La matematica finanziaria si occupa delle operazioni finanziarie, le quali consistono nello scambio di importi

monetari tra soggetti diversi, in tempi diversi. Le operazioni finanziarie elementari si possono classificare in

due categorie: • Operazione di prestito. Un soggetto cede a un altro una somma di denaro, che gli verrà

restituita in un tempo futuro, aumentata di un importo pattuito, detto interesse. •• Operazione di sconto.

Un soggetto gravato dell’impegno a pagare a un altro una determinata somma di denaro in un determinato

momento futuro estingue anticipatamente il suo debito in un momento antecedente la scadenza pattuita,

ottenendo in cambio una riduzione dell’importo da pagare, detta sconto. L’operazione può essere descritta

con parole diverse, dal punto di vista del creditore: un soggetto avente diritto a riscuotere da un altro una

determinata somma di denaro in un determinato momento futuro, concede al suo debitore di estinguere

anticipatamente il debito, riconoscendogli una riduzione dell’importo dovuto. Nell’operazione di prestito,

l’importo C ceduto dal prestatore si chiama Capitale; l’importo M > C ricevuto in restituzione si chiama

Montante; la differenza I = M ! C si chiama Interesse. Nell’operazione di sconto si chiama Capitale l’importo

D dovuto al tempo stabilito; si chiama Valore attuale di D al tempo t (precedente la scadenza del debito)

l’importo V < D con cui il debitore può estinguere anticipatamente il suo debito; la differenza S = D !V si

chiama Sconto. Regole per calcolare il montante in funzione del capitale e del tempo d’impiego e per

calcolare il valore attuale in funzione del capitale e del tempo di anticipo nel pagamento si possono definire

in infiniti modi; i soli vincoli sono che: • Fissati gli istanti in cui avvengono un prestito e la sua restituzione, il

montante deve essere funzione strettamente crescente del capitale; allo stesso modo, fissati gli istanti di

scadenza di un debito e della sua estinzione anticipata, il valore attuale deve essere funzione strettamente

crescente del capitale. •• Fissato il capitale C ceduto, il montante deve essere funzione strettamente

crescente del tempo che trascorre prima della restituzione, vale a dire, se l’attesa è più lunga il montante

sarà maggiore; allo stesso modo, fissato l’importo D di un debito e il momento della sua scadenza, il valore

attuale di D in un tempo t precedente la scadenza deve essere funzione strettamente decrescente di t, cioè

lo sconto è tanto maggiore quanto più è lontana la data fissata per la scadenza del debito. Le regole trattate

in matematica finanziaria e (più o meno frequentemente) applicate nella realtà sono molteplici; quelle più

semplici hanno tutte in comune la caratteristica di essere lineari rispetto ai capitali, cioè, fissati i tempi in cui

avvengono gli scambi di denaro, i montanti o i valori attuali di un capitale doppio o triplo di un altro

saranno doppi o tripli dei corrispondenti valori relativi al primo. Una regola che rispetti quest’ultima

clausola, oltre ai vincoli detti sopra si può ottenere scegliendo una funzione f :[0,+![ "[1,+![ detta fattore di

montante, che sia continua, strettamente crescente e tale che f (0) = 1. Poi definiremo il montante

corrispondente a un capitale C prestato per un tempo t così: (legge di capitalizzazione) M = C ! f (t) e

definiremo il valore attuale V di un capitale D dovuto in un tempo futuro, in caso di estinzione anticipata di

un tempo t così: (legge di sconto) V = D f (t) Precisiamo che lo scenario in cui si descrivono queste regole è

fortemente semplificato rispetto alla realtà delle transazioni finanziarie; d’altra parte ogni modello

matematico di fenomeni reali non riesce a tenere conto di tutte le possibili variabili da cui dipende il

fenomeno osservato. Qui si suppone che tutti gli attori finanziari possano prestare denaro a terzi con la

stessa legge; e analogamente che chiunque abbia un debito nei confronti di qualcuno lo possa estinguere

anticipatamente ottenendo uno sconto calcolato con una regola valida per tutti. 2 Inoltre, le operazioni di

prestito (ovvero di investimento) e di sconto trovano sempre una controparte disponibile, cioè chi desidera

collocare un capitale C per un tempo t da lui deciso, troverà sempre una controparte disposta a ricevere il

suo denaro e restituirgli M = C ! f (t) quando sarà trascorso il tempo t, e chi desidera estinguere

anticipatamente un debito troverà accoglienza da parte del suo creditore, alle condizioni stabilite in

precedenza. Infine, il denaro circola tra gli operatori soltanto con lo scopo di produrre altro denaro, e mai

appare una necessità che “obbliga” qualcuno a disporre del denaro immediatamente, non essendo quindi

disposto a prestarlo a terzi. Ancora, la semplificazione più violenta che i modelli della matematica

finanziaria sottintendono consiste nella stabilità dei mercati, nel senso che si presume che le leggi di

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La matematica finanziaria si occupa delle operazioni finanziarie, le quali consistono nello scambio di importi monetari tra soggetti diversi, in tempi diversi. Le operazioni finanziarie elementari si possono classificare in due categorie: • Operazione di prestito. Un soggetto cede a un altro una somma di denaro, che gli verrà restituita in un tempo futuro, aumentata di un importo pattuito, detto interesse. •• Operazione di sconto. Un soggetto gravato dell’impegno a pagare a un altro una determinata somma di denaro in un determinato momento futuro estingue anticipatamente il suo debito in un momento antecedente la scadenza pattuita, ottenendo in cambio una riduzione dell’importo da pagare, detta sconto. L’operazione può essere descritta con parole diverse, dal punto di vista del creditore: un soggetto avente diritto a riscuotere da un altro una determinata somma di denaro in un determinato momento futuro, concede al suo debitore di estinguere anticipatamente il debito, riconoscendogli una riduzione dell’importo dovuto. Nell’operazione di prestito, l’importo C ceduto dal prestatore si chiama Capitale; l’importo M > C ricevuto in restituzione si chiama Montante; la differenza I = M! C si chiama Interesse. Nell’operazione di sconto si chiama Capitale l’importo D dovuto al tempo stabilito; si chiama Valore attuale di D al tempo t (precedente la scadenza del debito) l’importo V < D con cui il debitore può estinguere anticipatamente il suo debito; la differenza S = D !V si chiama Sconto. Regole per calcolare il montante in funzione del capitale e del tempo d’impiego e per calcolare il valore attuale in funzione del capitale e del tempo di anticipo nel pagamento si possono definire in infiniti modi; i soli vincoli sono che: • Fissati gli istanti in cui avvengono un prestito e la sua restituzione, il montante deve essere funzione strettamente crescente del capitale; allo stesso modo, fissati gli istanti di scadenza di un debito e della sua estinzione anticipata, il valore attuale deve essere funzione strettamente crescente del capitale. •• Fissato il capitale C ceduto, il montante deve essere funzione strettamente crescente del tempo che trascorre prima della restituzione, vale a dire, se l’attesa è più lunga il montante sarà maggiore; allo stesso modo, fissato l’importo D di un debito e il momento della sua scadenza, il valore attuale di D in un tempo t precedente la scadenza deve essere funzione strettamente decrescente di t, cioè lo sconto è tanto maggiore quanto più è lontana la data fissata per la scadenza del debito. Le regole trattate in matematica finanziaria e (più o meno frequentemente) applicate nella realtà sono molteplici; quelle più semplici hanno tutte in comune la caratteristica di essere lineari rispetto ai capitali, cioè, fissati i tempi in cui avvengono gli scambi di denaro, i montanti o i valori attuali di un capitale doppio o triplo di un altro saranno doppi o tripli dei corrispondenti valori relativi al primo. Una regola che rispetti quest’ultima clausola, oltre ai vincoli detti sopra si può ottenere scegliendo una funzione f :[0,+![ "[1,+![ detta fattore di montante, che sia continua, strettamente crescente e tale che f (0) = 1. Poi definiremo il montante corrispondente a un capitale C prestato per un tempo t così: (legge di capitalizzazione) M = C! f (t) e definiremo il valore attuale V di un capitale D dovuto in un tempo futuro, in caso di estinzione anticipata di un tempo t così: (legge di sconto) V = D f (t) Precisiamo che lo scenario in cui si descrivono queste regole è fortemente semplificato rispetto alla realtà delle transazioni finanziarie; d’altra parte ogni modello matematico di fenomeni reali non riesce a tenere conto di tutte le possibili variabili da cui dipende il fenomeno osservato. Qui si suppone che tutti gli attori finanziari possano prestare denaro a terzi con la stessa legge; e analogamente che chiunque abbia un debito nei confronti di qualcuno lo possa estinguere anticipatamente ottenendo uno sconto calcolato con una regola valida per tutti. 2 Inoltre, le operazioni di prestito (ovvero di investimento) e di sconto trovano sempre una controparte disponibile, cioè chi desidera collocare un capitale C per un tempo t da lui deciso, troverà sempre una controparte disposta a ricevere il suo denaro e restituirgli M = C! f (t) quando sarà trascorso il tempo t, e chi desidera estinguere anticipatamente un debito troverà accoglienza da parte del suo creditore, alle condizioni stabilite in precedenza. Infine, il denaro circola tra gli operatori soltanto con lo scopo di produrre altro denaro, e mai appare una necessità che “obbliga” qualcuno a disporre del denaro immediatamente, non essendo quindi disposto a prestarlo a terzi. Ancora, la semplificazione più violenta che i modelli della matematica finanziaria sottintendono consiste nella stabilità dei mercati, nel senso che si presume che le leggi di

capitalizzazione e di sconto applicate dagli operatori finanziari rimangano immutate nel tempo, cosa per nulla verificata nella realtà. Per esempio, negli anni ’80 del XX secolo le banche remuneravano i depositi dei loro clienti con interessi annuali superiori al 10%, talvolta anche 20%; attualmente l’interesse offerto è praticamente 0 (0,1%, in molti casi). Nonostante tutto ciò, i modelli della matematica finanziaria forniscono comunque un punto di partenza valido per valutare in modo oggettivo diverse forme di investimento, per chi ha da investire, o di finanziamento, per chi ha bisogno di usufruire di denaro di cui al momento non dispone, per esempio un mutuo per l’acquisto di una casa. Le formule date sopra per regolare le operazioni di prestito e di sconto risultano tra loro “coerenti”, nel senso che ora spieghiamo. La legge di sconto offre al creditore con un anticipo t su quanto pattuito l’importo V < D. Questi non avrà difficoltà ad accettare la risoluzione anticipata del prestito a queste condizioni, perché potrà investire V per il tempo t, trascorso il quale riceverà, in base alla legge di capitalizzazione, il montante M = V! f (t) = D f(t)! f (t) = D e in questo modo per lui non sarà cambiato nulla rispetto a quanto sarebbe accaduto se il debito gli fosse stato ripagato alla sua scadenza naturale. La scelta della funzione f, fattore di montante, determina le regole di capitalizzazione e di sconto. Le più comunemente applicate sono la capitalizzazione semplice e la capitalizzazione composta.

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