Scarica Le derivate matematica generale e più Dispense in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
LE DERIVATE
1. GENERALITÀ
Definizione 1.1)
La derivata è un operatore che ad una funzione f associa un’altra funzione e che obbedisce alle seguenti
regole:
( ) ( )
D a x a x na x
n n n
= = 0 0 0
1
| −
derivata di un monomio
ESEMPI
( )
D 3 x = 2 3 x = 6 x
2 2 1
⋅ ⋅
−
( )
D 5 x = 4 5 x = 20 x
4 4 1 3
⋅ ⋅
−
( ) (^ )
D − x = ⋅ − ⋅ x = − x
−
4 3 4 12
3 3 1 2
(2) D ( a x ) = a
0 0
derivata di un monomio con n = 1
ESEMPI
D ( 7 x ) = 1 7 x = 7 x = 7 1 = 7
1 1 0
⋅ ⋅ ⋅
−
, D ( 10 x ) = 10 , D ( 3 x ) = 3
(3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a
0
= 1 = n
(4) D ( c ) = 0 derivata di una costante
ESEMPI
D ( 4 ) = 0 , D ( 10 ) = 0 , D ( 25 ) = 0
( )
D x nx
n n
=
− 1
derivata di un monomio con a 0
Più in generale risulta:
( )
D x = x
α α
α
− 1
( α reale qualsiasi )
Ricordando le regole delle potenze:
a ) a a
n
n
1
b ) a
a
n
n
−
=
c ) a
a
n
n
−
1
seguono varie proprietà applicate nei seguenti
ESEMPI
( )
D x = x = x
3 3 1 2
3 3
−
, ( )
D x = x = x
5 5 1 4
5 5
−
, ( )
D x = x = x
8 8 1 7
8 8
−
, ( )
D x = x
2 2 1
2
−
,
( )
D x = ( ) x
1 2 3 2
3 3
Se α =
n
allora si ha:
D x
n
x
n
x
n
x
n n
n
n
n
n
1 1 1
1
1
−
−
−
che si può scrivere, in modo più semplice, come segue:
( )
D x
n x
n
n n
− 1
derivata della radice n-esima
ESEMPI
( )
D x
x x
2 − 1
( )
D x
x x
3
3 3 1 3 2
−
( )
D x
x x
5
5 5 1 5 4
−
Più in generale si ottiene:
[ ]
[ ( )]
D f x
f x
n f x
n
n n
− 1
derivata della radice n-esima di una funzione
ESEMPI
( )
( )
( )
D x x
x x
x x
x
x x
3
3
3
2 1
2
3
−
|
[ ( )]
D
f x
g x
f x
g x
f x g x f x g x
g x
|
2
, g x ( ) ≠ 0 derivata del quoziente
ESEMPI
D
x
x
x x x x
x
x x x
x
x
x
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
|
|
D
x
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
3
3 3
2
2 3
2
3 2
2
4
| (^) |
D
x
x
x x x x
x
x x x x
x
2
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2
| |
2
2
x
x
[ ] [^ ]^ [^ ]^ [ (^ )] (^ )
D f g x = f ' ..... g ' ..... = f ' g x g ' x derivata di funzioni composte
ESEMPI
D x ( x ) ( )
x
x
x
x
x
x
|
2 2
1
2
2
2
2 2
|
[ ]
D 2 x 1 = 2 x 1 = 2 x 1 = x x =
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
3
5
3
−
|
|
|
3
3
5
2
2
3
3
5 x
x
x
x
D x x x x x x x x
x
x x
3 2 2
1
3
2
1
3
1 2
2
2
3
−
|
|
[ ]
( ) ( ) ( ) (^ )
D 3 x x = 5 3 x x 3 x x = 5 3 x x 6 x 1
2
5 2
5 1 2 2
4
− |
( )
[ ]
( )
D e e f ( ) x
f x f x
= ' derivata di funzioni esponenziali
ESEMPI
( ) (^ )^
D e e x x e ( x )
x x x x x x
= =
2 2 2 5 2 5 2 2 5 2
5 2 2 5
|
( ) (^ )^ (^ )
D e e x x e x
x x x x x x
= =
3 7 3 7 3 3 7 2
3 3 3
|
( ) ( )
( ) ( )
D e e
x
x
e
x x x x
x
e
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x = = =
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
2 2 3
2
2
3
1
4 2
2
2
|
( ) ( )
( )
D e e
x x
x
e
x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x = = =
2 4
3 5
2 4
3 5
2
2
2 4
3 5
2 2
2
2
2
2
2
2
2
|
( )
e
x x
x
x x
x
2 4
3 5
2
2
2
2
[ ]
D f x
f x
f x
ln =
derivata di funzioni logaritmiche
ESEMPI
( ) [ ]
D x (^) ( )
x
x
x
x
|
ln 3 2
2
2
2
2
( ) [ ]
( )
D x x
x x
x x
x
x x
|
ln
3
3
3
2
3
( )
( ) ( )
D
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x x
|
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
Osservazione : vengono riportate, di seguito, alcune proprietà dei logaritmi che si riveleranno utili
soprattutto per lo studio di funzioni:
- log (^) ( ) log log a a a
b c ⋅ = b + c con a , b > 0 e a ≠ 1
b
c
b c
=^ −
con a , b , c > 0 e a ≠ 1
( )
log log a
n
a
b = n b con a , b > 0 e a ≠ 1 e n intero positivo
( )
log log a
n
a
b
n
= b
con a , b > 0 e a ≠ 1 e n intero positivo
a = 1 con a > 0 e a ≠ 1
y x a
= log , x > 0, a > 0, a ≠ 1 y
x
e a
log
y = arcsinx , −
π
< y <
π
y
x
2
−
y = arccosx , 0 < y < π y
x
2
y = arctgx y
x
2
y = arcctgx y
x
2
Seguirà, adesso, l’elenco delle derivate di funzioni elementari ottenuto dalla tabella precedente sostituendo
alla variabile indipendente x una certa funzione f ( x ) di cui si conosca la derivata ed applicando poi la
regola di derivazione delle funzioni composte:
[ ]
y f x
n
[ ] ( )
y n f x f x
n
− 1
y = f ( x )
y
f x
f x
[ ]
y f x
m
n =
[ (^ )]
y
m
n f x
n m
n
−
y = sin f ( x ) y ' = cosf ( x f ) '( x )
y = cos f ( x ) y ' = − sin f ( x f ) '( x )
y = tg f x ( )
y ( )
f x
' = f ' x
2
cos
y = ctg f x ( )
y ( )
sin f x
' = − f ' x
2
y = arcsin f ( x )
[ ( )]
y ( )
f x
' = f ' x
2
y = arccosf ( x )
[ ( )]
y ( )
f x
' = − f ' x
2
y = arctg f x ( )
[ ]
y ( )
f x
' = f ' x
2
y = arcctg f x ( )
[ ]
y ( )
f x
' = − f ' x
2
( )
y e
f x
=
( )
y e f ( x )
f x
' = '
( )
y a
f x
=
( )
y a a f ( x )
f x
' = ln '
y = ln f x ( )
y ( )
f x
' = f ' x
y f ( x )
a
= log
y ( )
f x
e f x a
log
[ ( )]
( )
y f x
g x
[ ( )]
( )
y f x g x f x ( )
g x
f x
f x
g x
' = ' log + '
y = (3 – 2 x – x
2
)( x
4
2
) [2 x (– 3 x
4
3
2
y = x
2
(4 + x )(5 x + 1) [ x (20 x
2
+63 x + 8)]
y = (8 x – 1)
10
[80(8 x – 1)
9
]
y = ( x – 1)
2
( x – 2) [( x – 1)(3 x – 5)]
y = (5 + x
3
)(1 – 2 x – 4 x
3
)
2
[(1 – 2 x – 4 x
3
)(– 36 x
5
3
2
y = (1 – 3 x )
4
(1 + x ) [(11 + 15 x )(3 x – 1)
3
]
y = (2 – x )
2
( x
3
3
2
y = ( x – 2)
3
( x + 1)
2
[( x + 1)( x – 2)
2
(5 x – 1)]
y = ( x
2
3
( x – 1)
4
[( x
2
2
( x – 1)
3
(10 x
2
y = ( x
6
8
[6(3 x + 1)
7
(7 x
6
5
y = ( x
2
3
(4 – x
2
)
7
[2(12 + 33 x – 17 x
2
3
)( x
2
2
(4 – x
2
)
6
]
y = 2( x + 2)
2
( x
2
2
y = x
2
( x
4
3
2
4
2
(7 x
4
2
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni razionali fratte:
y
x
2
x 1
x
y
x
2
2 x
x
y
x
2
x 4
x
y
x
2
3 x 4
x
y
x
2
x 3
^ −
2
x
y
x
( )
2 2
x x
x
2
y
x
( )
2 2
x
x
2
4 x 1
y
x
2
2 x 1 2 x 1
x
2
3 1
x x
y
x
2
2
x x
x
2
1 x
y
x
2
x 1 x 1
x
2
2
x
y
x
( )
2 2
x
x
2
2
x x
y
x x
( )
2
2 2
x x
x x
2
2
x x
y
x x
( )
( )
2
2 2
x x
x x
y
x
2
x
3
2
y x
x x
5
3
3 x 3 x 1
x
2
y 3 x 9 x
x
3 2
2
6 x 9 x 1
x
2 6 3
4
x x 3 x
y
x
3 2
2 x
x x
3
3
y x 2 x
x x
2
2 4
3 x 2
x x
x
y
x
2
3 x
2
2
x
y
x
( )
2 2
x
x
3
2
2 3 1
x
y
x x
( )
( )
2 2
2 2
x x x
x x
3
2
2
x
y x
x
2
x x
x
3
1
x x
y
x
3 2
2
x x
x
2
x
y
x
3
x
x
2
4 5
x
y
x
2
2
x x
x
( )
2
y 5 x 9
x
3
2
10 x 7
x
( )
3
2
y 2 x x 1
x
2 2 4 2
2
2 x 1 6 x x 1
x x
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni irrazionali:
y = x
2 x
3 2
y = x − 7 x
( )
2
3 2
x
x x
2
y = x + 2
2
2
x
x
2
y = 4 x − 3
2
x
x
3
y = x − 4 x + 2
2
3
x
x x
−^ +
4 2
y = x + x − 2 x
3
4 2
x x
x x x
2
y = x − 1 x + 1
2
2
x x
x
2
y
x
( )
3 2
1
x
x
5
y = 5 x + 3
4 5
5 x 3
3 3 2
y = 4 x + 6 x − 5
( )
2 3 2 3
x x
x x
+^ −
x
y
x
2
x
x x
( )
2 3 5 y = 2 x + 1
( )
2
3
5 3
x
x
y = 8 x + x
2 x
2
y = x + 1 − x − 1
2
x
x x
y = 2 x + 2 x + 1
x
( )
5 2
y = x + 2 x ( )
4 2
5 x 2 x 2 x
x
3 4 3
7
y 2 x 4 x
x
7 8 4
3 x
x x
4
4
y x
x
4
x
x x
(^7 )
4 3
y x 3 x
x
6
3 2 4 3
x
x x x
(^3 )
3 2
x
y
x
( )
2
3 3 2
3 x 2 x
3
2
3
x x
y
x
4 2
x x x x
x
( ) (^ )
3 2
y = 15 x − 12 x + 8 x + 1
2
x x
2
3 2 5 3
y x x x
3 2 5 3
3 2 5 2
x x x x
x x
^
2
4
x x
y
x
2
2 2
x x
x x
2
2
x x
y
x
2
(^2 )
x x
x x
2
3
x
y
x
2
4 3
x x
x
5 3
x x
y
x
( )
2 2
9 6
x x x
x
x
y
x
x
x x
x
y x
x
2
x
x
x
x
2
2
x
y
x x
4 2
4 2
x x
x x
Calcolare le derivate delle seguenti funzioni esponenziali e logaritmiche:
y = ln ( 2 x − 1 )
2 x 1
y = ln x ( + 3 )
x 3
y = e
x + 1
[ e
x + 1
]
y = xe
x
[(1+ x ) e
x
]
2 5 x
y e
−
=
2 5
2
x
xe
− −
4
4
x
y
e
3
4
x
e
y = xlnx [ lnx + 1]
y = x
2
lnx + 3 x [2 xlnx + x + 3]
2
3
x y e
−
2
3
3
x
e
x
x
y = e
x
e
x
lnx
y
lnx
2
x lnx 1
y = x
3
e
x
x
x
( x
3
2
y = e
x
(2 – e
x
) [2 e
x
(1 – e
x
)]
y = e
x
( x
3
x
( x
3
2
y = xln
3
x − 3 xln
2
x + 6 xlnx − 6 x [ ln
3
x ]
y = x
2
( lnx )
3
[ x ( lnx )
2
(2 lnx + 3)]
y = 5 xln
2
x – 6 x
3
ln
5
x [− 18 x
2
ln
5
x − 30 x
2
ln
4
x + 5 ln
2
x + 10 lnx ]
y lnx
x
2
1 lnx
x
y = ( xlnx – 1)
2
[2( xlnx − 1)( lnx + 1)]
y = 3 xlnx [3( lnx + 1)]
y = x
2
lnx [ x (2 lnx + 1)]
y = xln
3
x [ ln
2
x ( lnx + 3)]
2
y = ln x − lnx + x
lnx x
x
( )
2
y = ln x + 4 + x
2
4 x
2
x
y ln
x x x
(^ )
2
3
x
x x
(^3 )
y = lnx + x + 1
2 3 2
x x lnx x
+ + ^
( )
(^3 )
2
y ln 2 x x
x
= + (^) ( )
( )
(^2 )
3 5
3 2 (^5 5 )
ln x x
ln x x
x x x x x
x
x
e
y ln
e
( )
x x x
x
e e e
e
lnx
y
lnx
2
x lnx 1
x
x
e
y
e
( )
2
x
x
e
e
3 2
x
e
y
x x
( )
( )
3 2
2 3 2
x
e x x x
x x
lnx
y
lnx
x 1 lnx
y = ln lnx ( )
xlnx
( )
x
y = ln e −
x
x
e
e
( )
2
5 1
x
y = ln e x −
2
2
x x
x
( )
2
y = ln x − + x
2
2
x x
x
