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Università degli Studi di Roma – Tor Vergata Facoltà di Ingegneria – Corso di Ingegneria Medica
Operazioni logiche
L’algebra di Boole
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Componenti logiche di un elaboratore
Informatica - Ingegneria Medica -2017 - Franco Del Bolgia
Possiamo immaginare il nostro sistema come una scatola nera dove
ci sono milioni di circuiti elettronici equivalenti ad interruttori con
configurazioni d’ingresso e configurazioni d’uscita
y 1 =f(i 1 ,i 2 ,i 3 ,…i n )
y 2 =f(i 1 ,i 2 ,i 3 ,…i n )
y 3 =f( 1 ,i 2 ,i 3 ,…i n)
y m =f(i 1 ,i 2 ,i 3 ,…i n )
y f ( i 1 , i 2 ,.... in )
y , i 1 , i 2 ,.... in 0 , 1
Dato che i valori di ingresso possono solo essere 0 ed 1, le combinazioni di n ingressi sono 2 n^ a cui corrispondono m funzioni distinte di n variabili cioè n=2 Cin =4 f (^) out = n=3 Cin =8 f (^) out = 256
Elaboratore Sistema combinatorio
i (^1) i (^2) i (^3) i (^4) i (^5)
i (^) n
y 1 y 2 y 3 y 4 y 5
ym
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Rete combinatoria
Informatica - Ingegneria Medica -2017 - Franco Del Bolgia
Dato che i valori di ingresso possono solo essere 0 ed 1 le combinazioni di ingresso possono essere 2n^ con n numero di ingressi Le funzioni distinte di n variabili saranno 2 Le variabili di ingresso sono indicate normalmente con lettera maiuscola
Es una sola variabile di ingresso 2 possibili stati ingressi 0 o 1 Funzioni di uscita 4 come in tabella
A f0 f1 f2 f
2 n
La funzione f 2 è la funzione invertente NOT
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Rete combinatoria
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(A) i (B) i
(C) i
U U U U ...…...… U ….. U
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Funzione AND – tabelle delle verità
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A B A and B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A B
A and B
A B
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Funzione OR – tabelle delle verità
Informatica - Ingegneria Medica -2017 - Franco Del Bolgia
A B A or B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A
B
A or B
A B
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Funzione XOR – tabelle delle verità
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A B A xor B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
A xor B
A B
La funzione Exclusive OR o di esclusività restituisce vero (1) solo quando uno solo degli ingressi e vero
La funzione negata può essere anche vista come funzione di coincidenza: È vera solo quando gli ingressi sono uguali
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Funzione NOT
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A Not A
0 1 1 0
NAND
NOR
XNOR
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Esempi di realizzazione
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Realizziamo la funzione la tabella delle verità è
( AB)(AB)
A B f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
A B A B f 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
f4 f
f6 XOR
A B A B
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Proprietà delle espressioni booleane
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Identità di base
Identità OR Identità AND
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Proprietà delle espressioni booleane
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Proprietà (^) Identità OR Identità AND
Commutativa X+Y = Y+X X Y = Y X
Associativa X+(Y+Z) = (X+Y)+Z X (Y Z)=(X Y) Z
Distributiva X (Y+Z) = X Y+X Z X+(Y Z) = (X+Y) (X+Z)
De Morgan
(dualità)
De Morgan
X Y XY X Y X Y
X XY X Y X^ (XY)XY
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Teorema di De Morgan sulla OR
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Esempi combinazioni elementari
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A B
A BA B
A
A BABAB
B
AND
OR
A BA B
De Morgan (dualità)
A B
A B
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Realizzare una funzione
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F X Y Z
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Forme canoniche
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Le forme canoniche permettono di rappresentare le funzioni booleane come :
n
k
m
1 j 1
f z kj
n
k 1
m
j 1
f zkj
Somma di prodotti (SofP) dove m = numero ingressi n = 2m^ combinazioni di ingresso
Prodotti di somme (PofS)
︶
A B ︵ ︶
B ︵
B A ︶
A ︵
B ︶ ︵
F A
︶
A B ︵ ︶
B ︵
B A ︶
A ︵
B ︶ ︵
F A
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Forme canoniche somma di prodotti
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F (ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)
Consideriamo la funzione di 3 ingressi A,B,C F(A,B,C)
A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
F (ABC)(ABC)(ABC)(ABC)
Se rappresentata nella prima forma canonica
quello che ci interessa affinché la funzione sia soddisfatta sono i cosiddetti mintermin (prodotti fondamentali) (valorizzano ad 1 la funzione)
F 1 0 0 1 0 1 0 1
Dove la variabile generica X compare nella sua forma normale se nella variabile d’ingresso vale 1 Mentre nella sua forma negata X se nella variabile d’ingresso vale 0
X X X X
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Forme canoniche
Teorema: Ogni funzione booleana è algebrica in quanto rappresentabile con una equazione algebrica
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La funzione è espressa come funzione AND dei maxtermini o prodotto di maxtermini che sono le espressioni che devono produrre 0 su F
n
k 1
m
j 1
f zkj
F (ABC)(ABC)(ABC)(ABC )
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Esempio funzione F
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A B C D Z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
F (ABCD)(ABCD)(ABCD)
………...
2 ^ 2 ^ 4^ = 65535 possibili configurazioni di Z
Tutti termini di Z sono nulli ad eccezione di Avendo scelto di usare la SofP rimane la F
L4 L5 L
L L L
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Realizzare una funzione
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F X Y Z
X Y Z Y F
Y
X X X
F (XYZ)(XYZ)(XYZ)(XYZ)(XY Z)
Somma di Prodotti
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Realizzare una funzione con prodotto di somme
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F XY Z
X Y Z F
Prodotto di somme
F (XYZ)(XYZ)(XYZ )
F X Z Y Z Z X Y Z
F (X Z) (X Y Z) X (Z (Y Z))
F (X YZ)(X X Y Z)(XYZ)(XYZ)(X X Y Z)(X X Y Z)(X X Y Z)(X X YZ )
F (X((YZ)(YZ))(XYZ )
Proprietà distributiva
F (XZ(YY))(XYZ ) Y Y 0
Funzione ridotta
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Full Adder (funzione riporto)
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Full Add
A SUM
B Carry R
A B R SUM Carry 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Riporto
F (ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)
C
B
A
BC
C A
B
C A
AB
F
Il riporto (carry) è un XOR tra Carry Half Adder e somma di HA
carry (HA) S (HA) Carry (FA) 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1
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Esempi di full adder
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Addizionatore su 8 bit
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Ponendo più unità full adder in cascata si possono ottenere oggetti che possono operare su blocchi multipli di Byte / Word consecutivi (Double_word, Quad_word)
Tempi di latenza affinché si possa avere la propagazione del riporto fino al bit più significativo
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Esercizio
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Realizzare un circuito comparatore a 4 bit tra due dati A e B A 3 B 3 A 2 B 2 A 1 B 1 A 0 B 0 F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
......... 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Prima Seconda Terza Quarta Quinta .. 12 ° 14 ° …. 54 ° …. 60 ° …. 138 ° …. 253 ° …………. 256 esima
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Sommatore / sottrattore
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Provare a realizzare uno schema logico per effettuare un sommatore o sottrattore binario a 4 bit
Compl.
B 3 B 2 B 1 B 0
Carry out Carry in
Compl.
A 3 A 2 A 1 A 0
Complementatore A Complementatore B
Il complementatore permette diavere disponibile il
sottraendo in una somma percomplemento per creare il ottenere la sottrazione Compl.= uscita complementata Sommatore a 4 bit A + B (sottrattore)
Lo schema presentato è valido solo se una sola parola d'ingresso è complementata sottrazione tra due numeri positivi
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Fine Lezione 4
