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21 IL TEOREMA DI WEIERSTRASS
Se una funzione `e continua in un punto ci immaginiamo che disegnarne il grafico in quel punto sia come tracciare sul foglio una curva. In questa lezione e la prossima vediamo di rendere matematicamente rigorosa questa intuizione e le sue conseguenze.
Definizione f si dice continua se e continua in ogni punto del suo dominio. NOTA: polinomi, esponenziali, funzioni trigonometriche sono continue. x !→ (^1) xe continua (con dominio R \ { 0 }), x !→ sin( (^1) x ) `e continua (con dominio R \ { 0 }).
Teorema. (di Weierstrass) Ogni funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo.
Dimostrazione Sia f : [a, b] → R continua. Dimostriamo l’esistenza di un punto xM in cui f ha massimo. Sappiamo che esiste sempre il sup f ; quindi dobbiamo mostrare che esiste xM in cui f (xM ) = sup f. L’idea e considerare una successione che “quasi” raggiunge il sup f , e, seguendola (o meglio seguendo una sua sottosuccessione convergente) raggiungere il desiderato xM. A tale scopo fissiamo una successione crescente di punti y (^) n < sup f tali che y (^) n → sup f. Questo si puo sempre fare: se sup f e finito si prende y (^) n = sup f − (^1) n ; se invece sup f = +∞ allora prendiamo y (^) n = n. Dato che y (^) n < sup f allora y (^) n none un maggiorante per l’immagine di f , e quindi esiste un xn tale che f (xn ) ≥ y (^) n. La successione {xn } `e limitata. Potrebbe non convergere, ma sappiamo (dal teorema di Bolzano-Weierstrass) che ne esiste una sottosuccessione convergente xnk → x 0 , e x 0 ∈ [a, b]. Abbiamo y (^) nk ≤ f (xnk ) ≤ sup f,
quindi per il teorema dei due carabinieri esiste il limite
lim k f (xnk ) = sup f.
Ma per la continuita di f si ha anche f (xnk ) → f (x 0 ) e quindi f (x 0 ) = sup f come desideravamo. Quindi questo x 0e l’xM voluto. Per l’esistenza di un punto di minimo si procede allo stesso modo, con le dovute modi- fiche.
Corollario. Ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato `e limitata.
NOTA. La continuitae essenziale: la funzione
f (x) =
x se x ∈ (0, 1) 1 2 se^ x^ = 0 o^ x^ = 1
non ammette max/min in [0, 1] (dove non e continua), ne’ in (0, 1) (dovee continua).
22 IL TEOREMA DEGLI ZERI
Il seguente teorema afferma una cosa ‘naturale’ per una curva ‘tracciata senza staccare la penna dal foglio’: se il punto iniziale sta sopra l’asse delle x e quello finale sotto, ad un certo punto la curva deve attraversare l’asse delle x.
Teorema. (di Bolzano o “degli zeri”) Sia f : [a, b] → R una funzione continua tale che f (a)f (b) < 0. Allora esiste almeno un punto x ∈ (a, b) tale che f (x) = 0.
Dimostrazione La dimostrazione si ottiene usando il metodo di bisezione gia utilizzato per il teorema di Bolzano-Weierstrass (andate a ridarci un’occhiata). Consideriamo uno dei due casi possibili: per esempio, f (a) > 0 e f (b) < 0 (per l’altro la dimostrazionee analoga). L’idea e di procedere per induzione. Illustriamo il primo passo: dividiamo a meta l’intervallo [a, b], ottenendo due “semi-intervalli” [a, a+ 2 b] e [ a+ 2 b, b]. Ci sono tre possibilit`a:
- f ( a+ 2 b) = 0. In questo caso si conclude, avendo trovato la soluzione;
- f ( a+ 2 b) > 0. In questo caso la funzione f verifica le ipotesi del teorema anche sull’intervallo [ a+ 2 b, b];
- f ( a+ 2 b) < 0. In questo caso la funzione f verifica le ipotesi del teorema anche sull’intervallo [a, a+ 2 b]. Quindi, nei casi 2) e 3) si
e dimezzato l’intervallo su cui cercare la soluzione. Inoltre sul nuovo intervallo siamo nelle stesse ipotesi di prima e quindi possiamo rifare lo stesso ragionamento, dividendolo in due ulteriori semi-intervalli, ecc. Dunque, procedendo per induzione, si hanno due possibilita. - dopo un numero finito di passi si trova che la funzione si annulla in uno dei due estremi di un intervallo ottenuto dividendo ripetutamente in due l’intervallo di partenza, e quindi si ha una soluzione;
- si costruiscono intervalli [a, b] = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ · · ·, con In = [an , bn ] un “semi- intervallo” di In− 1 (costruito come sopra) tale che
f (an ) > 0 , f (b (^) n ) < 0.
Come per il teorema di Bolzano-Weierstrass, {an } e una successione monotona crescente e {b (^) n } una successione monotona decrescente; inoltre b (^) n − an = 2 −n^ (b − a) per cui le due successioni tendono ad uno stesso punto x 0. Per la continuita di f e il fatto che f (an ) ≥ 0 si ha f (x 0 ) ≥ 0, e per il fatto che f (b (^) n ) ≤ 0 si ha f (x 0 ) ≤ 0. Dunque deve essere f (x 0 ) = 0, e abbiamo trovato la soluzione cercata.
Esempio. Sia P un polinomio di grado 3. Allora l’equazione P (x) = 0 ha almeno una soluzione. Infatti, per esempio, a meno di dividere per il coefficiente di x^3 se P (x) = x^3 + a 1 x^2 + a 2 x+a 3 si ha P (x) → ±∞ per x → ±∞. Quindi esiste M tale che f (−M ) < 0 e f (M ) = 0. Possiamo quindi applicare il teorema con a = −M e b = M.
