1] chiamiamo DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti di classe k gli allineamenti che si possono

formare considerando k oggetti diversi (tra gli n dati) quando si sia stabilito che due

allineamenti devono considerarsi distinti se differiscono per almeno un oggetto o per l’ordine nel

quale gli oggetti compaiono.!

Le PERMUTAZIONI SEMPLICI di n oggetti sono gli allineamenti che si possono costituire

considerando ogni volta tutti gli oggetti dati (senza mai ripeterne alcuno). !

Chiamiamo COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti di classe k tutti i raggruppamenti che si possono

formare considerando ogni volta k oggetti diversi (tra gli n dati), considerando distinti due

raggruppamenti se differiscono per almeno un oggetto.!

Chiamiamo DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti di classe k gli allineamenti di k oggetti

scelti tra gli n assegnati, quando si sia stabilito che due allineamenti devono ritenersi diversi

quando differiscono o per gli oggetti contenuti o per l’ordine degli stessi o per il numero di

ripetizioni di un dato oggetto.

2) Sia Ω = [a1,…,an] un insieme finito non vuoto. Una funzione di probabilità suΩ è una funzione

p: Ω->[0,1] tale che Σn i=1 p(ai)=1. La coppia (Ω,p) si dice uno SPAZIO DI PROBABILITA’ FINITO.

3) Lo SPAZIO PRODOTTO (Ω1,p1) x … x (Ωr,pr) descrive i possibili esiti di un insieme di r prove

indipendenti, di cui una ha esiti possibili in Ω1, una in Ω2, ecc.

4) la PROBABILITA’ CONDIZIONATA di A dato B è: p(A│B)= p(AᴒB)/p(B). La probabilità che si

verifichi l’evento A dipende dal verificarsi dell’evento B.

5)Due eventi (compatibili) E ed E1 si dicono INDIPENDENTI se il verificarsi dell’uno non influisce

sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro.

6)TEOREMA DI BAYES: sia (Ω,p) uno spazio di probabilità e [B1,…,Br] una partizione di Ω. Se

p(A)>0 e p(Bi)>0 per ogni i [1,…,r] allora per ogni i=1,…r abbiamo p(Bi│A)= p(A│Bi)p(Bi)/ Σr j=1

p(A│Bi)p(Bi).

7) Una matrice quadrata, in cui sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale

principale, ovvero è soddisfatta la condizione aij=aji, si dice SIMMETRICA.

8) UGUAGLIANZA TRA MATRICI: due matrici sono confrontabili quando hanno la stessa

dimensione. In particolare, sono uguali quando ogni elemento della prima è uguale al

corrispondente elemento dell’altro.

9)SOMMA DI MATRICI: Due matrici si possono sommare quando hanno la stessa dimensione. Il

risultato è ancora una matrice della stessa dimensione: si ottiene sommando gli elementi delle

due matrici che occupano lo stesso posto: [aij]+[bij]=[aij+bij].

10)PRODOTTO DI MATRICI: una matrice può sempre essere moltiplicata per un numero (reale).

Per calcolare il prodotto, basta moltiplicare per quel numero ogni elemento della matrice: c.

[aij]=[c.aij]. Il prodotto tra due matrici A e B (in quest’ordine) è possibile quando il numero di

colonne di A è uguale al numero di righe di B. in questo caso, il risultato è dato da una matriceC

che ha tante righe quante quelle di A e tante colonne quante quelle di B.

11)Data una matrice quadrata A, chiamiamo COMPLEMENTO ALGEBRICO dell’elemento aij il

determinante della matrice ottenuta da A togliendo la i-esima riga e la j-esima colonna,

moltiplicato poi per (-1) i+j

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1] chiamiamo DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti di classe k gli allineamenti che si possono formare considerando k oggetti diversi (tra gli n dati) quando si sia stabilito che due allineamenti devono considerarsi distinti se differiscono per almeno un oggetto o per l’ordine nel quale gli oggetti compaiono. Le PERMUTAZIONI SEMPLICI di n oggetti sono gli allineamenti che si possono costituire considerando ogni volta tutti gli oggetti dati (senza mai ripeterne alcuno). Chiamiamo COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti di classe k tutti i raggruppamenti che si possono formare considerando ogni volta k oggetti diversi (tra gli n dati), considerando distinti due raggruppamenti se differiscono per almeno un oggetto. Chiamiamo DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti di classe k gli allineamenti di k oggetti scelti tra gli n assegnati, quando si sia stabilito che due allineamenti devono ritenersi diversi quando differiscono o per gli oggetti contenuti o per l’ordine degli stessi o per il numero di ripetizioni di un dato oggetto.

Sia Ω = [a1,…,an] un insieme finito non vuoto. Una funzione di probabilità suΩ è una funzione p: Ω->[0,1] tale che Σn^ i=1 p(ai)=1. La coppia (Ω,p) si dice uno SPAZIO DI PROBABILITA’ FINITO.
Lo SPAZIO PRODOTTO (Ω 1 ,p 1 ) x … x (Ωr,pr) descrive i possibili esiti di un insieme di r prove indipendenti, di cui una ha esiti possibili in Ω 1 , una in Ω 2 , ecc.
la PROBABILITA’ CONDIZIONATA di A dato B è: p(A│B)= p(AᴒB)/p(B). La probabilità che si verifichi l’evento A dipende dal verificarsi dell’evento B. 5)Due eventi (compatibili) E ed E 1 si dicono INDIPENDENTI se il verificarsi dell’uno non influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro. 6)TEOREMA DI BAYES: sia (Ω,p) uno spazio di probabilità e [B 1 ,…,Br] una partizione di Ω. Se p(A)>0 e p(Bi)>0 per ogni i [1,…,r] allora per ogni i=1,…r abbiamo p(Bi│A)= p(A│Bi)p(Bi)/ Σr^ j= p(A│Bi)p(Bi).
Una matrice quadrata, in cui sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale, ovvero è soddisfatta la condizione aij=aji, si dice SIMMETRICA.
UGUAGLIANZA TRA MATRICI: due matrici sono confrontabili quando hanno la stessa dimensione. In particolare, sono uguali quando ogni elemento della prima è uguale al corrispondente elemento dell’altro. 9)SOMMA DI MATRICI: Due matrici si possono sommare quando hanno la stessa dimensione. Il risultato è ancora una matrice della stessa dimensione: si ottiene sommando gli elementi delle due matrici che occupano lo stesso posto: [aij]+[bij]=[aij+bij]. 10)PRODOTTO DI MATRICI: una matrice può sempre essere moltiplicata per un numero (reale). Per calcolare il prodotto, basta moltiplicare per quel numero ogni elemento della matrice: c. [aij]=[c.aij]. Il prodotto tra due matrici A e B (in quest’ordine) è possibile quando il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. in questo caso, il risultato è dato da una matriceC che ha tante righe quante quelle di A e tante colonne quante quelle di B. 11)Data una matrice quadrata A, chiamiamo COMPLEMENTO ALGEBRICO dell’elemento aij il determinante della matrice ottenuta da A togliendo la i-esima riga e la j-esima colonna, moltiplicato poi per (-1) i+j

12)TEOREMA DI LAPLACE: il determinante di una matrice quadrata è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o di una sua colonna) moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici. 13)Chiamiamo MATRICE INVERSA di una matrice quadrata A la matrice A-1^ (se esiste) tale che: A. A-1= A-1^. A=I (dove I è la matrice unità) 14)TEOREMA MATRICI INVERTIBILI: una matrice quadrata A è invertibile se e solo se è non singolare: ƎA-1^ <-> detA≠0. Sia data una matrice quadrata A non singolare. Gli elementi dell0inversa A-1^ sono dati dai complementi algebrici della matrice trasposta divisi per detA 15)Diciamo che la matrice A ha RANGO r quando r è il massimo ordine delle sue sottomatrici quadrate non singolari. Scriveremo allora r(A). 16)Un sistema di due equazioni in due incognite, è detto LINEARE perché ogni termine, nelle due equazioni, è al più di primo grado (in x o in y) 17)TEOREMA DI ROUCHE’-CAPELLI: un sistema lineare Ax=b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice ottenuta orlando A con il vettore dei termini noti b. Ax=b è possibile <-> r(A)=r(A│b)

TEOREMA DI CRAMER: il sistema lineare Ax=b, con A matrice quadrata (r x r) e non singolare, ammette la soluzione (x 1 , x 2 ,…,xr) data da x= det Ai/det A (i= 1,2,…,r) dove Ai^ è la matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei termini noti al posto della i-esima colonna.
Dati due insieme X e Y, chiamiamo FUNZIONE da X in Y una qualunque legge che faccia corrispondere a ogni elemento di X uno e un solo elemento di Y.
Considerando una funzione f:A ≤ R -> R, chiamiamo suo GRAFICO l’insieme delle coppie (x, y) in cui x appartiene al campo di esistenza della funzione e y è il valore corrispondente in x: gr f= [(X,Y) ϵ R^2 : X ϵ A, y=f(x)]
Una funzione si dice INIETTIVA quando ogni elemento dell’insieme delle immagini proviene da un unico elemento di A, ovvero per ogni x 1 , x 2 ϵ A, con x 1 ≠ x 2 , si ha f(x 1 )≠ f(x 2 ). Chiamiamo INVERSA la funzione, definita su f(X) e a valori in X, che per ogni y ϵ f(X) associa la sua controimmagine. La funzione deve essere iniettiva. Chiamiamo funzione COMPOSTA, mediante f e g, la funzione h: a≤ X -> Z che a ogni xϵ A≤ X associa l’elemento g[f(x)].
Quando gli insieme X e Y coincidono con l’insieme R dei numeri reali, e quando la corrispondenza tra X e Y associa un numero reale a un numero reale, parliamo di FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. Una funzione è detta CRESCENTE quando per ogni x 1 , x 2 ϵ A con x 1 <x 2 , si ha f(x 1 )≤ f(x 2 ). Una funzione è detta DECRESCENTE quando per ogni x 1 , x 2 ϵ A con x 1 <x 2 , si ha f(x 1 )≥ f(x 2 ). Una funzione è detta CONVESSA/CONCAVA quando per ogni x 1 , x 2 ϵ R la corda congiungente i punti (x 1 f(x 1 )) e (x 2 f(x 2 )) sta al di sopra/al di sotto del grafico di f. Una funzione si dice PARI quando per ogni xϵ A risulta f(x)=f(-x). Una funzione si dice DISPARI quando per ogni xϵ A risulta f(x)= - f(-x).
Sia P 0 la numerosità della popolazione al tempo t=0 in cui si inizia a studiare l’evoluzione. Al tempo t=1 la numerosità è data da: P(1)= P 0 + n P 0 - m P 0 = (1+n-m) P 0. Se poniamo R=1+n-m≥ 0 l’espressione diventa P(1)=R P 0. Con un ragionamento del tutto analogo possiamo dire che la

all’insieme di definizione della funzione e il limite di f per x-> x 0 esiste finito; in quest’ultimo caso è possibile prolungare con continuità la funzione in x 0 ponendo f(x 0 ) = lim (^) x-> x0 f(x). x 0 è una discontinuità di prima specie quando il limite sinistro e il limite destro, per x-> x 0 esistono finiti ma sono diversi tra di loro; x 0 è una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti non esiste o esiste infinito.

TEOREMA DEGLI ZERI: sia f continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] con f(a).f(b)<0: esiste allora un punto c ϵ (a,b) tale che f(c)=0.

32)Una funzione f si dice INFINITA per x->P quando: lim (^) x-> P f(x)= ∞. Date due funzioni infinite f e g per x->P, per confrontarle consideriamo il limite del loro rapporto. Quando:

lim (^) x->P f(x)/g(x)=0, diciamo che f è infinita di ordine inferiore rispetto a g;
lim (^) x->P f(x)/g(x)=k≠0, diciamo che f e g sono infinite dello stesso ordine;
lim (^) x->P f(x)/g(x)= ∞, diciamo che f è infinita di ordine superiore rispetto a g;
lim (^) x->P f(x)/g(x) non esiste, diciamo che i due infiniti non sono confrontabili. Una funzione f si dice INFINITESIMA per x->P quando: lim (^) x-> P f(x)= 0.
lim (^) x->P f(x)/g(x)=0, diciamo che f è infinitesima di ordine superiore rispetto a g;
lim (^) x->P f(x)/g(x)=k≠0, diciamo che f e g sono infinitesime dello stesso ordine;
lim (^) x->P f(x)/g(x)= ∞, diciamo che f è infinitesima di ordine inferiore rispetto a g;
lim (^) x->P f(x)/g(x) non esiste, diciamo che i due infinitesimi non sono confrontabili.

sia x=x 0 un punto di accumulazione per l’insieme di definizione di una funzione f. quando risulta lim (^) x->x0 f(x)= ∞ diremo che il grafico della funzione ha un ASINTOTO VERITCALE di equazione x=x 0. quando il limite (^) x->+∞ (oppure x-> - ∞) risulta finito: lim (^) x-> +∞ f(x)=k diremo che il grafico di f ammette la retta di equazione y=k come ASINTOTO ORIZZONTALE per x-> +∞. ASINTOTO OBLIQUO: succede quando per x->∞ risulta: f(x)= mx+q+o(1) ovvero la funzione f si comporta, a meno di infinitesimi, come la funzione lineare y=mx+q. TEOREMA: Il grafico di una funzione f ammette la retta y=mx+q quale asintoto obliquo se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni: esiste, finito e diverso da zero, iil limite di f(x)/x per x-> ∞ : lim (^) x-> ∞ f(x)/ x=m≠0 ; esiste finito il limite di f(x) – mx per x->∞ : lim (^) x-> ∞ [f(x)-mx]=q
RAPPORTO INCREMENTALE: il rapporto tra l’incremento ∆f=f(x 0 +h)-f(x 0 ), registrato dalla funzione quando la variabile indipendente passa dal valore x 0 a x 0 +h, e l’incremento stesso h, attribuito alla variabile indipendente: ∆f/h =f(x 0 +h)-f(x 0 )/h. Chiamiamo DERIVATA di f: A≤ R -> R nel punto x 0 ϵ intA il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale: f’(x 0 )= lim (^) h->0 f(x 0 +h)-f(x 0 )/h. Diremo allora che la funzione f è derivabili in x 0
Il SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA f’(x 0 ) è dato dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto x 0 , ovvero dalla sua pendenza. Questa retta tangente ha per equazione: y- f(x 0 )= f’(x 0 ). (x-x 0 ).
Una funzione f: A≤ R -> R presenta un PUNTO ANGOLOSO in x0 ϵ intA quando il limite sinistro del rapporto incrementale non è uguale al limite destro: lim (^) h->0- f(x 0 +h)-f(x 0 )/h ≠ lim (^) h->0+ f(x 0 +h)-f(x 0 )/h. (punto di cuspide??)
Sia f: A≤ R -> R dotata di derivata prima in un intorno di x0 ϵ intA. Si definisce DERIVATA SECONDA di f in x 0 il seguente limite, se esiste finito: f’’(x 0 )= lim (^) h->0 f’(x 0 +h)-f’(x 0 )/h.

38)TEOREMA RAPPORTO CONTINUITA’ E DERIVABILITA’: Siano f: A≤ R -> R x 0 ϵ A un punto del suo insieme di definizione. Se in tal punto f è derivabili, allora è anche continua.

TEOREMI di DE L’HOPITAL: 1°- se f e g soddisfano le seguenti ipotesi:

sono derivabili in un intorno di x 0 (salvo al più in x 0 in cui comunque sono continue) con g(x)≠0 e g’(x)≠0, per ogni x ≠ x 0 di tale intorno;
f(x 0 ) = g(x 0 )=0;
esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate lim (^) x-> x0 f’(x)/g’(x) allora si ha: lim (^) x-> x0 f(x)/g(x) = lim (^) x-> x0 f’(x)/g’(x) 2° se f e g soddisfano le seguenti ipotesi:
sono derivabili in un intorno di x 0 (salvo al più in x 0 ) con g’(x)≠ 0 per ogni x ≠ x 0 di tale intorno;
lim (^) x-> x0 f(x) = lim (^) x-> x0 (x)= ∞
esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate lim (^) x-> x0 f’(x)/g’(x) allora si ha: lim (^) x-> x0 f(x)/g(x) = lim (^) x-> x0 f’(x)/g’(x).

Data la funzione f: A≤ R -> R, un punto x 0 ϵ A si dice punto di MASSIMO (o di MINIMO) ASSOLUTO per la funzione f quando risulta: f(x 0 )≥f(x) per ogni x ϵ A; (f(x 0 )≤f(x)). Data la funzione f: A≤ R -> R, un punto x 0 ϵ A si dice punto di MASSIMO (o di MINIMO) RELATIVO per la funzione f quando esiste un suo intorno N(x 0 ) tale che : f(x 0 )≥f(x) per ogni x ϵ AᴒN (x 0 ); (f(x 0 )≤f(x)).
una funzione f, derivabile su un intervallo I, è CRESCENTE su I se e solo se risulta f’(x)≥0, per ogni xϵI. Analogamente una funzione f è DECRESCENTE su I se e solo se risulta f’(x) ≤ 0 per ogni xϵI
TEOREMA DI CONVESSITA’: una funzione derivabile f è convessa in un intervallo I se e solo se la sua derivata f’ è una funzione crescente. Una funzione f, derivabile due volte, è convessa in un intervallo I se e solo se, per ogni x ϵ I, risulta f’’(x)≥0. Una funzione derivabile f è convessa in un intervallo I se e solo se il suo diagramma in tale intervallo si trova sempre al di sopra, o perlomeno non al di sotto, di quello della retta tangente al diagramma stesso, condotta in un generico punto x 0 ϵI. TEOREMA DI CONCAVITA’: una funzione derivabile f è concava in un intervallo I se e solo se la sua derivata f’ è una funzione decrescente. Una funzione f, derivabile due volte, è concava in un intervallo I se e solo se, per ogni x ϵ I, risulta f’’(x)≤0. Una funzione derivabile f è concava in un intervallo I se e solo se il suo diagramma in tale intervallo sta sempre al di sotto, o perlomeno non al di sopra, di quello della retta tangente al diagramma stesso, condotta per un qualsiasi x 0 ϵI. 43)Data una funzione f definita su un intervallo I, un punto x 0 interno a I è detto PUNTO DI FLESSO per il diagramma di f quando esiste un suo intorno sinistro in cui f è convessa mentre in un intorno destro è concava (o viceversa).

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