Considerando la funzione di una variabile y=f(x) di dominio I e sia x0
appartenente ad I. Incrementiamo x0 di una quantità h, se x0+h è ancora in
I è possibile calcolare f(x0+h), la differenza df = f(x0+h)- f(x0) rappresenta
l’incremento che la variabile dipendente subisce in relazione a quello della
dipendente. Si chiama rapporto incrementale della f nel punto x0 e relativo
all’incremento h della x il quoziente:
f(x¿¿ 0+h)−f(x
0
)
h¿
È il rapporto tra l’incremento della variabile indipendente al denominatore
e quello della variabile dipendente a numeratore, rappresenta la velocità
media con cui la f cresce o decresce tra x0 e x0+h. Il limite per h tendente a
0 del rapporto incrementale, se esiste finito si chiama derivata della f in x0,
e si denota col simbolo f′(x0). La f si dice derivabile in x0 se in questo punto
ammette derivata, derivabile in J, sottoinsieme di I, se è derivabile in ogni
punto di J. Può accadere che il limite esista solo come limite destro o
sinistro, in questi casi la derivata sarà detta destra o sinistra. Si chiama
funzione derivata o derivata della f(x), la funzione che assume in x il valore
della derivata della f in tale punto, definita per tutti e soli i valori di x per i
quali la f sia derivabile. La retta tangente potrebbe risultare in qualche
punto verticale, con un coefficiente angolare infinito, la funzione in tale
punto non è derivabile; è possibile riscontrare punti di non derivabilità
laddove non sia definita la retta tangente, nei punti di discontinuità, ma
anche in punti angolosi, di flesso a tangente verticale e cuspidi.
Una funzione derivabile in un punto è ivi continua, viceversa una funzione
continua in un punto non è necessariamente derivabile in esso.
Geometricamente f′(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente nel
punto (x0,f(x0)) al grafico della f, questa retta rappresenta infatti la
posizione limite della corda AB che sul grafico del rapporto incrementale
rappresenta l’ipotenusa del triangolo avente come cateti l’incremento della
variabile indipendente e la differenza tra f(x0+h) e f(x0).
Analiticamente f′(x0) è, se esiste, il limite del rapporto incrementale con h,
l’incremento, tendente a 0.
Meccanicamente f′(x0) è la velocità di variazione della y al variare della x
