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CAP 6 IL REGIME ESPONENZIALE
RIEPILOGO DEI REGIMI FINANZIARI FINORA AFFRONTATI
Abbiamo parlato di 3 regimi finanziari principalmente utilizzati: (^) Secondo il regime a interesse semplice il montante è una funzione che cresce linearmente rispetto al tempo C(t) = P (1 + it) (^) Nel regime a interesse composto la funzione montante cresce in maniera esponenziale rispetto al tempo, risultando in valori montanti maggiori dopo il primo anno di investimento rispetto al regime ad interesse semplice C(t) = P (1 + i)t (^) Nel regime ad interessi anticipato, detto anche regime di sconto commerciale, il tasso di sconto effettivo d viene utilizzato con l’inevitabile conseguenza di una maggiore coerenza in caso di attuazione e non di capitalizzazione (poiché la funzione montante tende a infinito) Ora, se detta legge a interesse semplice, definendo la funziona montante nel tempo continuo, otteniamo una funzione lineare, con lo stesso procedimento otteniamo dalla legge ad interesse composto la legge di capitalizzazione continua a tasso costante, nota come legge esponenziale. INTRODUZIONE AL REGIME ESPONENZIALE, funzione di capitalizzazione e di attualizzazione Definisce un contratto finanziario in cui il rimborso della somma investita P è prevista, anziché in istanti di tempo discreti (ad ogni fine anno), in qls istante t ≥ 0. Si tratta di estendere la funzione montante (definita nella legge di capitalizzazione composta sui nr reali) su tutto l’asse reale positivo tramite un’opportuna operazione di passaggio al limite, immaginando l’operazione finanziaria corrispondente come il risultato della composizione di un’infinità di operazioni elementari di durata infinitesima effettuate tutte allo stesso tasso di interesse. C (t) = p (1 + i)t^ funzione esponenziale come legge di equivalenza finanziaria Questo regime ha un ruolo fondamentale nella matematica finanziaria. Fissato un nr reale λ > 0 e pe r ogni istante di tempo t, la qtà eλt^ rappresenta il valore in t di un importo unitario pagabile in t = 0 oppure, simmetricamente, l’importo pagato in un generico tempo t il cui valore al tempo zero e uno. Si caratterizza quindi una legge di scambio in base alla quale 1 € pagabile in 0 è equivalente a eλt^ euro pagabili in t. Quindi il valore al tempo t ≥ 0 di una somma x pagata al tempo t = 0 sarà data da: C (t) = x eλt^ e rappresenta il montante, o capitalizzato della somma x. All’opposto, una somma xt, disponibile al tempo t viene considerata come valore capitalizzato di una data somma P disponibile in t = 0 In questo caso P esprime il valore attuale o valore scontato dell’importo xt, secondo il regime esponenziale. 1
L’istante di tempo t = 0 viene preso per prassi come partenza dell’orizzonte temporale delle operazioni finanziarie. Ma si può fari riferimento ad un generico punto di partenza t = T INTENSITA’ ISTANTANEA DI INTERESSE, TASSO DI INTERESSE E DI SCONTO Ricordando la definizione di forza di interesse, il parametro λ rappresenta l’intensità stantanea di interesse in quanto: Indicheremo con il fattore di capitalizzazione o fattore montante e con il fattore di sconto o attualizzazione. Il nr positivo i = m (t) – 1 rappresenta il tasso annuo effettivo di interesse La qtà d = 1 – v (t) rappresenta il tasso annuo effettivo di sconto (o tasso annuo di interesse anticipato) Il fattore di sconto annuo è il valore al tempo zero di 1 € disponibile dopo un anno. Rappresenta quindi il fattore di scambio di una somma disponibile in t = 0 con una somma disponibile in t = 1. Il fattore montante può essere invece interpretato come tasso di crescita annuo costante del valore di un investimento. Il tasso di interesse, così come definito nelle precedenti lezioni, risulta essere: L’incremento % annuo del valore di un euro investito al tempo zero può anche essere definito come l’incremento annuo % del valore di v euro investiti al tempo zero. VALUTAZIONE DI UNA SOMMA ARBITRARIA Estendiamo le precedenti definizioni nel caso di una somma arbitraria maggiore di un euro, per poi passare a importi deterministici. Nel primo caso la funzione montante o di attualizzazione si modifica solamente per un fattore di scala: perciò il fattore montante, il fattore di sconto, il tasso di interesse e il tasso di sconto rimangono invariati, mentre gli interessi periodali, essendo grandezze assolute, si ottengono moltiplicando per la somma investita. Esempio: sia assegnata una legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0,05 anni -1, il valore capitalizzato in t = 1,5 anni di 10 € disponibili al tempo zero è V (t) = V (0) eδt^ = 10e 0,05 * 1,5^ = 10,778 € Simmetricamente, 10 € è il valore attuale secondo la stessa legge di 10,778 € disponibili al tempo t = 1,5. Provare a calcolare il valore attuale e vedere che risulta pari a 10 2
x = {x 1 , x 2 , …, xm} t = {t 1 , t 2 , …, tm} 0 < t 1 < t 2 <…< tm Considerando il tempo zero come l’istante corrente ed assumendo assegnata una legge di valutazione esponenziale con intensità istantanea di interesse pari a δ, definiamo il valore attuale al tempo corrente dell’importo specifico xk K = 1, 2, …, m Si definisce invece il valore attuale dell’operazione finanziaria x, la somma V (0; x) dei valori attuali dei singoli importi. Quindi: Nel caso in cui V (0; x) = 0 l’operazione si definisce equa. Il valore delle somme incassate è uguale al valore delle somme pagate. Perciò almeno uno degli importi caratterizzanti l’operazione finanziaria deve avere segno opposto rispetto agli altri. Esempio: sia data un’operazione finanziaria X = {100, 5, 35} t = {0.5, 1.3, 2} con il tempo espresso in anni Conformemente ad una legge esponenziale con tasso annuo del 5%, il valore attuale dell’operazione finanziaria al tempo corrente sarà pari a: V (0; x 1 ) = 100 * 1,05-0,5^ = 97, V (0; x 2 ) = 5 * 1,05-1,3^ = 4, V (0; x 3 ) = 35 * 1,05-2^ =31, Di conseguenza V (0; x) = 97,590 + 4,693 + 31,746 = 134, TASSI E INTENSITA’ EQUIVALENTI NEL REGIME ESPONENZIALE La forza di interesse δ’ definita su una scala temporale rispetto a δ sarà equivalente a quest’ultima per un fattore q. δ’ = δ * q Allo stesso modo, i tassi di interesse equivalenti vengono calcolati come nel regime di interesse composto: i’ = (1 + i)q^ - Esempio: sia data una legge esponenziale con tasso annuo di interesse i = 0,05 e se ne voglia calcolare il tasso semestrale i’ e l’intensità di interesse semestrale δ’. Partiamo dal tasso di interesse: così come definito nella precedente lezione, l’unità di tempo della legge esponenziale si ottiene: 4
Quindi: Volendo invece calcolare l’intensità equivalente, questa si ottiene dimezzando l’intensità su base annua. Dato che l’intensità istantanea di interesse annua della legge esponenziale è pari a: L’intensità su base semestrale sarà pari a: Esempio: si considerino due operazioni finanziarie: x/t = {1, 1.01} / {0.5, 0.75} x/t = {100, 103} / {0.2, 0.7} La prima operazione è relativa al trimestre che va da t = 0,5 a t =0,75 per cui avremo τ 1 = 0, La seconda operazione è relativa al semestre che va da t = 0,2 a t =0,7 per cui avremo τ 2 = 0, Il tasso di interesse periodale delle due operazioni viene calcolato nel modo seguente: Per la prima operazione per la seconda Volendo confrontare le 2 operazioni in base ai rendimenti, così come stanno le cose ci troviamo in difficoltà in quanto i due rendimenti sono calcolati su basi temporali diverse. Il confronto va effettuato dopo aver espresso i due tassi sulla medesima base temporale, quindi per prassi portiamo entrambi i tassi a base annua. Perciò: La seconda operazione risulta caratterizzata da un tasso di crescita maggiore della prima. Questa conclusione non dipende dalla base temporale scelta. Quanto dal flusso di importi presentati. Se infatti portassimo il tasso semestrale della seconda operazione a tasso trimestrale j’ 2 , per passare al tasso trimestrale avrò Quindi: che risulta essere cmq maggiore di j 1 = 0,01 su base trimestrale. PROPRIETA’ DELLA LEGGE ESPONENZIALE Proprietà di uniformità nel tempo : se un’operazione finanziaria è equa all’istante t, secondo un’assegnata legge esponenziale, l’operazione avente tutte le scadenze traslate di un intervallo di lunghetta τ è equa nell’istante t + τ conformemente alla stessa legge. Proprietà di scindibilità : la somma di 2 operazioni eque in due istanti di tempo diversi secondo una medesima legge esponenziale, è un’operazione equa, secondo la legge, in un qls istante di tempo. 5
