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INTEGRALI
GEsfunzione I Integranda(flady^ = (^) area con (^) segno della regione di (^) piano compresa
Tre il Grafico di f(x), L'assex e le rette verticali X = e ex= b
ab
INTERVALLO (ZONA DI INTEGRAZIONE)
b Per CalcolareSfad^
devo :^ - trovare una funzione che , nell'intervallo la, bj , abbia f(a
COME DERIVATA (ovvero come Primitiva Di g)
- Una volta TROVATA , La^ CALCOLO^ NEGLI^ Estremi^ DELLA^ ZONA^ Di INTEGRAZIONE
Si dice che fexi e una primitiva di
f(x) se^ e^ dérivabile^ e^ fical^
f(x)vxe(e ,^ b)
La Primitiva^ Non e mal Unica : Se f(x) È una Primitiva ,^ Allora^ Lo e Anche f(x) + C , CON Cer
PRIMITIVE "^ ELEMENTARI" f(x) +(x)
cost sinx
Sinx-cost
ex ex
at (^) i
ymyn
em(x) 1
1 + x artanx
PROPRIETÀ DEGLI^ INTEGRALI
- (^) SIf(x) = (^) g(x)]dx = Sf(x(dx =+ (^) Sg(x)dx
- (^) Stef(x)dx = Sf(z) da
INTEGRAZIONE PER PARTI
Sf(x)g(x)dx = f(x)g(x) - Sf'(x)g(x)dx ESEMPIO 1 &o^ =^ Asinx-Ssinxox^ =^ xsinx^ +^ cost^ +^ c
8 g
f = (^) x 8 =^1 g =
cosxg
: (^) sinx
ESEMPIO 2
Se Sed :^ e f : (^) = g = (^1) j
= e
g
= (^) et ESEMPIO 3 Sed -^ et-Saxedx^ =^ ve^ -Se q 8g
8 :^
x (^) f= (^) 2x jég
= ex
POLINOMIO (^) DI 2 O GRADO AL DENOMINATORE
CON 130
3 : 4 - 4737 :^1630 214/5(x^ +^ 1)(x^ -^ 3) (^13 )
Sx - (^5) = A^ + B = A(x-^ 3) + (^) B(x- 1).^ - Ax-^ 3x^ +^ Bx-^ B =^ x(A^ +B) - 3A - B
x2 2x - 3(x + 1)(x- 3)(x+ 1)(x - 3) (x + 1)(x- 3) (x + 1)(x - 3)
(AB
3 &1 d : 2lmx (^) + ll
n
o
S3x9 d (^) =
D =^1 -^ 4(- 2) =^5 :^3
(^1) = 3/
X(A +B)^ - (^2) + B (x + (^) 1)(x - 2) (^) S C :23- Sdd : Ixx :I t
no 587
(9-9xdx x, = g = 5
9x2 - 1
x = - j = 13
=A
(x + y)(x
y)(x
z)(x
- 1z) A^ E Se S-18dro- +Se (n(3x -^113 + c = (n(3x-^ 1) 13x +^1118
13x+ 112
17 (x
x +^ adxt^ =^ x^ +
t2 =^ x^ +^4
((t 2 -a)(t)(2t) altx =^ +2- 4
dx :^ 2t^ ot
((t
- (^) st)(2t) olt (2t"
- 8fot Sat" olt-get"^ off (^2) St"olt-8St" At 2)olt-8) ott
St . t
tott-8St · tot 2))x
- (^) 4)(x +7) - f))x +^ a)(x+a)d+ 3 2 +h(x +4) - (^) 8)x + a)(x+ ) + C
Sx2x-go &ang ** = Sx(x +- 2k+a) : 0 (+aYk- 2) :) + AxBhAAth -o E
B =
J
S-d
E
- (m(x^ +4)^ +^ (m(x-^ 2)^ +^ C
490 Sex
or
of
1 =^ 0x =^3 -3x+ 3 (3) + 3 A(x-B^ : A A =^0 &- Sa + B= (^1) B = = +g" :s^
13
- a'sid : 2/(x-3)* : 2(x- 31 :***^
&^25
dx 10-4(5)^ :^ 16-
1960 PROVA^ A-BNOG
x2 -^ 4x + 5
Si ↓ I x
- 2x x2- 4x (^) + 4 5(x-+^1
da
Sarcton(x -^ 2)^ +^ C
S+ 13
d 36 - 4(13) =^36 -^72 =
x+ x+^13
2. 3. X
(x + 3) 2 :^2 + (^) g +^6 (x (^) + 3)+ 4 (([3(3)^ +^1
Sne
( o (21)= BBit Sok-d (n(x +^ 1) - S(1)t = (x+ 1 (n(x +z)^ - 71 a (n(x +^ 1) - S(2- (^) +z
ot
INTEGRALI (^) DEFINITI
1 b
f(xSf(x)dx = (^) lim Sn =^ lim Se
I
n - >^ + 0 m^ - >^ +^ N ab
M
Sn :^ Somma integrale (^) inferiore
: Difetto
i
Su :^ Somma^ integrale superiore^ : (^) Eccesso
. Sia
s
3):
- (^) IS /^ E gg()
d
x+^
+ :^ +^ sexis t :^3
x =^ t^ 2
X =^ 1t^ =^1
d :^ 2t^ ot
Se 163 Sex =^5 t^ =^4 =^2
d t :^ X - 1 sex : 2 t= 1 :^1
t2 =^ X - 1 X =^ t2^ + 1
d =^ 2t ot
g21 2tzgt : 2
(^3 ) 164 fix
+ d t: x1 sexiot
t:^ x + 1Sex - 1t : 0
X = t2 -^1
(^1) dx : (^) 2t olt of(t"
+ 1)(t)(2t) ot
· St+^ 1) (23) dt^ : J+^ E : jet (^) : 2) 2(-10- S 11 Sx
+ 1 dxt=^ x + 2Sex = 1t: 3
. 1
X + 2 t2 =^ x+^ 2Sex=^ -^ 1t= 1
X =^ t2 -^2
o=^ 2t ot
53 V
1
. 2 = St (^) : - 1) :St^23 I
166 3 S
ol t^ :
3 x + (^2) Sex= 6 8 :^2 E3 =^ x^ +^2 Sex. 1 t=^1 =^1 x =^ t^ (^3) - 2 I 2 st
ist off
t
Sit vist : 93tist -5.2. 14
S 1x d
t =^1 -^ x2^ Sex :^ 1 t: 0
t2 =^1 -^ x2 Sex =^ 0 t^ =^1
X =^ -^ ti+ 1
ok :^ -2t^ at
- ti+ 1 St (^) - Stat. O 91 : (
j
d ot (^) = (^) cost E 94 Sexluxdx = hex - 48m2 - 2 - 1 = (^) 4(mz
165 S Sex =^1 t =^ - z =^1
Sex =^ 1t=^3
X =^ t- 2
dx : 2t alt
V
t - 2 +^1. 27 dA
Sa 1 53 2St
X =^ t3^ Sex =^ Nat =^ M
· Trat V =^ t Sex = 0 t: o
dx =^ 2tdA
M (^) f(t) =^ + f'(t)
f(t)
- g(t) - Sg'(t) - g(t) a Saint
- (^) ot M M g(t) : -cost (t) : (^) sint (^2) -t. cost-S-cost off 00 2 +^ m^ +^ 2 Scstat S 2 i^ +^ C^ Sint^.^ at 2,N +^2 [sint]^ o
2 +^2 Sinn =^ I
(^133) t = (^) 2x Sex : et^ : In^ e X =^ et^ Sex :^ et:^ In e^ = E scence
detd
E
N M
et
. Sintetotjot = Ecc-wT
i E
125 o +. jxcosax de (^) f(x) = x (^) f(x) = 1
A
E (^) f(x)-g(x)
= Sinzx
g(7) : (^) 2012x (^2) O XSinax-S . sinax e . t dx = Edt
Sem +)^ d^ f(x)
= (mx
f'(x) = 7 g(x) = x^ g'(x) =^1 jen(2dx 1 jen-Sxdx 1
(nx. x -
(
. x. (^) dx +
dx
2 (mx. x - x + z : [(mx.^ x^
. e-e
+[
Il-e
e-to-In
CALCOLO DI VOLUTI
ASSEX
f(x) TRAPEZZOLDE !
V
=S · ASSE 8(1dy
SUSCI CILINDRIC
Solido vuoto^ all'interno ! V :^2 Sexf(x)dx I ...........
METODO DELLE SEZIONI V : SSCXdx S(x) (^) = l'arca delle serioni (^) trasversali
440 5 :^ -2x+8x [0: 67 SEC
6 - 32 : O #12x O
3072 +^ 20480-122880 = 99328
