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PARTE I
CONCETTI FONDAMENTALI DI MATEMATICA FINANZIARIA
ATTIVITA’ FINANZIARIA
Un’attività finanziaria è il diritto legale di scambiare importi monetari nel tempo. Tali
importi possono essere noti o aleatori (incerti).
Es. di attività finanziarie:
➢ B.O.T.: comportano lo scambio di due importi monetari, dove il primo è esigibile
immediatamente( prezzo ), ed il secondo in data futura ( il rimborso );
➢ Prestito concesso da una banca : comporta lo scambio di un importo esigibile
immediatamente ( finanziamento ) con una successione pagamento di rate a
scadenze diverse;
➢ Azione ordinaria di un’impresa industriale : scambio di un importo esigibile
immediatamente ( prezzo ) con una successione di dividenti in una data futura
(rimborsi), però in questa situazione il rimborso è aleatorio( incerto ).
Le funzioni delle attività finanziarie sono le seguenti:
- Finanziamento degli operatori in deficit (es. aziende che devono finanziare
l’acquisto di beni e strumenti reali per l’esercizio dell’impresa) attraverso il
trasferimento di fondi dagli operatori in surplus (es. gli individui che decidono di
investire i propri risparmi);
- Ridistribuzione del rischio legato all’aleatorietà dell’evoluzione temporale dei
prezzi. Si parla di rischio di mercato, di tassi di interesse, di credito, di tasso di cambio,
di liquidità ecc.
MERCATI FINANZIARI
Le attività finanziarie sono scambiate sui mercati finanziari , rappresentando l’insieme
delle istituzioni e procedure che consentono le transazioni aventi ad oggetto tali attività.
I mercati finanziari possono avere due canali, il mercato primario dove avviene la
collocazione di titoli di nuova emissione, e il mercato secondario dove la collocazione di
titoli successivi alla prima emissione.
Le funzioni dei mercati finanziari sono le seguenti:
➢ Consentono la determinazione dei prezzi attraverso l’interazione tra domanda e
offerta;
➢ Offrono liquidità , data la possibilità di acquistare o vendere immediatamente al
prezzo di mercato;
➢ Riducono i costi di transazione.
Gli operatori del mercato finanziario sono:
a) Emittenti;
b) Intermediari:
c) Investitori:
- Speculatori
- Immunizzatori
- Arbitraggisti
OPERAZIONI FINANZIARIE
Le operazioni finanziarie sono flussi di importi in entrata e in uscita, associati ad una
scadenza.
Es. Supponiamo che l’individua A riceva in data odierna € 1000 che si impegna a
restituire in 3 rate di € 400. Si tratta di un’operazione di finanziamento , dove le entrate
precedono sempre le uscite , al contrario delle operazioni di finanziamento.
Il contratto può essere rappresentato nel seguente modo:
x = {1000, - 400, - 400, - 400}, t = {0, 1, 2, 3}
Il vettore x descrive gli importi.
Il vettore t è definito scadenziario e descrive la scadenza a cui gli importi devono essere
scambiati.
OPERAZIONI FINANZIARIE A PRONTI: TITOLI A CEDOLA FISSA
Es. Acquisto di BTP
s = 15/09/2018; 𝑡
0
= 15/03/
TN = 4%; C =100; Ʈ = 0,5 anni (cedola semestrale)
Quindi il flusso di importi sarà:
OPERAZIONI FINANZIARIE A TERMINE
Si definisce operazione finanziaria a termine , l’operazione in cui le due parti contraenti si
impegnano l’una ad acquistare ( posizione lunga ) e l’altra a vendere ( posizione corta ) un’attività
finanziaria ad una data futura ( T > t ), definita data di consegna , ad un prezzo fissato all’inizio
( K ). Si può quindi rappresentare l’operazione a termine, dal punto di vista della posizione lunga,
nel modo seguente:
Posizione lunga : obbligo di corrispondere l’importo K al tempo T in cambio del titolo oggetto del
contratto, indipendentemente dal prezzo di mercato del titolo.
Il detentore di posizione corta ha l’obbligo di vendere il titolo oggetto del contratto alla data di
consegna prevista e al prezzo K indicato nel contratto.
In queste attività finanziarie investono:
a) Speculatori , un investitore che scommette sul rialzo del prezzo di un determinato titolo,
qualora detto rialzo si verifichi, l’investitore avrà un profitto;
b) Hedgers , un investitore che vuole proteggersi dal ribasso del presso di un dato titolo
assumerà una posizione corta in un contratto a termine. In questo modo fisserà un prezzo per
lui consono e potrà proteggersi dal rischio di ribasso del prezzo.
Interesse periodale a termine : misura il compenso richiesto per rinunciare all’importo K
nell’intervallo di tempo (s - T) sulla base delle informazioni disponibili al tempo t.
Tasso di interesse periodale a termine : misura il compenso richiesto in termini di percentuali.
Intensità di interesse periodale a termine : misura il compenso % richiesto per unità di
tempo.
Per quanto riguarda i titoli a cedola fissa , supponiamo che
l’attività sottostante del contratto a termine si caratterizzi per il seguente flusso di importi:
PARTE II
VALUTAZIONE DELLE OPERAZIONI FINANZIARIE: LA STRUTTURA
DEI PREZZI A PRONTI
ATTUALIZZAZIONE
OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI
Per calcolare il valore attuale di un titolo con scadenza (s) mi serve il fattore di
sconto/attualizzazione v(s)
𝑽𝑨 = 𝑷 = 𝑪𝒗(𝒔)
OPERAZIONI FINANZIARIE NON ELEMENTARI
Come per le operazioni elementari, mi serve il fattore di attualizzazione, ma in questo caso
per tutte le scadenza
𝟏
𝟐
𝟑
Più in generale si può scrivere:
𝑺
𝒕=𝟏
8
Il principio di assenza di opportunità di
arbitraggio , ci dice che è impossibile fare profitto
con certezza con investimento nullo.
CAPITALIZZAZIONE
OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI
Per conoscere il valore futuro di un’attività finanziaria ci serve il fattore di
capitalizzazione/montante m(s)
OPERAZIONI FINANZIARIE NON ELEMENTARI
In maniera simile all’attualizzazione, in caso di operazioni finanziarie non elementari, il
calcolo del montante di un titolo a cedola fissa (TCF) è dato da:
𝑺
𝒕=𝟏
IL MERCATO IDEALE DELLE OBBLIGAZIONI
Ipotesi sul mercato delle obbligazioni:
a) Il mercato è completo , quando esistono titoli a cedola nulla unitari per tutte le
scadenze (TCN unitario è quel titolo che alla scadenza avrà un valore nominale pari a
un euro);
b) Il mercato è non frizionale :
- Non vi è rischio di insolvenza;
- Non ci sono costi di transazione;
- Non ci sono spese fiscali;
- Sono consentite vendite allo scoperto;
- I titoli sono indefinitamente divisibili (cioè possono essere acquistati/venduti
qualsiasi quantità di titoli nel mercato).
c) Il mercato è competitivo , dove gli investitori:
- Massimizzano il profitto;
- Sono price – takers , ovvero non possono influenzare i prezzi;
d) Nel mercato non sono possibili operazioni di arbitraggio non rischioso.
Proprietà di decrescenza
rispetto alla scadenza
PROPRIETA’
Per l’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio:
𝟎 poiché rappresenta il prezzo che un qualsiasi
investitore è disposto a pagare.
- 𝒗(𝒕, 𝒕) = 𝟏 il prezzo di un titolo unitario con scadenza nello stesso tempo della
valutazione 𝒕 non può essere che pari a 1.
- Per ogni 𝒕 < 𝒔 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
Ipotizzando di avere due titoli con scadenze diverse
1
2
, il titolo con scadenza più
lunga darà un maggior rendimento e quindi il prezzo sarà minore. Gli investitori sono
infatti disposti a pagare di più per un titolo con scadenza minore.
PROPRIETA’ DI DECRESCENZA RISPETTO ALLA SCADENZA
Dimostrazione:
Supponiamo per un attimo che 𝒗
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
In questo caso possiamo attuare la seguente strategia finanziaria.
Al tempo 𝒕:
- Vendita allo scoperto di un ZCB unitario con scadenza in 𝑠
2
- Acquisto di uno ZCB con scadenza in 𝑠 1
, con l’incasso della vendita al punto 1;
- Programmo l’acquisto al tempo 𝑠 1
, di uno ZCB unitario con scadenza 𝑠
2
Rappresentando graficamente questa strategia avremo:
1
2
1 +𝑣(𝑡, 𝑠
2
) 0 − 1
2 −𝑣(𝑡, 𝑠
1
) + 1 0
3 0 −𝑣(𝑠
1 ,
𝑠
2
)
tot 𝒗
𝟏
𝟐
( 𝑠
1
, 𝑠
2
) 0
Questa strategia finanziaria si configura come arbitraggio in quanto il flusso di importi
non presenta variazioni di segno ed è quindi un guadagno non rischioso.
In un mercato obbligazionario ideale abbiamo la seguente struttura dei prezzi a pronti:
Un’impresa decide di emettere obbligazioni con scadenza a un anno e valore di rimborso
C=50.
A questo punto devo trovare il prezzo di non arbitraggio, ossia il valore attuale del rimborso
previsto tra un anno. Per fare ciò mi occorre il fattore di attualizzazione.
In questo caso la funzione di attualizzazione ci viene fornita dalla stessa struttura dei prezzi
e mi permette di attualizzare i flussi in entrata che avrò tra un anno.
Quindi se il mio valore di rimborso 𝐶 = 50 tutto ciò che devo fare è:
Questo è possibile in quanto posso replicare il titolo che mi rimborsa C. Mi costruisco un
portafoglio dal numero di unità pari al valore del montante C, per poi moltiplicarlo per il
prezzo delle medesime unità.
REPLICA DI UN FLUSSO FINANZIARIO
In un mercato completo, per definizione, è possibile replicare qualsiasi flusso finanziario.
Data un’attività finanziaria A caratterizzata da:
1
2
𝑚
} = flusso di importi deterministici generati da A definiti sullo
scadenziario
1
2
𝑚
Posso costruire un portafoglio costituito da 𝑥 1
unità del TCN unitario che scade in 𝑡
1
𝑚
unità del TCN unitario che scade in 𝑡 𝑚
Il prezzo del portafoglio di replica sarà:
1
1
2
2
𝑚
𝑚
𝑗
𝑗
𝑚
𝑗= 1
Teorema di linearità nel tempo
Questo è l’unico prezzo di
non arbitraggio
C è il valore capitalizzato al tempo s di P euro disponibili in t. Detto in altri termini, è
l’importo richiesto in s dagli investitori per rinunciare all’importo P al tempo t.
1
2
1
2
Supponiamo di avere un titolo a cedola fissa (TCF) annuale con scadenza tra due anni e
valore di rimborso C=100, tasso nominale TN=5% e la seguente struttura di prezzi:
Devo trovare P=?
- Innanzitutto, devo trovare l’importo della cedola, in questo caso essendo annuale la
cedola sarà 100*0,05=5.
- Poi mi costruisco il flusso di importi e lo scadenziario
𝟏
- Per fare la valutazione mi devo costruire il portafoglio di replica per cui:
𝟏
𝟐
- Ora posso procedere alla valutazione:
PARTE III
VALUTAZIONE DELLE OPERAZIONI FINANZIARIE: LA STRUTTURA
DEI PREZZI A TERMINE
Ipotizzando che il periodo di scambio di un’attività finanziaria avvenga in un’epoca successiva
a quella corrente (stipula del contratto), otteniamo una generalizzazione della definizione nella
struttura dei prezzi a pronti.
Il valore T, pattuito al tempo t, di un euro esigibile al tempo s, viene definita come
equivalenza , nota al tempo t tra le date T e s.
➢ La parte creditrice, che attua un’operazione di investimento a termine avrà:
ESEMPIO
Vorrei acquistare un contratto a termine su un titolo con scadenza s =30.09.2020 al
tempo T =31.12.2018, valore nominale C =100. Mi trovo al tempo t =26.09.2018.
Ho la seguente struttura dei prezzi a pronti :
Per trovarmi il prezzo del contratto a termine:
Se avessi voluto valutare il prezzo a pronti avrei fatto :
Deduciamo che il prezzo a pronti è sempre minore del prezzo a termine.
ASSENZA DI OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO
Per verificare che il prezzo a termine K sia l’unico prezzo di non arbitraggio (definito
fair value 𝐾
𝑓
), e che con un valore differenza ci si possa arricchire senza rischio,
supponiamo che:
𝒇
Ovvero che per qualche motivo il contratto a termine sia sotto prezzato, riscrivendolo
come:
𝐶∗𝑣
( 𝑡,𝑠
)
𝑣(𝑡,𝑇)
OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO: STRATEGIA FINANZIARIA
Per approfittare del disallineamento del prezzo a termine, si può attuare la seguente
strategia finanziaria:
1. Vendita allo scoperto al tempo t di C unità del TCN unitario che scade in s al
prezzo C ∗ v
t, s
2. Acquisto al tempo t di K unità del TCN unitario con scadenza in T al prezzo
Kv
t, T
, che mi rimborserà K alla scadenza;
3. Stipula al tempo t di un contratto a termine che prevede l’acquisto al tempo T di
un TCN con scadenza in s e che rimborsa C alla scadenza.
C*v (t, s) - - C
−𝐾 ∗ 𝑣(𝑡, 𝑇) K
𝐶𝑣(𝑡, 𝑠) − 𝐾𝑣(𝑡, 𝑇) > 0 0 0
CONTRATTI A TERMINE SCRITTI SU FLUSSI DI IMPORTI
La valutazione delle operazioni a termine elementari può essere estesa al caso in cui
l’operazione non sia elementare, ovvero quando il rimborso previsto non è un’unica
soluzione, quando frazionato nel tempo e su più scadenze.
Si consideri un’attività finanziaria caratterizzata da un flusso di importi deterministici:
𝟏
𝟐
𝒎
Definiti sullo scadenziario:
𝟏
𝟐
𝒎
Chi acquista detto contratto avrà diritto al seguente flusso di importi:
𝒓
𝟑
𝟒
𝒎
Definito sullo scadenziario:
𝒓
𝟑
𝟒
𝒎
Dove il prezzo a termine K sarà dato da:
𝒊
𝟏
𝒎
𝒋=𝒌+𝟏
𝟏
𝒊
𝒎
𝒊=𝒌+𝟏
ESEMPIO
Si consideri al tempo t un contratto a termine su un titolo la cui scadenza sia dopo 2 anni,
ma la data di consegna (T) sia dopo il primo anno. Il valore di rimborso del titolo è pari
a C=120 euro.
Allo stesso istante t vengono emessi sul mercato due TCN con scadenza rispettivamente
1 e 2 anni e quotati, 𝑃
1
2
= 75 e valore di rimborso pari a C= 100 euro.
Calcolare il fattore di sconto a termine 𝑣
e quindi valutare il contratto a termine
calcolando K.
Svolgimento
Occorre trovare 𝑣(𝑡, 𝑇, 𝑠) = 𝑣( 0 , 1 , 2 ) e il prezzo a termine K. Per fare ciò serve la
struttura dei prezzi a pronti.
Posso utilizzare i TCN emessi alla stessa epoca, perciò:
𝟏
𝟐
Pertanto, il fattore di sconto verrà calcolato come:
Abbiamo quindi il nostro primo risultato. Ora possiamo valutare l’operazione a termine
nel seguente modo:
