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Questa lezione fornisce un'introduzione al concetto di concentrazione in statistica, illustrando come un carattere quantitativo e trasferibile si distribuisce tra le unità che lo possiedono. Viene presentato il diagramma di lorenz, uno strumento grafico per visualizzare la concentrazione, e vengono introdotti gli indici di concentrazione, come il rapporto di concentrazione di gini, per misurare la concentrazione nei casi reali.
Tipologia: Slide
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Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche – Laurea in Economia e Commercio M. GHERGHI ANNO ACCADEMICO 2024 - 25
Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche – Laurea in Economia e Commercio M. GHERGHI ANNO ACCADEMICO 2024 - 25 Frazione cumulata dei primi i redditieri Frazione cumulata del reddito posseduto dai primi i redditieri Esempio: il Reddito Le osservazioni vanno ordinate in senso non decrescente : Equiripartizione:
1 q 1 q 2 qn- 1 x
≤ x
≤ … ≤ x
p i = i n q i = x j j = 1 i ∑ x j j = 1 n ∑ Massima concentrazione : p i = q i ∀ i Area di Concentrazione Spezzata di massima concentrazione (^) q 1 = q 2 = … = q n − 1 = 0 ; q n = x i i ∑^1
Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche – Laurea in Economia e Commercio M. GHERGHI ANNO ACCADEMICO 2024 - 25 Esempio: il Reddito
p 1 p 2 pn- 1 1 1 qn- 1 Area di concentrazione Situazioni reali:
Frazione cumulata dei primi i redditieri Frazione cumulata del reddito posseduto dai primi i redditieri Le osservazioni vanno ordinate in senso non decrescente : Equiripartizione: x
≤ x
≤ … ≤ x
p i = i n q i = x j j = 1 i ∑ x j j = 1 n ∑ Massima concentrazione : p i = q i ∀ i q 1 ≤ q 2 ≤ … ≤ q n ≤ 1 q 1 = q 2 = … = q n − 1 = 0 ; q n = x i i ∑^1
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…
p 1 p 2 pn- 1 1 1 qn- 1 Area di concentrazione
x
≤ x
≤ … ≤ x
R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ 0 ≤ R ≤ 1 Formula alternativa: R = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑ Il rapporto di concentrazione di Gini (rapporto tra segmenti) Indice normalizzato Esempio: il Reddito Le osservazioni vanno ordinate in senso non decrescente :
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Esempio :
R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
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R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
Hai ordinato i dati?
Individuiamo le p i e le q i
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Tabella ordinata R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
Individuiamo le p i e le q i
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Esempio :
R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
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Esempio :
R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
Il valore di qi esprime la frazione cumulata della quantità del carattere detenuto dalle prime i reti più “povere”. Avremo quindi: Quanto vale q 1****? Per q 2 (e poi per tutte le qi successive) il discorso è analogo; bisogna solo ricordare che parliamo di quantità cumulate. Avremo, quindi: Quanto vale q 2? q 1 = x 1 x i i ∑ = 339
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Esempio :
R = p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑
(in milioni di euro)
(^1) R = 2 p i − q ( (^) i ) i = 1 n − 1 ∑ p i i = 1 n − 1 ∑ = 1 , 1535 4 = 0 , 288 R = 1 − 2 n − 1 q 1 i = 1 n − 1 ∑ =^1 −^ 2 8 × 2 , 8465 = 1 − 0 , 7116 = 0 , 288
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La concentrazione come rapporto tra aree Oltre che come rapporto tra segmenti , la concentrazione può anche essere calcolata come rapporto tra aree , e precisamente tra l’area di concentrazione e il suo valore massimo, ottenendo così, anche in questo caso, un indice normalizzato.
p 1 p 2 … pn- 1 1 1
L’ area di concentrazione non può essere calcolata direttamente, ma può facilmente essere ricavata per differenza , sottraendo all’area del triangolo monometrico (che è pari ad ½, essendo base e altezza pari a 1 per costruzione) quella sottostante all’area di concentrazione stessa , che, come è facile osservare, è pari alla somma delle aree di n trapezi (in realtà, n - 1 trapezi e un triangolo, che può comunque esser considerato un trapezio degenere con la base minore pari a zero).
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La concentrazione come rapporto tra aree
p 1 p 2 … pi pi+1 pn- 1 1 1
Area massima Rapporto di Concentrazione: Area di Concentrazione Area massima
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La concentrazione come rapporto tra aree
p 1 p 2 … pi pi+1 pn- 1 1 1
Area di concentrazione: Area Trapezio : Totale Aree Trapezi: Area Concentrazione: Rapporto di Concentrazione: 1 2 − Aree ∑ Trapezi q i + 1
