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Matematica computazionale
Riferimento cartesiano Il riferimento cartesiano si occupa di stabilire un collegamento tra oggetti geometrici (come una retta) e oggetti algebrici (come un’equazione). Ad ogni oggetto geometrico viene assegnato almeno un oggetto algebrico. Per esempio ad una retta un’equazione. Definizione retta In geometria, una retta è una successione illimitata di punti disposti in modo che, presi due punti qualsiasi sulla retta, tutti gli altri punti giacciano tra essi. La sua equazione è y = mx + q. Definizione coefficiente angolare Il coefficiente angolare di una retta è un valore che esprime la pendenza o l'inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse (asse x) in un sistema di coordinate cartesiane. Sistema di ascisse sulla retta Per rappresentare dei numeri reali attraverso una retta (quindi assegnando a ogni numero reale un punto) ci occorre stabilire:
- un verso di percorrenza (avremo quindi una retta orientata);
- un’origine O, che divide la retta in due semirette, una positiva e una negativa;
- un’unità di misura della lunghezza dei segmenti. Dopo aver fatto ciò, la retta si dice sistema di ascisse e viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e l’insieme dei numeri reali. Definizione di intervallo Un sottoinsieme I di R è detto intervallo se, ∀ x1, x2 ∈ R e I, con x1<x → esso contiene tutti gli elementi compresi tra x1 e x2.
Valore assoluto l valore assoluto di un numero, indicato con le barre verticali intorno al numero, rappresenta la sua distanza positiva dall'origine. La definizione matematica è la seguente: Osservazione Dato a > 0, a ∈ R |x|≤ a → - a ≤ x ≤ a Disuguaglianza triangolare del valore assoluto: |a + b| ≤ |a| + |b| Piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di coordinate bidimensionale. È composto da due assi perpendicolari, noti come asse x (asse orizzontale) e asse y (asse verticale), che si incontrano al punto in cui entrambi sono nulli e che è chiamato origine O. Gli assi dividono il piano in quattro quadranti:
- il primo quadrante in alto a destra contiene punti con x e y > 0;
- il secondo quadrante in alto a sinistra contiene punti con x < 0 e y > 0;
- il terzo quadrante in basso a sinistra contiene punti con x e y < 0;
- il quarto quadrante in basso a destra contiene punti con x > 0 e y < 0. Le coordinate di un punto nel piano cartesiano sono solitamente scritte come (x, y), dove "x" rappresenta la posizione lungo l'asse orizzontale e "y" rappresenta la posizione lungo l'asse verticale. Il piano cartesiano è costituito dal semipiano superiore (y ≥ 0) e dal semipiano inferiore (y ≤ 0).
Rette parallele all’asse x → x = 0 Rette parallele all’asse y → y = 0 Retta passante per un punto Retta passante per due punti Siano P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) due punti del piano cartesiano con x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2. Per determinare l’equazione della retta passante per i due punti utilizziamo la seguente formula.
Equazione della retta in forma implicita Ponendo: a = y2 – y b = x1 – x c = x2y1 – x1y Otteniamo l’equazione della retta in forma implicita ax + by +c = 0. Equazione della retta in forma esplicita Ponendo: m = - a/b q = - c/b Otteniamo l’equazione della retta in forma esplicita y = mx + q. m è il coefficiente angolare e q è il termine noto. Se m < 0 la retta è decrescente. Se m > 0 la retta è crescente. Se m = 0 la retta è parallela all’asse x. Verificare se un punto appartiene a una retta Rette parallele
L’equazione generica della circonferenza è: Se C = (0, 0) e r = 1: Equazione della circonferenza in forma implicita: Ellisse Fissati due punti F e F' nel piano (fuochi) e un numero reale positivo a, con 2a > d (F, F'), si dice ellisse con fuochi F e F' il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante e pari a 2a la somma delle distanze dei fuochi.
Equazione canonica dell’ellisse: Osservazione 1 Se consideriamo il centro dell’ellisse non nell’origine ma in un punto C = (x0, y0), l’ellisse sarà: Osservazione 2
Se scegliamo come asse focale l’asse delle ordinate e poniamo F = (0, C) e F' = (0, - C) otteniamo: Osservazione 2 Se i fuochi sono F = (a, a) e F' = (-a, - a) otteniamo: Parabola Fissata una retta r (direttrice) e un punto F (fuoco) si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano che hanno uguale distanza da F e da r. Equazione canonica della parabola:
Osservazione 1 Se a < 0 la parabola è rovesciata: Osservazione 2 Se F = (p, 0) e la direttrice è pari a x = - p l’equazione diventa: Osservazione 3 Se l’origine è diversa da 0 ed è V = (m, n):
Funzione esponenziale
Funzione logaritmo La funzione logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale.
Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche Equazioni esponenziali: l’incognita è l’algoritmo di una funzione esponenziale. Equazioni generali:
Disequazioni logaritmiche Funzioni trigonometriche Circonferenza goniometrica In un sistema di assi cartesiani è una circonferenza di centro nell’origine e raggio unitario.
Radianti In generale gli angoli vengono misurati in gradi. Il radiante è un’altra unità di misura, utilizzata nello studio delle funzioni trigonometriche. Passaggio da gradi a radianti Seno e coseno Dato un punto P che si muove sulla circonferenza goniometrica e sia x l’angolo del punto P, si definisce senx l’ordinata del punto P e cosx l’ascissa del punto P.
