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LA STIMA INTERVALLARE
Cosa significa stima intervallare?
Stimare un intervallo significa trovare gli estremi di un intervallo che con una certa
probabilità contengono il valore vero del parametro. A differenza della stima
puntuale che produce un unico valore, la stima intervallare utilizza i dati
campionari per produrre un intero insieme di valori che ragionevolmente contiene
l’ignoto valore del parametro.
STIMA PUNTUALE E STIMA INTERVALLARE: PRO E CONTRO
STIMA PUNTUALE
PRO CONTRO
È sempre applicabile , la stima puntuale
è sempre calcolabile a partire dai soli
dati campionari.
È difficile avvicinarsi e azzeccare
l’ignoto valore del parametro con un
unico valore puntuale.
È semplice , basta procedere per
analogia: la media si stima con la media
del campione, la varianza si stima con la
varianza del campione e la frequenza
relativa si stima con la corrispondente
frequenza relativa campionaria.
L’affidabilità della stima puntuale
risiede tutta nella garanzia probabilistica
offerta dalle proprietà del
corrispondente stimatore.
STIMA INTERVALLARE
PRO CONTRO
E meno rischiosa perché è più facile
avvicinarsi all’ignoto valore del
parametro con un intervallo, un insieme
di valori.
Aumento della complessità nella
procedura di stima.
E più informativa poiché è un intervallo
offre un’informazione più ampia di un
unico valore.
Necessita informazioni in più oltre ai
dati campionari: esse sono informazioni
ausiliarie a priori sulla distribuzione di X
sulla U di studio.
L’affidabilità è quantificata con una
probabilità , scelta a priori, cioè fissata
prima di costruire la stima, a livello che
ci piace di più, ci interessa o ci conviene:
misura la probabilità con cui il
corrispondente estimatore intervallare
contiene effettivamente l’ignoto
Non è sempre riproducibile sulla base
di soldati campionari ma è calcolabile
soltanto qualora ci si trovi o nel caso di
una popolazione normale, o nel caso di
grandi campioni.
parametro.
Quando lavoriamo sulla stima intervallare noi lavoriamo su un parametro theta
( ), ignoto ;
Supponiamo di voler stimare agli estremi a e b dell’intervallo di confidenza tale per
cui la probabilità che il parametro theta ( ) sia lì= 1-
Prob { a ≤ θ ≤ b }= 1 − α
Estremi: a e b
1 − α livello di probabilità prefissato dal ricercatore ( di solito o al 95% o al 99%)
Come si calcolano gli estremi? Da cosa dipendono a e b?
a e b dipendono:
Dalla stima (t), cioè il suo valore (relativo al parametro
θ )
Dal livello di probabilità fissato una grandezza collegata a α
Dall’errore standard della stima
σ
t
(t= valore stima)
Queste condizioni definiscono il margine di errore , che ha formula
(
z
α
2
∗ σ
t
FORMULA ESTREMI:
a = t- margine di errore
t − z
α
2
∗ σ
t
b = t+ margine di errore
t + z
α
2
∗ σ
t
Dal punto di vista grafico, vediamo che:
α
è il pezzo di area che togli lateralmente a sinistra e a destra;
b= 3,93+ (1,960,34) = 4,*
Avremo una
Prob { 3 , 26 ≤ μ ≤ 4 , 61 }= 95 %
dei casi
Gli estremi definiscono l’ampiezza di un intervallo. Ampiezza= b-a
Per avere un intervallo più informativo l’obiettivo è avere minore variabilità , che,
all’aumentare di n determina maggiore informazione.
A seconda dei dati noti, la distribuzione è diversa:
Con noto o con n>30 si usa la normale standardizzata (z)
o
a = x −( z
α
2
∗ σ
x )
o
b = x +( z
α
2
∗ σ
x
)
Con ignoto o con n<30 si usa la t di student (t)
o
a = x −( t
α
2
, n − 1 ∗ σ
x
)
o
b = x +( t
α ,
2
, n − 1 ∗ σ
x
Ma, in questo caso, per trovare il valore
t
α ,
2
, n − 1
, dobbiamo utilizzare la funzione Excel
=INV.T.2T(
α ; n − 1 )
La T di Student è una v.c diversa dalla
Z ∼ N ( 0 ; 1 )
, ma la sua funzione di densità è
molto simile : ha sempre forma campanulare ed è centrata sullo zero, ma ha
varianza più grande di 1. Rispetto alla Z ha le code più pesanti , cioè le code della
campana sono un po’ più lontane dall’asse delle ascisse, c’è più aria sotto le code per
effetto di una maggiore variabilità della T rispetto alla Z. La v.c T di Student ha solo
un parametro, detto gradi di libertà.
TCL E INTERVALLI DI CONFIDENZA PER GRANDI CAMPIONI PER LA
MEDIA E PER LA PERCENTUALE
Costruire un intervallo di confidenza richiede, rispetto alla stima puntuale, delle
informazioni in più. Se non abbiamo informazioni ausiliarie a priori su X , cioè se
non siamo nel caso di popolazione normale, diventa necessario compensare con
molti dati , cioè essere nel caso di grandi campioni. Solamente se il campione è
sufficientemente grande possiamo infatti appellarci a un teorema di teoria delle
probabilità fondamentale nell’inferenza statistica, che consente di recuperare la
normalità degli stimatori ( studentizzati ). Questo teorema si chiama teorema centrale
del limite.
Qualunque sia la distribuzione del fenomeno X in U, se l’ampiezza campionaria n
tende all’infinito , allora gli stimatori ( standardizzati ) media campionaria e
frequenza relativa campionaria sono Normali.
Nella pratica, però, i campioni possono essere grandi , ma ovviamente non sono
infiniti : quando n è sufficientemente grande gli stimatori media campionaria e
frequenza relativa campionaria studentizzati sono approssimativamente
Normali.
Siccome con n sufficientemente grande, grazie al TCL , ritroviamo
approssimativamente la Normale , allora per grandi campioni possiamo usare la
metodologia degli intervalli di confidenza basata sulla Z. Qui, però, la normalità è
approssimata e conseguentemente si tratterà di intervalli di confidenza
approssimati per grandi campioni con un effettivo livello di confidenza
approssimativamente pari a quello scelto.
ISTRUZIONI D’USO E AVVERTENZE PER GLI INTERVALLI DI
CONFIDENZA (IC)
Quali rischi si corrono se la realtà è lontana dalle condizioni iniziali che abbiamo
ipotizzato?
Se la popolazione non è normale come crediamo se il campione non è
bernoulliano o, ancora, se n non è sufficientemente grande perché comincia a
funzionare il TCL , allora il problema è che non c’è più garanzia probabilistica che l’IC
abbia il livello di confidenza che abbiamo scelto.
La conseguenza è che l’inferenza statistica non ha l’affidabilità che vogliamo,
l’errore che commettiamo non è più puramente campionario e non è più
quantificabile in termini probabilistici.
Un intervallo di confidenza ha associato un livello di confidenza nominale , che
coincide con (1-) scelto, ma anche un livello di confidenza effettivo chiamato
copertura. La copertura effettiva dipende dalla reale distribuzione di X. Solo se X
è certamente normale allora la copertura coincide con il livello di confidenza
nominale e l’intervallo di confidenza è esatto. In tutti gli altri casi, cioè quando la
popolazione normale è solo un’assunzione che si ritiene vicina alla realtà oppure
