Angela Donatiello
1
DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE
AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA.
REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA’ E DERIVABILITA’
PUNTI DI NON DERIVABILITA’
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Guide e consigli
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Cerca documenti
Prepara i tuoi esami con i documenti condivisi da studenti come te su Docsity
Cerca la tua università
Trova i documenti specifici per gli esami della tua università
Video Corsi
Preparati con lezioni e prove svolte basate sui programmi universitari!
Quiz
Rispondi a reali domande d’esame e scopri la tua preparazione
Docsity AINEW
Riassumi i tuoi documenti, fagli domande, convertili in quiz e mappe concettuali
Maturità 2026
Studia con prove svolte, tesine e consigli utili
Esplora domande
Togliti ogni dubbio leggendo le risposte alle domande fatte da altri studenti come te
Argomenti di studio
Esplora i documenti più scaricati per gli argomenti di studio più popolari
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Derivate matematica generale, Sintesi del corso di Matematica Generale
Derivate matematica generale economia
Tipologia: Sintesi del corso
2020/2021
Caricato il 01/12/2021
Utente sconosciuto 🇮🇹
1 documento
1 / 28
Questa pagina non è visibile nell’anteprima
Non perderti parti importanti!
Documenti correlati
Anteprima parziale del testo
Scarica Derivate matematica generale e più Sintesi del corso in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE
AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA’ E DERIVABILITA’ PUNTI DI NON DERIVABILITA’
A (x 1 ,y 1 ) = (c, f(c))
B(x 2 ,y 2 ) = (c+h, f(c+h))
m =
tg x
y
x x
y y
2 1
2 1
dove è l’angolo che la retta forma
con l’asse delle ascisse valutato in
senso antiorario.
RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE
h
f(c h) f(c)
x
f(c x) f(c)
x
y
Esempio. Velocità media di un corpo. La velocità media è rappresentata dal
rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo,
indipendentemente dalla legge oraria considerata.
2 1
2 1 media t t
s(t ) s(t )
t
s v
E’ interessante valutare anche la velocità istantanea di un corpo.
Esempio. Controllo della velocità: tutor in autostrada e autovelox.
Tutor misura la velocità media:
2 1
2 1 media t t
s(t ) s(t )
t
s v
L’autovelox misura la velocità istantanea, ossia una velocità media con l’intervallo di tempo t 0
2 1
2 1
t 0 t 0
is tantanea t t
s(t ) s(t ) lim t
s v lim
Data una funzione y f(x), il limite del
rapporto incrementale,
h
f(c h) f(c) lim x
y lim x 0 h 0
se esiste ed è finito
si chiama derivata della funzione nel
punto c e si indica con il simbolo f'(c) o
(c) dx
df
Esempio. Accelerazione media e accelerazione istantanea. (8.1.7)
Il valore f'(c)
h
f(c h) f(c) lim x
y lim x 0 h 0
derivata della funzione nel punto c, coincide con il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in c.
Equazione della retta tangente
Ricordiamo l’equazione del fascio proprio di rette di centro un dato punto P
y y 0 m(xx 0 )
y f(c) m(xc) m f'(c)
y f(c)f'(c)(xc)
Punto stazionario: Data la funzione y f(x) e un suo punto x = c, se
f '(c) 0 allora si dice x = c è punto stazionario, ovvero un punto a tangente
orizzontale.
Derivata destra e sinistra
h
f(c h) f(c) f ' (c) lim h 0
^ derivata sinistra nel punto c
h
f(c h) f(c) f ' (c) lim h 0
^ derivata destra nel punto c
Una funzione si definisce derivabile in un punto c se esistono finite le derivate
destra e sinistra e sono uguali.
Una funzione si definisce derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è
derivabile in tutti i suoi punti interni e se esistono finite la derivata destra in a e la
derivata sinistra in b.
h h
f(x h) f(x ) h f(x ) lim h
f(x h) f(x ) lim f(x ) lim
0 0
h 0
0
0 0
h 0
0 h 0
Ricordiamo l’ipotesi:
f'(x ) h
f(x h) f(x ) lim (^0)
0 0
h 0
finito
Allora h f'(x ) 0 0
h
f(x h) f(x ) lim (^0)
0 0
h 0
(*) lim f(x 0 h) f(x 0 ) f'(x 0 ) 0 f(x 0 )
h 0
Pongo x 0 h x se h 0 x x 0
Sostituendo nella (*) lim f(x) f(x 0 )
x x 0
cioè la funzione è continua in x 0.
Attenzione: Non vale il viceversa!!!! Il teorema non si può invertire!!
E’ cioè possibile trovare funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale
punto.
Controesempio. La funzione valore assoluto
x 0
x 0
x
x
f (x) | x |
Proviamo che in x = 0 è continua, ma non
derivabile.
- lim f(x) lim |x| lim x 0
x 0 x 0 x 0
lim f(x) lim |x| lim x 0 f( 0 ) x 0 x 0 x 0
Pertanto possiamo affermare che è continua in x = 0
Punti di non derivabilità
Punti angolosi
E' un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite,o
almeno una delle due è finita , ma sono diverse. In questo caso la curva nel
punto ha due tangenti con pendenza diversa.
f ' (c)f'(c)
Cuspidi
Un punto di cuspide è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra
sono infinite, ma con segno diverso.
Cuspide verso il basso:
f' (c) f' (c)
Cuspide verso l’alto:
f' (c) f' (c)
Funzione derivata:
h
f(x h) f(x) f '(x):x lim h 0
REGOLE DI DERIVAZIONE
D[ kf(x)]kf'(x)
D[ f(x)g(x)]f'(x)g'(x)
D[ f(x)g(x)]f'(x)g(x)f(x)g'(x)
D[ f(x)] n[f(x)] f'(x)
n n 1
2 [f(x )]
f'(x)
f(x)
D
2 [g(x )]
f'(x)g(x) f(x)g'(x)
g(x)
f(x) D
Derivate fondamentali
(dim. svolte in aula)
D( k) 0
D( x) 1
D( senx)cosx D(cos x)senx
D( a ) a lna
x x
x x D( e ) e
log e x
D (loga x) a x
D(ln x)
1 tg x cos x
D (tgx)
2 2
2 x
D( x)
2 1 x
D(arcsinx)
2 1 x
D(arccosx)
2 1 x
D (arctgx)
Derivata della funzione composta
Teorema. Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile in
z g(x) , allora la funzione composta y f(g(x))è derivabile in x e la sua
derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x.
dx
dz
dz
df D[ f(g(x))]f'(z)g'(x) ^ con z^ g(x)
Esempio.
3 2 4 y ( 2 x 3 x x 1 ) in tal caso
z g(x) 2 x 3 x x 1
3 2
4 y f(z) z
4 z z' 4 ( 2 x 3 x x 1 ) ( 6 x 6 x 1 ) dx
dz
dz
df Dy
3 3 2 3 2
Esempio. y lnsen(x 2 )
4
4 3 4
cos(x 2 ) 4 x sen(x 2 )
y'
Esempio. y arctg 3 x
4 ( 1 3 x) 3 xarctg 3 x
2 3 x
1 3 x
2 arctg 3 x
y'
Esempio.
2 x 4 x 2
x y 4 arcsen
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 4 x ( 4 x )
2 ( 4 x ) 4 x
4 x
4 4 x x
4 x
x 4 x
4 x
4 x
x 4 x 2
4 x
( 2 x)
2 4 x
4 x x 2
x 1
y' 4