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LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO SEMPLICE
Problema
In un sacchetto ci sono 7 palline bianche e 3 palline nere. Tranne che nel colore, le palline sono identiche: sono fatte dello stesso materiale, hanno le stesse dimensioni, sono perfettamente sferiche, ugualmente levigate e così via.
Infilerò una mano nel sacchetto, senza guardarvi dentro, e estrarrò una pallina a caso.
Qual è la probabilità che la pallina estratta sia verde?
Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca?
Qual è la probabilità che la pallina estratta sia nera?
Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca o nera?
- Le palline in tutto sono 7+3=10 e pertanto i casi possibili sono 10.
Nessuna pallina è privilegiata rispetto alle altre e quindi tutte le palline hanno la stessa probabilità di essere estratte. Perciò i 10 casi possibili sono anche equiprobabili e cioè tutti ugualmente possibili.
- Fra i 10 casi possibili, ci sono 0 casi che corrispondono a quelli in cui la pallina è verde.
Questi sono i casi favorevoli all'evento aspettato.
L'evento "La pallina estratta è verde" ha perciò 0/10=0 possibilità di verificarsi (evento impossibile).
- Fra i 10 casi possibili, ci sono 7 casi che corrispondono a quelli in cui la pallina è bianca.
Questi sono i casi favorevoli all'evento aspettato.
L'evento "La pallina estratta è bianca" ha perciò 7/10 (=0.7=70%) possibilità di verificarsi (evento aleatorio).
- Fra i 10 casi possibili, ci sono 3 casi che corrispondono a quelli in cui la pallina è nera.
Questi sono i casi favorevoli all'evento aspettato.
L'evento "La pallina estratta è nera" ha perciò 3/10 (=0.3=30%) possibilità di verificarsi (evento aleatorio).
- Fra i 10 casi possibili, ci sono 10 casi che corrispondono a quelli in cui la pallina è bianca o nera.
Questi sono i casi favorevoli all'evento aspettato.
L'evento "La pallina estratta è bianca o nera" ha perciò 10/10=1possibilità di verificarsi (evento certo).
La risoluzione di questo problema ci fornisce lo spunto per dare una definizione di probabilità di un evento.
Esempi
a) Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia un 10 di cuori?
I casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 0 perché in un mazzo di 40 carte non ci sono i numeri 8, 9, 10.
p(10 di cuori)=0/40=0 (evento impossibile)
b) Estraendo una pallina da un'urna che contiene 8 palline rosse, qual è la probabilità che la pallina estratta sia rossa?
I casi possibili sono 8, i casi favorevoli sono 8, perché l’urna contiene solo 8 palline rosse.
p(pallina rossa)=8/8=1=100% (evento certo)
c) Lanciando una moneta, qual è la probabilità che esca testa?
I casi possibili sono 2, testa e croce, i casi favorevoli sono 1, testa.
p(testa)=1/2=0.5=50% d) Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 5?
I casi possibili sono 6, i casi favorevoli sono 1.
p(5)=1/6=0.167= 16,7%
Ci aspettiamo quindi che l’evento si verifichi nel 16,7% dei casi ovvero su 100 lanci è probabile che il 6 esca circa 17 volte.
e) Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual è la probabilità che sia una figura?
I casi possibili sono 40, i casi favorevoli sono 12, perché le figure sono 12.
p(figura)=12/40=3/10=0.3=30% f) Proviamo a fare un confronto fra due diversi eventi.
E’ più probabile pescare una figura da un mazzo di 40 carte oppure una carta di denari?
p(figura)=12/40=3/10=0.3=30%
p(carta di denari)=10/40=1/4=0.25=25%
È più probabile pescare una figura.
g) Nel caso di una puntata sul colore rosso alla roulette, la probabilità di vincere è pari a 18/37=0.49=49%. Infatti i numeri rossi sono 18 su un totale di 37 (ai 18 numeri rossi occorre aggiungere 18 numeri neri e lo zero che è verde).
h) Supponiamo che un bambino lanci alcuni sassi contro una parete forata senza prendere la mira e che i k fori siano distribuiti sulla parete a caso. Assumiamo che le dimensioni dei sassi siano molto piccole rispetto a quelle dei fori.
Qual è la probabilità p che un sasso passi dall'altra parte?
Se Ap è l'area della parete e A f l'area di ciascuno dei k fori per cui l’area dei k fori è k*A f ,
la probabilità che un sasso passi dall’altra parte è data dal rapporto fra l'area "favorevole"
e l'area totale: p=k*Af/A p.
