Stima Puntuale e Intervallare: Guida all'Inferenza Statistica, Appunti di Statistica

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Stima puntuale e stima

intervallare

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Introduzione

L’inferenza statistica è il processo secondo il quale vengono usati i

risultati ottenuti da campioni per stimare o trarre conclusioni circa i

parametri di una popolazione.

I parametri oggetto di studio sono:

Media – Proporzione - Varianza

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Introduzione

verifica delle ipotesi

i dati campionari vengono utilizzati per

rifiutare o accettare una particolare ipotesi

circa un parametro incognito relativo alla

popolazione

Da un’indagine campionaria sul grado di soddisfazione dei servizi

bibliotecari, è emerso un livello pari a 8.5 (oppure una percentuale di

soddisfatti pari all’85%).

Se il direttore della biblioteca aveva stabilito un livello target di

soddisfazione pari a 8 (oppure avere una percentuale di soddisfatti pari

all’80%), può ritenersi contento?

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Stimare significa attribuire un valore plausibile a un parametro

incognito.

Esistono 2 tipi principali di stima:

la stima puntuale

la stima intervallare

Stima dei parametri

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Stima puntuale

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Stima puntuale

Un’azienda deve tenere sotto controllo la qualità del processo di

produzione di un macchinario che produce pezzi di una certa

lunghezza. Se si tenessero sotto controllo tutti i pezzi prodotti e se ne

calcolasse la lunghezza si potrebbe ottenere senza difficoltà la

lunghezza media (parametro).

Se non si possono misurare le lunghezze di tutti i pezzi prodotti, ma

solo quelle relative ad un campione casuale di pezzi di numerosità n,

allora si può calcolare solo la lunghezza media del campione di pezzi

(statistica o stimatore).

In tal caso la lunghezza media della popolazione di pezzi è ignota.

Come la posso stimare? Con la media del campione.

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Lo stimatore, dipendendo dal campione, è una variabile casuale e

quindi possiede una distribuzione campionaria la cui conoscenza

permette di capire se lo stimatore scelto produrrà con elevata

probabilità stime “vicine al valore vero del parametro.

Stima puntuale

In questo esempio, la distribuzione

campionaria dello stimatore è concentrata

intorno al suo valore atteso, che in questo

esempio coincide con il valore del

parametro della popolazione. Pertanto, ci

si attende che la stima ottenuta attraverso

l’estrazione di un campione casuale sia una

valore vicino al parametro.

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Dalla stima puntuale alla stima intervallare

Il principale svantaggio della stima puntuale è legato alla casualità delle

osservazioni campionarie.

Infatti, per effetto del caso, la stima puntuale sulla base di un campione

può essere molto diversa dal valore vero del parametro.

Allora, si preferisce stimare un intervallo di valori entro i quali si ritiene

sia compreso il parametro incognito.

Una stima intervallare:

riflette meglio l’incertezza legata all’inferenza

incorpora direttamente l’informazione sul grado di precisione

Stima intervallare

Per costruire una stima intervallare del parametro , si stimano, sulla

base dei dati campionari, gli estremi dell’intervallo (L

1

e L

2

), dopo aver

scelto un livello di probabilità, ossia:

P(L

1

≤  ≤ L

2

Ciò significa che, con un livello di probabilità (di fiducia, di confidenza)

pari a (1-), il parametro che si intende studiare (media, varianza o

proporzione) è compreso tra L

1

e L

2

Quindi, (1-) è la misura della attendibilità della stima e prende il nome

di livello di confidenza.

Stima intervallare

θ

Stima intervallare

Non possiamo sapere se il campione che abbiamo effettivamente

estratto è uno di quelli per i quali gli intervalli stimati contengono μ

oppure no.

Stima intervallare: esempio

Per programmare meglio il servizio offerto, un’azienda leader nella

vendita on line di libri, Cd e DVD vuole conoscere:

• l’importo medio di ogni ordine
• la proporzione di pagamenti fatti con la carta di credito VISA

Estrae un campione casuale di n transazioni delle quali osserva

l’importo e il metodo di pagamento.

Stima intervallare: esempio

Ad esempio, l’intervallo stimato al livello del 95% comprende valori da

54,04 a 60,44.

54,

60,

Stima intervallare: esempio

Invece, la proporzione campionaria dei pagamenti fatti con la VISA è pari

a 0.52 (stima puntuale).

Questa proporzione varia da campione a campione a seconda delle unità

selezionate. Per effetto del caso, posso essere stato “fortunato” e avere

estratto un campione che fornisce una proporzione molto vicina a quella

incognita della popolazione. Ma posso anche essere stato

particolarmente “sfortunato” e avere estratto un campione di

osservazioni che produce una proporzione molto distante da quella

incognita della popolazione.