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Università degli Studi di Roma – Tor Vergata Facoltà di Ingegneria – Corso di Ingegneria Medica
SISTEMI DI NUMERAZIONE
Come nei calcolatori sono rappresentati i numeri
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Numeri
I numeri rappresentano il modo simbolico per
descrivere su un supporto qualunque
" valori quantitativi ".
Fin dall’antichità gli esseri umani hanno avuto
bisogno di quantificare cose ed eventi.
Anche gli animali hanno un loro modo di quantificare e qualificare Ci sono popolazioni che ancora usano solo rappresentazioni limitate a piccoli valori Molte popolazioni hanno ideato proprie modalità di rappresentazione delle quantità
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Numerali
Numerale è una stringa di simboli che
rappresentano un numero
124 BF189 AH 100.000 M CMLXXXVIII ( 1 988)
Il valore non è definibile se non si conoscono le
regole che sono state definite per le modalità di
rappresentazione
NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - etc.
Sistemi additivi e sistemi posizionali
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http://it.wikipedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg https://nicovalerio.blogspot.it/2010/08/storia-dei-numeri-quegli-strani-modi-in.html
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Sistemi di numerazione
SISTEMI ADDITIVI
Sono basati su un set di simboli base Il valore del numero risulta dalla somma o differenza di una sequenza di tali simboli posizionati in modo opportuno Nella rappresentazione è insita una operazione matematica anche non costante Risulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeri Per i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetuti Per i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetuti Per i romani i simboli base sono 7 (I V X L C D M)
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Sistemi di numerazione
SISTEMI POSIZIONALI o Arabi
Vi troviamo due condizioni fondamentali:
1° - E’ definito un’insieme di simboli base
2° - Ad ogni simbolo è associato un peso, che
NON cambia mai.
Il valore del numero è funzione del valore assegnato al simbolo e della posizione in cui il simbolo stesso si trova nel numerale
SIMBOLOGIA della CIFRA decimale
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Criterio di rappresentazione-Numeri Naturali
Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed al successivo dall’aggiunta o dalla sottrazione del peso unitario
3 + 1 = 4 = 5 – 1 3 precede 4 5 segue
Giunti all’ultimo simbolo di una sequenza di somma si ricomincia dal primo simbolo con il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra (incremento di significatività) 9 + 1 = 0 con il riporto di 1 = 10 19 + 1 = [9+1=0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da 2(decine)] = 20 e così via fino a 99 99 + 1 = [(9+1=0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9 da 0 con il riporto di 1(centinaia)] = 100
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Rappresentazioni numeriche - polinomiali
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Sistema decimale (^24) D = 2x10(1)^ + 4x10(0)^ = 20 + 4 Foneticamente mila cento anta (^4735) D = 4x10(3)^ + 7x10(2)^ + 3x10(1)^ + 5x10(0) = 4000 + 700 + 30 + 5 La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata aggiungendo allo 0 più a destra l’unità tenendo presente che ogni volta che si arriva a 9, l’ulteriore valore è dato dall’aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e re- azzerando il simbolo a destra. Esempio: migliaia centinaia decine unità
Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita!
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Sistema decimale - Numeri Naturali
Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti
da combinazioni ordinate di un numero definito
di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un
peso nel numero, che è funzione della sua
posizione e del numero di simboli definiti
7924 D = 7* 10 3 + 9* 10 2 + 2* 10 1 + 4* 10 0
4735 D = 4* 10 3 + 7* 10 2 + 3* 10 1 + 5* 10 0
32196 D = 3* 104 +2* 103 +1* 102 + 9* 101 + 6* 100
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L’elettronica nel calcolo
Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in grado di effettuare operazioni matematiche. Dispositivi analogici Sommatore Amplificatore Integratore Derivatore
Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo pesante di varie condizioni al contorno Alimentazione, temperatura, rumore elettromagnetico, caratteristiche dei singoli componenti nel tempo.
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Moltiplicatore
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Rappresentazione Binaria
Anche i calcolatori sono realizzati con
tecnologie elettroniche ma le modalità con cui
rappresentano le informazioni sono diverse.
I circuiti che li compongono vengono fatti
funzionare come interruttori elementari, dando
così luogo a due soli stati possibili
circuito APERTO o CHIUSO
0 o 1 Falso o Vero Dato che si tratta di una convenzione potremmo stabilire la corrispondenza 0=Chiuso 1=Aperto 0 = Vero 1=Falso
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Vcc 0
Vgrd 1
Circuito base costituito da un solo elemento
Circuito disattivato aperto (^) Circuito attivato chiuso
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Rappresentazione Binaria
Questa condizione può essere sfruttata per
definire una base di numerazione diversa da
quella decimale
con una base di due soli simboli
che possiede le stesse proprietà e
segue le stesse regole dell’algebra.
Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti
adeguati si possono
Rappresentare e memorizzare i numeri e altro
Rappresentare funzioni da eseguire
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Rappresentazione Binaria
Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999
avendo a disposizione 10000 combinazioni
Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15 D )
avendo a disposizione 16 combinazioni (2 4 )
Con 8 cifre binarie da 0 a 11111111 (255 D )
avendo a disposizione 256 D combinazioni (2 8 )
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Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10 k^ ) numeri e si conta da 0 a (10 k^ -1)
Con k cifre a disposizione posso rappresentare (2 k^ ) numeri e si conta da 0 a (2k^ -1)
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Ripetizione dei simboli
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OTTINE QUATTRINE DUINE
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Numero di rappresentazioni
Con 4 bit si ottengono 16 diverse configurazioni 2 4
Il quesito può essere posto anche in modo diverso
Se ho bisogno di disporre fino a K (configurazioni o K-1 valori) quante cifre binarie devo utilizzare?
Dato che 2 4 = 16 2 n^ = K n >= log 2 K
(parte intera superiore di) n, numero di cifre binarie
necessarie per rappresentare un determinato valore
decimale K
K= 1.000.000 log 2 K = 19,
20 cifre binarie (bit)
n = Log 2 (10 D^ ) (D-1 cifre decimali rappresentabili) n=intero superiore
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Conversione Decimale - Binario
La conversione da decimale a base 2 si attua attraverso divisioni successive per due ed utilizzando la presenza del resto (intero superiore del decimale), per costruire la sequenza di BIT. (^73) D 73 / 2 = 36,5 resto 1 LSB 36 / 2 = 18 no resto 0 18 / 2 = 9 no resto 0 9 / 2 = 4,5 resto 1 4 / 2 = 2 no resto 0 2 / 2 = 1 no resto 0 1 / 2 = 0,5 resto 1 0 = fine (0 1 0 0 1 0 0 1) 0 MSB Informatica - Ingegneria Medica -2018 - Franco Del Bolgia
1+ 0+ 0+ 8+ 0+ 0+ 64+ 0
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Posizione delle cifre e peso / Codifica 8 cifre
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7 6 5 4 3 2 1 0 Decine M 107 Unità M 106 Centin. K 105 Decine K 104 Unità K 103 Centinaia 102 Decine 101 Unità 100 BINARIO 128-ine 27 64-ine 26 32-ine 25 16-ine 24 Ottine 23 Quattrine 22 Duine 21 Unità 20 OTTALE 2.097.152–ine 87 262.144ine 86 - 32.768-ine 85 4096-ine 84 512-ine 83 64-ine 82 Ottine 81 Unità 80
128-ine 27 64-ine 26 32-ine 25 16-ine 24 Ottine 23 Quattrine 22 Duine 21 Unità 20 ESADECIMALE (^268435456) –ine 167 16.777.216-ine 166 -ine1.048.576 165 65.536 –ine 164 4.096-ine 163 256-ine 162 16-ine 161 Unità 160
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Numerazione Esadecimale
Un numero esadecimale è composto dai 10
simboli numerici e da 6 lettere che assumo pesi da
10 a 15 per un totale di 16 diversi simboli
Così il numero base 16
A3CD H = A16^3 + 316^2 + C16^1 + D16^0 =
È uguale al numero base 10 Dec, 8 Ottale, 2 Bin
A3CD H = 41933 D
A3CD H = 121715 O
A3CD H = 1010.0011.1100.1101 B
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Calcolatrice
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Conversione Decimale - Esadecimale
La conversione da decimale a base 16 si attua
attraverso divisioni successive per sedici
prelevando il resto simboli pesati.
895 D quoziente parte intera
895 / 16 = 55 resto = 15 (895-55*16) F LSB
55 / 16 = 3 resto = 7 (55-16*3) 7
3 / 16 = 0 resto = 3 3 MSB
0 = fine (3 7 F)
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316^2 + 716^1 + F = 768 + 112 +15 = 895
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Targhe automobilistiche
AF 739 KH
Per leggerle in modo numerico corretto AFKH 739 Definito il set di simboli dell’alfabeto inglese di cui si utilizzano solo 22 simboli per non creare ambiguità (sono escluse I,O,Q,U) La targa iniziale sarà AA 000 AA Che equivale a AAAA 000 = 0000000 (^) DECIMALE Avendo assegnato il peso 0 al simbolo A
Potremmo fare di meglio?
http://it.wikipedia.org/wiki/Targhe_automobilistiche_italiane
Decimale 2.625.
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Codifica dei dati – Tipologia dei dati
Numerici
Numeri naturali – interi – razionali - irrazionali 0,1,2,3,4,5,…. ; -5,-4,-3,…,0,1,2,3,4,5,….; ½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/ 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333… ; Pgreco
Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici)
A a B b C c é ì ~ Š ® μ ¶ ä { } Й П, 00150,…… Codifica di informazioni complesse (giorni settimana, mesi anno, patologie, colori, suoni, etc)
Istruzioni
+, -, *, /, carica, deposita , trasferisci, confronta,
Informatica - Ingegneria Medica -2018 - Franco Del Bolgiasalta, salta su condizione, …..
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Rappresentazione a numero finito di bit
Nell’utilizzo dei sistemi informatizzati è di
questione fondamentale stabilire il numero di bit
(cifre) da utilizzare per la rappresentazione dei
numeri.
Tale numero di bit ci permette di stabilire il
massimo \ minimo valore rappresentabile per rilevare
le condizioni di errore di
OVERFLOW \ UNDERFLOW
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Errori di rappresentazione
Numeri a precisione finita, numero di cifre definite a priori es. 2 es. numero di cifre definito 80 + 23 = 03? ( 1 03) errore chiusura o overflow) 0,33-1/3 = -0,00 3333 errore di underflow) Associazione nelle operazioni (Proprietà associativa) 70+80-60 =? 70+(80-60)= 70+20 = 90 (70+80)-60 = 1 50 - 60 = -
Errori di arrotondamento / troncamento È possibile rappresentare esattamente un numero decimale? SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria, multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc…
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Rappresentazione dei decimali
I decimali si rappresentano con lo stesso criterio posizionale con cui rappresentiamo gli interi. **S 2 *10 2 + S 1 *10 1 + S 0 10 0 + S-1 10 -1^ *+ S-2 10 -2^ +S-3 10 - parte INTERA parte DECIMALE 2 2 + 2 1 + 2 0 + 2 -1^ + 2 -2^ + 2 -3^ + 2 - 4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16 ….. ………………0,5 0,25 0,125 0,0625 …..
101,1011 B = 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 + 0,
5,6875 D
Rappresentazione in virgola fissa esempi
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Rappresentazione con bit di segno 1 bit in più
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Se usiamo 5 bit , 1 bit per il segno e 4 bit per il numero
Intervallo [-15, +15]
È poco usata per l’elevata complessità della circuiteria da realizzare
Doppia rappresentazione dello zero
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Rappresentazione complemento a 1
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Se usiamo 4 bit , 1 bit per il segno e 3 bit per il numero
Intervallo [-7, +7] Per cambiare di segno si complementa bit a bit
Doppia rappresentazione dello zero [-2 n-1^ +1, +2 n-1^ -1]
Il complemento si ottiene cambiando 0 in 1 e 1 in 0 per ogni cifra binaria 0101 complementato ad 1 1010
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Rappresentazione complemento a 2
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I valori negativi sono ottenuti complementando il valore positivo e sommando 1
Con 4 bit (1+3) Intervallo [-8, +7]
UNICA
rappresentazione dello zero
[-2 n-1^ , +2 n-1^ -1]
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Rappresentazione complemento a 2
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Intervallo più esteso di una unità Intervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7] Il segno è associato alla sola cifra più significativa Si rappresentano i numeri (-2 n-1^ +2 n-2^ +...... +2 1 +2 0 ) Esempio complem + 1 6 = 0110 1001 + 0001 = 1010
