Matematica, domande e risposte per orale | Appunti di Matematica Generale

Matematica orale

1. Si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA quella relazione che è riflessiva (ogni elemento è in relazione con se stesso),

simmetrica (se a è in relazione con b, allora anche b è in relazione con a) e transitiva (se a è in relazione con b e b è in

relazione con c, allora anche a è in relazione con c)

2. ESEMPI DI RELAZIONI DI EQUIVALENZA A=[1,2,3] R=[(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)]

3. ESEMPI DI CALCOLI CON CLASSI DI RESTO 2+2 = 1 mod3

4. Una FUNZIONE è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio

5. Una RELAZIONE TRA DUE INSIEMI A e B è un sottoinsime del loro prodotto cartesiano

6. La COMPOSIZIONE DI FUNZIONI è l’applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione [EX f’(-x; -y) o f’’

(x+1;y+1) f’’’ (-(x+1); -(y+1))]

7. Sia f una funzione del piano, dico che f è un ISOMETRIA se f preserva le distanze, cioè, presi due punti A e B, la distanza

tra le immagini di A e B è uguale alla distanza tra i due punti (|f(a)f(b)| = |AB|)

8. Indichiamo con la parola GRUPPO tutte le isometrie che fissano una figura (quando chiamiamo gruppo di simmetria di una

figura F l’insieme di tutte le isometrie che fissano F, vogliamo mettere in evidenza il fatto che si tratta proprio di un gruppo

di trasformazioni

 L’identità fissa F

 L’inverso di una isometria che fissa F è sempre un isometria e ha sempre la caratteristica di fissare F

 La composizione di due isometrie che fissano F è ancora un isometria e ha sempre la caratteristica di fissare F

9. GRUPPI

10. ORDINE DI UN GRUPPO

11. Chiamiamo GRUPPO DI SIMMETRIA di una figura la famiglia di tutte le isometrie che la fissano

12. CHIUSURA DI UN INSIEME

13. RELAZIONI DI EQ INDOTTE IN UN GRUPPO

14. DIMOSTRARE CHE LE ISOM DEL PIANO COSTITUISCONO UN GRUPPO

15. Un SEGMENTO è una parte di retta delimitata da due punti detti estremi

16. Proprietà della RETTA (5 postulati di Euclide)

 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;

 Ogni retta si estende indifferentemente in ogni verso;

 Dato un punto e una segmento, è possibile descrivere una sola circonferenza avente come centro il punto e come

raggio il segmento;

 Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;

 Data una retta r e un puto P, esiste ed è unica una retta s tale che p appartiene ad s ed s è parallela a r (s//r)

17. LINEA DI MINIMA LUNGHEZZA DEL PIANO

18. Si chiama VETTORE applicato di estremino iniziale A e finale B il segmento AB (=BA) con indicato il punto iniziale e

finale

19. La lunghezza (distanza AB), la direzione (direzione di AB) e il verso (AB O BA)

20. La SOMMA di VETTORI è un operazione che a coppie di vettori associa un nuovo vettore ( se i due vettori sono

paralleli/hanno la stessa direzione basta far coincidere l’estremo finale di uno con l’estremo inziale dell’altro, così facendo

otteniamo un nuovo vettore che va dall’estremo inziale del 1 all’estremo finale del 2; se i due vettori non sono paralleli/non

hanno la stessa direzione uso il metodo del parallelogramma)

21. Due vettori sono EQUIVALENTI se hanno la stessa lunghezza, direzione e verso

Anteprima parziale del testo

Scarica Matematica, domande e risposte per orale e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

Matematica orale

Si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA quella relazione che è riflessiva (ogni elemento è in relazione con se stesso), simmetrica (se a è in relazione con b, allora anche b è in relazione con a) e transitiva (se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora anche a è in relazione con c)
ESEMPI DI RELAZIONI DI EQUIVALENZA A=[1,2,3] R=[(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)]
ESEMPI DI CALCOLI CON CLASSI DI RESTO 2+2 = 1 mod
Una FUNZIONE è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio
Una RELAZIONE TRA DUE INSIEMI A e B è un sottoinsime del loro prodotto cartesiano
La COMPOSIZIONE DI FUNZIONI è l’applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione [EX f’(-x; - y) o f’’ (x+1;y+1) f’’’ (-(x+1); - (y+1))]
Sia f una funzione del piano, dico che f è un ISOMETRIA se f preserva le distanze, cioè, presi due punti A e B, la distanza tra le immagini di A e B è uguale alla distanza tra i due punti (|f(a)f(b)| = |AB|)
Indichiamo con la parola GRUPPO tutte le isometrie che fissano una figura (quando chiamiamo gruppo di simmetria di una figura F l’insieme di tutte le isometrie che fissano F, vogliamo mettere in evidenza il fatto che si tratta proprio di un gruppo di trasformazioni  L’identità fissa F  L’inverso di una isometria che fissa F è sempre un isometria e ha sempre la caratteristica di fissare F  La composizione di due isometrie che fissano F è ancora un isometria e ha sempre la caratteristica di fissare F
GRUPPI
ORDINE DI UN GRUPPO
Chiamiamo GRUPPO DI SIMMETRIA di una figura la famiglia di tutte le isometrie che la fissano
CHIUSURA DI UN INSIEME
RELAZIONI DI EQ INDOTTE IN UN GRUPPO
DIMOSTRARE CHE LE ISOM DEL PIANO COSTITUISCONO UN GRUPPO
Un SEGMENTO è una parte di retta delimitata da due punti detti estremi
Proprietà della RETTA (5 postulati di Euclide)  Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;  Ogni retta si estende indifferentemente in ogni verso;  Dato un punto e una segmento, è possibile descrivere una sola circonferenza avente come centro il punto e come raggio il segmento;  Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;  Data una retta r e un puto P, esiste ed è unica una retta s tale che p appartiene ad s ed s è parallela a r (s//r)
LINEA DI MINIMA LUNGHEZZA DEL PIANO
Si chiama VETTORE applicato di estremino iniziale A e finale B il segmento AB (=BA) con indicato il punto iniziale e finale
La lunghezza (distanza AB), la direzione (direzione di AB) e il verso (AB O BA)
La SOMMA di VETTORI è un operazione che a coppie di vettori associa un nuovo vettore ( se i due vettori sono paralleli/hanno la stessa direzione basta far coincidere l’estremo finale di uno con l’estremo inziale dell’altro, così facendo otteniamo un nuovo vettore che va dall’estremo inziale del 1 all’estremo finale del 2; se i due vettori non sono paralleli/non hanno la stessa direzione uso il metodo del parallelogramma)
Due vettori sono EQUIVALENTI se hanno la stessa lunghezza, direzione e verso

La TRASLAZIONE è quella trasformazione che manda ogni punto P del piano in quel punto P’ tale che il vettore PP’ sia uguale al vettore v, cioè abbia la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza di v (è individuata da un vettore con indicati lunghezza, direzione e verso)
La COMPOSIZIONE DI UNA TRASLAZIONE (dello stesso vettore) è ancora una traslazione con verso e direzione uguale alla prima ma con lunghezza doppia rispetto alla prima (se i due vettori sono diversi è comunque una traslazione)
Dati due triangoli T e T’ si dicono CONGRUENTI se esiste un isometria s che manda T in T’ (S(T)=T’)
CRITERI DI CONGRUENZA  Se T e T’ sono due triangoli aventi ordinatamente lati di uguale lunghezza allora sono congruenti (LLL)  Se T e T’ sono due triangoli aventi uguali due lati e l’angolo tra essi compreso allora sono congruenti (LAL)  Se T e T’ sono due triangoli aventi uguali due angoli e il lato tra essi compreso allora sono congruenti (ALA)
Lato-lato-angolo non compreso è un criterio di congruenza ma solo per i triangoli rettangoli (perché hanno due lati e due angoli congruenti)
L’ampiezza di due angoli determina un triangolo a meno di congruenza?
Un ANGOLO è la porzione del piano ottenuta spostando una semiretta s avente origine in O fino a farla sovrapporre ad un'altra semiretta avente la stessa origine O
Una SEMIRETTA, avente origine in un punto O e supposta una retta r con O appartenente a r, è la parte di retta r che si ottiene spostandosi a destra o a sinistra del punto O
GONIOMETRO
La somma di due lati di un triangolo e maggiore del terzo lato
Dati due angoli di semirette e S1/O1/T1 e S2/O2/T2, dico che A ha la stessa ampiezza di B se spostando S2 su S1, O2 su O1, anche T2 si sposta su T1 (considerando lo stesso senso dell’angolo), così definita non è una relazione di equivalenza se io non determino il senso di rotazione dell’angolo
Dati A e B, chiamo distanza tra i punti A e B la lunghezza del segmento AB. Due segmenti con la stessa lunghezza sono in relazione di equivalenza perché qualsiasi siano quei due segmenti valgono le proprietà che definiscono le relazioni di equivalenza
Dati un punto O chiamato centro e in angolo, la ROTAZIONE è quella trasformazione del piano che manda ogni punto P in quel punto P’ tale che la distanza di O da P sia uguale alla distanza di O da P’ e l’angolo POP sia l’angolo fissato
La composizione di due rotazioni con lo stesso centro è un'altra rotazione con centro il punto fissato e angolo la somma dei due angoli delle rotazioni precedenti
Se prendiamo due centri diversi la composizione di due rotazioni non è detto che sia ancora una rotazione; infatti se i centri sono separati abbiamo una traslazione
Sia f una isometria, P si dice PUNTO FISSO di f se f(P) = P
Isometria che FISSA 3 PUNTI NON ALLINEATI (l’identità ha tutti i punti del piano fissi)
ISOMETRIE CHE FISSANO UNA FIGURA COSTITUISCONO UN GRUPPO
Data una retta r che chiamiamo asse, la RIFLESSIONE è quella trasformazione del piano che manda ogni punto P in quel punto P’ che appartiene alla perpendicolare da P a r ed è tale che la distanza di P dalla retta r sia uguale alla distanza di P’ dalla retta r
Data una retta r e un vettore v parallelo alla retta, la GLISSORIFLESSIONE è quella trasformazione che si ottiene facendo, prima l’una e poi l’altra ( e non importa in che ordine), una riflessione rispetto alla retta r e una traslazione rispetto al vettore fissato
NATURA DELLA COMPOSIZIONE DI UNA RIFLESSIONE E TRASLAZIONE AVENTE DIREZIONE PERPENDICOLARE AL SUO ASSE
La traslazione non ha nessun punto fisso
La rotazione ha un solo punto fisso, il centro di rotazione

70. ESEMPI DI GRUPPI DI MOSAICI

Chiamiamo SIMILITUDINE DEL PIANO una trasformazione f che a ogni punto P del piano associa un altro punto f(P) del piano in modo tale che, anche se le distanze vengono mutate, esse vengano mutate in rapporto costante: possiamo cioè trovare un numero k tale che se la distanza di due punti P e Q vale d(P,Q)=d, la distanza fra i loro corrispondenti f(P) e f(Q) vale k x d. Questa costante k si chiama rapporto di similitudine
Le OMOTETIE sono trasformazioni del piano che, fissando un punto O (centro dell’omotetia) e allontanando da O oppure avvicinando a O, uniformemente, tutti i punti del piano. Fissato anche un numero k (rapporto di omotetia, positivo), individuiamo una trasformazione del piano mandando un qualunque punto P nel punto P’=f(P) che appartiene alla semiretta di origine O passante per P e tale che la distanza da P’ è k volte la distanza di O da P
La COMPOSIZIONE DI DUE OMOTETIE con lo stesso centro è ancora un omotetia con centro lo stesso centro e di rapporto k x w in cui k è il rapporto di omotetia della prima e w è il rapporto di omotetia della seconda
Due triangoli sono simili se e soltanto se il rapporto tra i lati corrispondenti è costante e l’ampiezza degli angoli interni sono uguali due a due
EQUAZIONE GENERALE DI UNA RETTA ax+ by + c = 0 con a e b fissati (oppure equazione non generale y= mx + q in cui m = y2-y1/x2-x1 e q intercetta l’asse delle y)
Due RETTE SONO PERPENDICOLARI se n= - 1/m (n e m sono i coefficienti angolari delle due rette)
Presi due segmenti per capire se SONO PARALLELI SULLA CARTA A QUADRETTI bisogna vedere se i triangoli costruiti sui segmenti sono simili; se sono simili allora i segmenti sono paralleli (devono essere in rapporto così che la tangente è uguale e quindi anche il rapporto angolare)
PERPENDICOLARITà DI SEGMENTI SULLA CARTA A QUADRETTI
Prese due rette perpendicolari e prendendo come origine il punto di intersezione, data un unità di misura e verso di percorrenza esse prendono il nome di ASSI CARTESIANI ORTOGONALI
DESCRIZIONE CARTESIANA DI UNA TRASLAZIONE (x+a ; y+b)
DESCRIZIONE CARTESIANA DI UNA ROTAZIONE
DESCRIZIONE CARTESIANA DI UNA GLISSORIFLESSIONE
DESCRIZIONE CARTESIANA DI UNA RIFLESSIONE
La COMPOSIZIONE DI DUE GLISSORIGLESSIONI CON LO STESSO ASSE è una traslazione con vettore dato dalla somma delle due traslazioni precedenti
CORDINATE POLARI (rho, alfa)
CORDINATE SFERICHE (rho, alfa, beta)
Le linee che passano alla stessa longitudine, cioè linee che passano per i poli, sono i meridiani (intersezione tra un piano verticale e la sfera). Le linee che passano alla stessa latitudine, ovvero le linee orizzontali, sono i paralleli (interazione tra un piano orizzontale e la sfera)
ASSIOMI EUCLIDEI:  Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta  Ogni retta si estende indifferentemente in ogni verso  Tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro  Dato un punto ed una lunghezza è possibile descrivere un cerchio (dato un raggio r e un centro c esiste una ed una sola circonferenza con centro c e come raggio r)  Data una retta r e un punto P esiste ed è unica una retta s tale che, P appartiene a s e r ed s sono parallele
La SCLA DI UNA CARTINA è la proporzione tra le misure della realtà e quelle riportate sulla cartina
In una similitudine le lunghezze variano di un numero k (rapporto di similitudine), le aree di un numero k^2 e i volumi di un numero k^
TEOREMA DI PITAGORA: in un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa (radice di a^2+b^2=c)

Gli ASSIOMI sono proprietà che gli oggetti primitivi soddisfano (come per esempio “per due punti passa una sola retta); i TEOREMI invece sono affermazioni su oggetti primitiva ottenuti per deduzione logica dagli assiomi (come per esempio “la somma degli angoli interni di un triangolo è 180)
INVERSO TEOREMA DI PITAGORA
Chiamiamo GRUPPO DI SIMMETRIA di una figura tutte le isometrie che la fissano (guardare anche punto 8)
Diciamo che una retta r è ASSE DI SIMMETRIA per una figura quando la riflessione rispetto alla retta r fissa quella figura
Diciamo che il punto O è un CENTRO DI SIMMETRIA per una figura quando una qualche rotazione intorno a O è una simmetria della figura
Dato un qualsiasi triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa divide i triangolo in due triangoli sia simili tra loro che con il triangolo dato
La SIMILITUDINE TRA RETTANGOLI si ha quando il rapporto tra la base e l’altezza è costante

Matematica, domande e risposte per orale, Appunti di Matematica Generale

Documenti correlati

Anteprima parziale del testo

Scarica Matematica, domande e risposte per orale e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!

70. ESEMPI DI GRUPPI DI MOSAICI