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Introduzione ai limiti
L'analisi matematica è quel ramo della matematica che si occupa dello studio delle funzioni. Imparerai ad analizzare una funzione sotto ogni suo aspetto, saprai come si comporta in ogni suo punto o vicino ai suoi punti, potrai sapere se cresce, decresce o sta ferma senza avere il disegno, potrai fare il disegno a partire da queste caratteristiche e infine potrai applicare lo studio di funzione e tutta l'analisi matematica all'economia, alla fisica ed a tante altre materie. Per arrivare a fare uno studio di funzione completo devi partire dalle basi. Le basi dell'analisi sono le definizioni di funzione e delle sue caratteristiche. Il primo strumento che ti serve, invece, è il limite. Con il limite riuscirai a capire quando una funzione è continua o discontinua e qual è il suo comportamento vicino ai punti "strani", che chiameremo di discontinuità.
Il limite è uno strumento matematico che ci permette di capire come si comporta una funzione, cioè cosa succede alla y nel suo grafico vicino a un punto con una certa ascissa x.
Si ma a cosa serve il calcolo di limiti? Il limite serve per capire come si comporta, quindi quali valori assume una funzione vicino a particolari punti del dominio o che non sono nel domino ma sono estremi del dominio. Quindi i limiti, in generale, sono legati al dominio della funzione.
l concetto di limite è strettamente legato a quello di intorno di un punto. Ma che cos'è?
L'intorno di un punto è l'insieme dei punti che sono "vicini" a quel punto. Possiamo pensarlo come un intervallo (in R) aperto contenente il punto.
Ad esempio, l'intervallo (0,3) è un intorno di 2 (ma anche di 1) ma non è un intorno di 0 perché non appartiene all'intervallo.
Quando calcoliamo il limite di una funzione in un punto, possono verificarsi tre casi:
il limite esiste ed è un valore finito (cioè un numero);
il limite esiste ma è infinito;
il limite non esiste.
In base al questo possiamo definire il comportamento della funzione vicino al punto che ci interessa analizzare.
Ma cosa significa che il limite esiste? Quando ci avviciniamo a un punto, possiamo farlo da valori più grandi (cioè da destra) o da valori più piccoli (o da sinistra). Se avvicinandosi da entrambi i lati, i valori che assume la funzione sono uguali, allora diciamo che il limite esiste. Altrimenti diciamo che il limite non esiste.
Definizione di funzione continua
Si puo' anche usare la seguente definizione:
Una funzione e' continua in un punto c se in quel punto esistono il suo limite destro e sinistro ed i due limiti sono finiti ed uguali
lim x -> c- f(x) = lim x -> c+ f(x) = k con k=f(c)
Funzioni discontinue :
- Una discontinuita' si dice di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro ma i due limiti sono diversi
- Una discontinuita' e' di seconda specie se la funzione in un punto vale infinito: ricordiamoci che infinito non e' un punto ben preciso ma una convenzione e quindi quando la funzione vale infinito non e' definita. Y=1/X^2 discontinuità di seconda specie nel punto 0
- E' il caso in cui la funzione in un punto
a) non esiste
oppure
b) esiste ma risulta di valore diverso dal limite
Proprietà delle funzioni continue
Le proprietà delle funzioni continue sono espresse da alcuni teoremi, la cui interpretazione grafica è immediata e le cui applicazioni al calcolo del grafico di una funzione sono estremamente interessanti.
Questa definizione viene ricavata dal significato geometrico: la derivata prima, calcolata in x0, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate di coordinate (x0;f(x0)).
Presi due punti sull’asse delle ascisse, x0 e x0+h, ad essi corrispondono due punti sul grafico della funzione, di coordinate (x0;f(x0)) e (x0+h;f(x0+h)): consideriamo allora la retta passante per essi. Quando h tende a zero, i due punti si avvicinano e la retta secante al grafico tende alla retta tangente.
Quando consideriamo funzioni di più variabili, possiamo definire un concetto analogo a quello di derivata: la derivata direzionale e la derivata parziale.
Teorema di Rolle
l Teorema di Rolle esprime una proprietà fondamentale delle funzioni derivabili.
Sia f una funzione reale di variable reale, definita e continua sull’intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile sull’intervallo aperto (a,b), e tale per cui f(a)=f(b). Allora esiste almeno un punto x∈(a,b), interno all’intervallo, in cui si annulla la derivata di f.
In simboli: f:[a,b]→R, f continua su [a,b], f derivabile su (a,b), f(a)=f(b) ⟹∃x∈(a,b):f′(x)=0.
Da un punto di vista geometrico significa che esiste almeno un punto interno in cui la retta tangente al grafico di della funzione f è orizzontale.
In questo video trovate risolti i tipici esercizi sul teorema.
l Teorema di Lagrange
l Teorema di Lagrange è un teorema che si applica alle funzioni derivabili. Afferma che:
Se f è una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile nei punti interni (a,b), allora esiste almeno un punto interno in cui la derivata prima è uguale a f(b)−f(a)b−a.
In simboli: f:[a,b]→R, f continua su [a,b], f derivabile su (a,b), ⟹∃x∈(a,b):f′ (x)=f(b)−f(a)/b−a.
Da un punto di vista geometrico significa che esiste almeno un punto interno in cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta secante nei punti di ascissa a e b. Al secondo membro si ritrova infatti il coefficiente angolare della retta per due punti: i punti A≡(a;f(a)) e B≡(b;f(b)).
Facciamo notare come il Teorema di Lagrange sia una genaralizzazione del Teorema di Rolle. Se infatti aggiungiamo l’ipotesi che f(a)=f(b), ricadendo quindi nelle ipotesi del Teorema di Rolle, il secondo membro nella tesi si annulla.
∃x∈(a,b):f′ (x)=f(b)−f(a)b−a
INFINITESIMI
Integrali
Integrali definiti
Teorema della media
