Integrali e numeri complessi, Slide di Analisi Matematica I

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L’integrale

Corso di Studi EDA+ICMR - Prof. Monica Conti

November 21, 2024

Capitolo 1

L’integrale definito (o di

Cauchy-Riemann)

1 Il problema dell’area

Problema: trovare l’area racchiusa da una regione piana a perimetro curvo.

I Greci, 2500 anni fa, utilizzavano a questo scopo il metodo di esaustione, che consiste nell’iscrivere poligoni nella regione, facendo poi crescere il numero n dei lati per approssimarne sempre meglio il contorno, ovvero per esaurire la regione facendo crescere n all’infinito.

Il metodo di esaustione moderno

Descriviamo il metodo di esaustione col linguaggio moderno, facendo uso della teoria dei limiti, e calcoliamo con questo metodo l’area di una regione piana sottesa da una curva.

Sia y = f (x) una funzione limitata a valori positivi (f ≥ 0) e chiamiamo S la regione del piano che si trova sotto la curva y = f (x) da a a b, ovvero la la regione compresa tra il grafico della funzione f , le rette verticali x = a ed x = b, e l’asse delle x:

S = {(x, y) ; a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}

2 Definizione di integrale

In generale, data una qualunque funzione f : [a, b] → R limitata e una partizione di [a, b]

a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn = b

con

xi = a + i∆x, e ∆x = xi − xi− 1 =

b − a n

per i = 0, ..., n, chiamiamo somma di Cauchy-Riemann della funzione f , corrispon- dente alla scelta dei punti campione x∗ i ∈ [xi− 1 , xi], i = 1,... , n, la somma

X^ n

i=

f (x∗ i )∆x.

Definizione (Funzione integrabile). Sia f limitata in [a, b]. Se il limite delle somme di Cauchy-Riemann di f

lim n→∞

X^ n

i=

f (x∗ i )∆x

esiste, e finito, ede indipendente dalla scelta dei punti campione, diciamo che f `e integrabile su [a, b].

Quando esiste, tale limite prende il nome di integrale definito:

Definizione di Integrale di Riemann. Sia f integrabile in [a, b]. Allora il limite delle somme di Cauchy-Riemann viene chiamato integrale definito o integrale di Riemann di f da a a b, e viene indicato col simbolo Z (^) b

a

f (x) dx

Ovvero, Z (^) b

a

f (x) dx = lim n→∞

X^ n

i=

f (x∗ i )∆x.

⋄ La funzione f viene chiamata integranda, i punti a e b si chiamano estremi di integrazione- a `e l’estremo inferiore, b quello superiore. 1

(^1) La variabile x che compare all’interno del simbolo non ha alcun significato speciale, e pu`o

⋄ Nella definizione dell’integrale definito abbiamo assunto che a < b. Nel caso in cui a ≥ b si pone (^) Z b

a

f (x)dx = −

Z (^) a

b

f (x)dx.

In particolare, se a = b si ha

R (^) a a f^ (x)dx^ = 0.

Significato geometrico dell’integrale definito

Se f `e una funzione positiva, allora la sua somma di Cauchy-Riemann rappresenta una somma di aree di rettangoli approssimanti. L’integrale definito

R (^) b a f^ (x)dx^ si puo interpretare come l’area della regione sottesa dalla curva y = f (x) tra a e b. Se invece f assume sia valori positivi che negativi, allora la somma di Riemanne la somma delle aree dei rettangoli che si trovano sopra l’asse x piu le aree negative dei rettangoli che stanno sotto l’asse x (l’area dei rettangoli sopra l’asse x meno l’area dei rettangoli sotto l’asse x). Poiche l’integrale definito `e un limite di somme di Riemann, esso rappresenta una differenza di aree: Z (^) b

a

f (x)dx = Area(A) − Area(B),

dove A e la regione sopra l’asse x e sotto il grafico di f mentre Be la regione sotto l’asse x e sopra il grafico di f.

2.1 Funzioni integrabili

Non tutte le funzioni limitate sono integrabili. Infatti, come tutti i limiti, quello delle somme di Riemann pu`o esistere o meno, a seconda delle caratteristiche della funzione f.

Una funzione non integrabile. La funzione

f (x) =

0 se x e irrazionale 1 se xe razionale

essere sostituita con qualunque lettera senza alterare il valore dell’integrale: Z (^) b

a

f (x)dx =

Z (^) b

a

f (u)du =

Z (^) b

a

f (t)dt.

In altre parole x `e una variabile muta, come l’indice i nel simbolo di sommatoria

Pn i=1 ai.

Proprieta 2. (Additivita rispetto al dominio) Dato un punto c tale che a < c < b, si ha (^) Z c

a

f (x)dx +

Z (^) b

c

f (x)dx =

Z (^) b

a

f (x)dx

Propriet`a 3. (Simmetria) Data f integrabile in un intervallo simmetrico di tipo [−a, a] si ha Z (^) a

−a

f (x)dx =

Z (^) a

0

f (x)dx se f `e pari

0 se f `e dispari

Propriet`a 4. (Confronto)

1. se f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b], allora

R (^) b a f^ (x)dx^ ≥^0

2. se f (x) ≥ g(x) per ogni x ∈ [a, b], allora

R (^) b a f^ (x)dx^ ≥^

R (^) b a g(x)dx

R (^) b a f^ (x)dx^ ≤^

R (^) b a |f^ (x)|dx

4. se esistono due valori finiti m, M tali che m ≤ f (x) ≤ M per ogni x ∈ [a, b], allora m(b − a) ≤

Z (^) b

a

f (x)dx ≤ M (b − a)

3.1 La media integrale

Data f integrabile in [a, b], il numero

fav :=

b − a

Z (^) b

a

f (x)dx

viene chiamato valore medio integrale di f (o media integrale di f ) su [a, b].

Teorema (Propriet`a della media integrale). Sia f continua in [a, b]. Allora f assume la sua media integrale: esiste c ∈ [a, b] tale che

1 b − a

Z (^) b

a

f (x)dx = f (c).

dimostrazione. Per il Teorema di Weierstrass, la funzione f - continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] - ha valore massimo e valore minimo, che indichiamo con m ed M : ovvero

m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b].

Osserviamo quindi che per la propriet`a 4 dell’integrale si ha

m(b − a) ≤

Z (^) b

a

f (x)dx ≤ M (b − a).

Chiamiamo α il valore medio di f : dividendo per b − a scopriamo che

m ≤ α ≤ M.

Possiamo allora applicare il Teorema dei Valori intermedi per le funzioni continue e affermare che il valore α `e assunto da f : ovvero esiste c in [a, b] tale che f (c) = α, come volevamo dimostrare. □

4 Calcolare l’integrale definito

Calcolare un integrale definito usando la definizione e in generale un problema molto difficile e laborioso che prevede di lavorare con le sommatorie e di determinare limiti complicati. Newton e Leibniz fecero una scoperta sorprendente:R e possibile calcolare b a f^ (x)dx^ con una semplice differenza, nota una^ primitiva di^ f^.

Definizione. Sia f : [a, b] → R. Una funzione derivabile F : [a, b] → R `e una primitiva di f se F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b].

L’insieme delle funzioni integrabili dotate di primitiva gioca un ruolo fondamentale nel cacolo integrale.

Teorema Fondamentale del calcolo. Sia f una funzione integrabile dotata di primitive nell’intervallo [a, b]. Se F `e una sua primitiva su [a, b]. Allora Z (^) b

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

dimostrazione. Prendiamo la solita partizione equispaziata

a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn = b

dimostrazione. Sia F una primitiva di f in [a, b]. Poich`e

[F (ϕ(t)]′^ = f (ϕ(t))ϕ′(t)

per ogni t ∈ [α, β], la funzione F (ϕ) `e una primitiva della composta f (ϕ). Inoltre, osservando che b = ϕ(β) e a = ϕ(α) si trova l’uguaglianza

F (b) − F (a) = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)).

Ora basta applicare il Teorema fondamentale del calcolo per concludere che i due integrali nella formula sono uguali. □

5 (Alcune) applicazioni dell’integrale definito

• Lo spazio e la distanza percorsa da un oggetto in un dato intervallo temporale [a, b], nota la sua velolcit`a in funzione del tempo v = v(t)

s =

Z (^) b

a

v(t)dt, d =

Z (^) b

a

|v(t)|dt

• L’area della regione delimitata da due grafici, come in figura

A =

Z (^) b

a

[f (x) − g(x)]dx

• Il volume di un solido nota l’area A(x) delle sue sezione:

V =

Z (^) b

a

A(x)dx

• In particolare, il volume di un solido di rotazione ottenuto ruotando intorno all’asse x la figura piana sottesa dal grafico di una funzione y = f (x), come in figura:

V =

Z (^) b

a

π[f (x)]^2 dx

ovvero la continuit`a di g in x 0.

(punto 2.) Fissiamo x nell’intervallo (a, b) e h tale che x + h ∈ (a, b). Per avere g′(x) dobbiamo calcolare il limite del rapporto incrementale al tendere dell’incremento a zero lim h→ 0

g(x + h) − g(x) h

Cominciamo a calcolare^3

g(x + h) − g(x) =

Z (^) x+h

a

f (t)dt −

Z (^) x

a

f (t)dt

Z (^) x

a

f (t)dt +

Z (^) x+h

x

f (t)dt −

Z (^) x

a

f (t)dt

Z (^) x+h

x

f (t)dt

Applichiamo ora la Propriet`a della media integrale (possiamo perche’ f e’ con- tinua): esiste un punto ch ∈ [x, x + h] tale che Z (^) x+h

x

f (t)dt = f (ch) · h.

Notiamo che al limite per h → 0, l’intervallo [x, x + h] si schiaccia fino a ridursi al solo punto x. Dunque il punto ch, che dipende da h essendo compreso tra x e x + h, al limite per h tendente a 0 si identifica con x. Ma f `e una continua, dunque lim h→ 0

f (ch) = f (x).

Raccogliendo tutte le informazioni si ha

lim h→ 0

g(x + h) − g(x) h

= lim h→ 0

h

Z (^) x+h

x

f (t)dt = lim h→ 0 f (ch) = f (x).

In particolare, il Teorema Fondamentale del Calcolo garantisce che ogni f continua ha una primitiva: infatti dal punto 2. sappiamo che la funzione integrale

g(x) =

Z (^) x

a

f (t)dt

`e una primitiva di f.

(^3) Qui usiamo l’additivit`a dell’integrale rispetto all’intervallo.

Capitolo 2

Integrale indefinito

1 Primitive e integrale indefinito

Definizione (Primitiva o antiderivata). Una funzione F e una primitiva di f su un intervallo I se Fe derivabile in I e

F ′(x) = f (x), per ogni x ∈ I.

Osserviamo che se F (x) ha derivata f (x), anche F (x) + C ha derivata f (x), dove C `e una costante arbitraria. Infatti

d dx

[F (x) + C] =

d dx

[F (x)] +

d dx

[C] = f (x) + 0 = f (x).

Questo implica che se esiste una primitiva di f (x) allora ne esistono infinite, nella forma F (x) + C. In realt`a, queste sono tutte e sole le primitive di f :

Teorema di Struttura delle Primitive. Se F e una primitiva di una funzione f su un intervallo I, allora l’insieme di tutte le primitive di f su Ie formato da funzioni di tipo F + C, al variare di C costante arbitraria.

dimostrazione. Date due primitive F e G di f , si ha

d dx

[F (x) − G(x)] =

d dx

[F (x)] −

d dx

[G(x)] = f (x) − f (x) = 0.

Dato che le funzioni con derivata nulla su un intervallo sono le costanti, segue che esiste una costante C tale che

G(x) − F (x) = C,

come volevamo dimostrare. □

Capitolo 3

Tecniche di integrazione

Sappiamo che ogni funzione continua su un intervallo ha primitive in quell’intervallo -la famiglia descritta dal simbolo

Z f (x)dx

di integrale indefinito.

Dalle derivate delle funzioni elementari si ricava subito l’espressione delle primitive delle principali funzioni elementari:

Z xα^ dx =

xα+ α + 1

• C (α ̸= −1) Z 1 x

dx = ln |x| + C Z cos x dx = sin x + C Z sin x dx = − cos x + C Z ex^ dx = ex^ + C Z ax^ dx =

ax ln a

+ C

Z

1 + x^2

dx = arctan x + C Z 1 √ 1 − x^2

dx = arcsin x + C Z 1 cos^2 x

dx = tan x + C Z 1 sin^2 x

dx = − cot x + C

Attenzione! La seconda formula Z 1 x

dx = ln |x| + C

e una convenzione. Infatti ln |x| none definita x = 0, e dunque non puo essere una primitiva di 1/x in intervalli che contengono l’origine. La funzione 1/x puo essere integrata solo su intervalli di tipo (a, b) con 0 ≤ a < b, oppure con a < b ≤ 0. Nel primo caso una sua primitiva e semplicemente ln x, nel secondo ln(−x): non ha senso parlare di primitiva di 1/x in un intervallo contenente l’origine! Scrivere che una primitiva di 1/xe ln |x| `e solo un modo compatto per descrivere in una sola formula entrambe le situazioni.

Vediamo ora le tecniche principali che permettono in molti casi di tovare l’espressione esplicita delle primitive di una generica funzione continua su un inter- vallo. Si tratta delle formule di

• Integrazione per scomposizione
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione di funzioni razionali

Occorre osservare pero che per quanto si possa essere abili con le tecniche, es- istono moltissime funzioni continue per le quali none possibile esprimere le primitive in termini di funzioni elementari, ovvero non esiste il modo di esplicitare l’espressione dell’integrale indefinito usando composizione e operazioni algebriche di fumzioni el- ementari. Esempi notevoli sono Z e−x 2 dx,

Z

sin x^2 dx,

Z

sin x x

dx,

Z

ln x

dx

1 Integrazione per scomposizione

Le regole di derivazione possono essere riscritte facilmente come regole per il calcolo di primitive. Per esempio, la derivata di una combunazione lineare di funzioni F e G `e αF (x) + βG(x) = αF ′(x) + βG′(x)

dati α, β ∈ R qualsiasi. Ne segue che se f (x) e g(x) sono due funzioni con primitiva F (x) e G(x) rispettivamente, allora la somma αF (x) + βG(x) e la primitiva della somma αf (x) + βg(x): questae la formula di integrazione per scomposizione

Integrazione per scomposizione Z [αf (x) + βg(x)] dx = α

Z

f (x) dx + β

Z

g(x) dx