno sempre modulo 1 e
argomenti Arg (
2 kπ
3
(k = 0, 1 , 2).
Dunque:
- 2 = ei^
2 π (^3) = −
- 3 = ei^
4 π (^3) = −
− i
Pertanto le tre radici cubiche di 2 sono:
w 1 =
2 , w 2 = −
, w 3 = −
− i
−i
Poich´e −i ha modulo 1 e argomento
3 π
2
le radici cubiche di −i avranno modulo 1 e argomenti
Arg (
−i) =
3 π 2 + 2kπ 3
π
2
2 kπ
3
(k = 0, 1 , 2).
Pertanto
−i) 1 = e
i π 2 = i , (
−i) 2 = e
i 76 π = −
− i
−i) 3 = e
−i π 6
− i
Dunque le tre radici cubiche di − 2 i sono:
t 1 = ( 3
− 2 i) 1 =
2 i , t 2 = (
− 2 i) 2 = −
− i
, t 3 = (
− 2 i) 3 =
− i
Concludendo, le radici cubiche cercate
3
√
1 − i +
2 i sono i 6 numeri w 1 , w 2 , w 3 , t 1 , t 2 , t 3.
Sul piano di Gauss appartengono ad una circonferenza di raggio
2 , ma non sono pi`u ai vertici
di un esagono regolare (mentre w 1 , w 2 , w 3 sono vertici di un triangolo equilatero, come pure t 1 , t 2 , t 3 .)
- (a) z = e
−i π 6
−i π 2 = cos
(
−
π
6
)
(
−
π
6
)
(
−
π
2
)
(
−
π
2
)
=
i
In forma algebrica dunque:
z =
3 i)
Per scrivere z in forma trigonometrica, calcoliamo il modulo di z e θ = Arg (z):
|z| =
cos θ =
sin θ = −
=⇒ Arg (z) = −
π
3
Dunque in forma trigonometrica:
z =
(
cos
(
−
π
3
)
(
−
π
3
))
(b) Le radici cubiche di z hanno modulo | 3
z| =
3
3 e argomenti
Arg ( 3
z) =
− π 3 + 2kπ
3
π
9
2 kπ
3
(k = 0, 1 , 2).
Dunque in forma esponenziale
√ 3 z =
3 e
i(− π 9 + 2 kπ 3 ) (k = 0, 1 , 2)
- (a) z^2 + 3iz + 4 = 0
Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo:
z =
− 3 i ±
9 i^2 − 16
2
− 3 i ±
− 3 i ± 5
− 3 i ± 5 i
2
da cui z 1 = − 4 i , z 2 = i.
Sul piano di Gauss, sono i due punti situati sull’asse delle y di coordinate (0, −4) e (0, 1).
(b) z^4 + 2z^2 + 4 = 0
Posto z^2 = t , risolviamo l’equazione di secondo grado t^2 + 2t + 4 = 0 :
t = − 1 ±
3 i
Dobbiamo ora trovare z =
t , cio`e i due numeri complessi
√ − 1 −
3 i e i due numeri √ −1 +
3 i.
√ − 1 −
3 i
Poich´e − 1 −
3 i ha modulo 2 e argomento
4 π
3
le sue due radici quadrate hanno modulo
√ 2 e argomenti rispettivamente
2 π
3
e
2 π
3
√
− 1 −
3 i = ±
2 e
i 23 π = ±
(
−
)
= ±
(−1 + i
(d) Posto z = x + iy , ricordando che zz = |z|^2 , l’equazione diventa:
x^2 + y^2 − x − iy + 4 i = 0
Dobbiamo annullare la parte reale e la parte immaginaria; otteniamo pertanto il sistema: { x^2 + y^2 − x = 0 1 4 −^ y^ = 0^
{ x^2 − x + 161 = 0
y =
1 4
La prima equazione ha soluzioni: x =
1 2 ±
√ 3
Pertanto le soluzioni dell’equazione iniziale sono:
z 1 =
( 1
2
)
, z 2 =
( 1
2
)
Sul piano di Gauss, sono i due punti di coordinate
( 2 +
)
e
( 2 −
)
.
(e) Dobbiamo risolvere l’equazione z^3 = |z|^2.
Posto ρ = |z| e θ = Arg (z) , il numero complesso z^3 ha modulo ρ^3 e argomento 3 θ , mentre
il numero |z|^2 ha modulo ρ^2 e argomento 0.
Poich´e il numero complesso z^3 deve coincidere con il numero |z|^2 i loro moduli devono coincidere e i loro argomenti devono essere uguali a meno di multipli di 2π. Si deve pertanto avere:
{
ρ^3 = ρ^2
3 θ = 0 + 2kπ
ρ = 0 ∨ ρ = 1
θ =
2 kπ
3
Le soluzioni sono pertanto i quattro numeri complessi
z 1 = 0 , z 2 = 1
z 3 = e
i 23 π = −
, z 4 = e
i 43 π = −
− i
Nel piano di Gauss, si trovano quattro punti : l’origine e i vertici del triangolo equilatero inscritto
nella circonferenza di centro O e raggio 1 (di cui il punto (1, 0) `e uno dei vertici).
- (a) Posto z = x + iy , iniziamo a trasformare la prima equazione del sistema:
z(z + i) = (x − iy)(x + iy + i) = x^2 + y^2 + y + ix
Pertanto il sistema risulta: { x^2 + y^2 + y ≤ 2
y ≥ 0
{ x^2 + y^2 + y − 2 ≤ 0
y ≥ 0
Nel piano di Gauss i punti che soddisfano al sistema sono i punti interni alla semicirconferenza
di centro C
( 0 , − (^12)
) e raggio R =
√ 1 4 + 2 =^
3 2 , situati nel semipiano al di sopra dell’asse^ x (compresi i punti di frontiera).
(b) Per risolvere l’equazione z^6 +7z^3 −8 = 0 , poniamo t = z^3 e troviamo l’equazione t^2 +7t−8 = 0 ,
che ha soluzioni t = − 8 e t = 1.
Pertanto
z^3 = − 8 oppure z^3 = 1
- Se z^3 = −8 , allora z = 3
Le tre radici cubiche di −1 sono − 1 , 12 ± i
√ 3 2
Dunque le prime tre soluzioni dell’equazione z^6 + 7z^3 − 8 = 0 sono
z 1 = − 2 , z 2 = 1 + i
3 , z 3 = 1 − i
1 = ei^
2 kπ (^3) (k = 0, 1 , 2), cio`e
z 4 = 1 , z 5 = − 12 + i
√ 3 2 , z^6 =^ −^
1 2 −^ i
√ 3
Le soluzioni del sistema proposto sono le soluzioni dell’equazione
z^6 + 7z^3 − 8 = 0 che hanno parte reale 1, e dunque :
z 2 = 1 + i
3 , z 3 = 1 − i
3 , z 4 = 1.
Nel piano di Gauss, sono i tre punti sulla retta di equazione x = 1 di coordinate (1,
- (a) f (z) = z ⇐⇒
1 + iz
iz + i
= z ⇐⇒ 1 + iz = iz
2
2 ⇐⇒ z^2 = −i ⇐⇒ z =
−i
Le due radici quadrate di −i sono
−i = ± ei^
3 π (^4) = ±
(−1 + i)
Dunque le soluzioni dell’equazione f (z) = z sono: z = ±
(1 − i)
(b) Le controimmagini di 3 + i sono gli z ∈ C tali che f (z) = 3 + i. Dunque:
1 + iz
iz + i
= 3 + i ⇐⇒ 1 + iz = 3iz + 3i − z − 1 ⇐⇒ z =
3 i − 2
1 − 2 i
⇐⇒ z =
− 8 − i
5
Pertanto c’`e una sola controimmagine di 3 + i , il numero complesso z = −
i
- Poich´e p(z) = z^4 − 5 z^3 + 10z^2 − 10 z + 4 ∈ IR[z]
e un polinomio a coefficienti reali, se ha la radice 1 + i ha anche la radice 1 − i ; dunque p(z) si puo
dividere per il polinomio prodotto :
a(z) = [z − (1 + i)][z − (1 − i)] = z^2 − 2 z + 2
Per trovare gli altri fattori di p(z), eseguiamo la divisione di p(z) per a(z) e troviamo il quoziente
q(z) = z^2 − 3 z + 2.
Pertanto p(z) = (z^2 − 2 z + 2)(z^2 − 3 z + 2).
Le radici di z^2 − 3 z + 2 sono 2 e 1.
Pertanto le radici di p(z) sono: z 1 = 1 + i , z 2 = 1 − i , z 3 = 1 , z 4 = 2.
La decomposizione di p(z) in fattori irriducibili su IR `e : p(z) = (z − 1)(z − 2)(z^2 − 2 z + 2).
Su C , p(z) si decompone in fattori di primo grado: p(z) = (z − 1)(z − 2)(z − 1 − i)(z − 1 + i).
